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1、滁州九校20172018学年度第一学期高二期末考试数学试卷（理科）第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的.1 .高二（2）班男生36人，女生18人，现用分层抽样方法从中抽出n人，若抽出的男生人数为12,则n等于（）A. 16 B . 18 C . 20 D . 222 .命题“ /X W R,x ln X ”的否定为（）A. Vx R, x ln x B . Vxs R, x 0,b 0 )的左顶点为 M ,右焦点为F ,过左顶点且斜率为1的直线l与双曲线C的右支交于点N ,若AMNF的面积为-b2,则
2、双曲线C的离心率2为()A. 3 B . 2 C. 5 D .-33第R卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上444 44 413.已知向量 a = (1,3),b =(3,t ,若 a_Lb,则 2a+b =.14.已知一个算法的程序框图如图所示，当输入的x =-1与x = 1时，则输出的两个 y值的和为(W)15.在长方体 ABCD A1B1cl D1 中，AB = BC= 1,AA1 =2,点E,F分别为CD,DDi的中点,点G在AA上，若CG/平面AEF ,则四棱锥G -ABCD的外接球的体积为 x2 y216.已知椭圆 一+二=1的
3、右焦点为F ,点M是椭圆上第一象限内的点，MF的延长线依次43T r交y轴，椭圆于点 P, N ,若MF = PN ,则直线MN的斜率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .甲乙两人同时生产内径为 25.41mm的一种零件，为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出5件(单位：mm),甲：25, 44, 25, 43, 25, 41, 25, 39, 25, 38乙：25, 41, 25, 42, 25, 41, 25, 39, 25, 42从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的零件质量较高.18 .已知直线y = x 2 p与抛物线
4、y2 = 2px ( p a 0 )相交于A, B两点，O是坐标原点.(1)求证：OA_LOB;(2)若F是抛物线的焦点，求 MBF的面积.19 .某高校进行社会实践，对25,55岁的人群随机抽取1000人进行了一次是否开通“微博”的调查，开通“微博”的为“时尚族”，否则称为“非时尚族”.通过调查得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，其中在30,35)岁、135,40)岁年龄段人数中，“时尚族”人数分别占本组人数的 80%、60% .请完成以下问题：(1)求30,35)岁与35,40)岁年龄段“时尚族”的人数；(2)从30,45)岁和145,50)岁年龄段的“时尚族”中，采用分层抽样法抽取
5、6人参加网络时尚达人大赛，其中两人作为领队，求领队的两人年龄都在30,45)岁内的概率.20 .已知Sn为等差数列 匕的前n项和，已知S2=233=-6.(1)求数列(an)的通项公式和前n项和Sn ；(2)是否存在n ,使Sn,Sn+ 2n,Sn43成等差数列，若存在，求出 n ,若不存在，说明理由.21 .如图，在四锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PB = PD = J5, AB = 1, AP = 2,Q是CD中点.(1)求点C到平面BPQ的距离;(2)求二面角 A-PQ -B的余弦值.2X22.设椭圆M : +a冬=1(ab0)经过点 P 1 73, bI ,F1,
6、F2是椭圆M的左、右焦点，且PF1F2的面积为2(1)求椭圆M的方程;(2)设O为坐标原点，过椭圆 M内的一点(0,t )作斜率为k的直线l与椭圆M交于A,B两 点，直线OA,OB的斜率分别为匕*2,若对任意实数k ,存在实数m，使得ki + k2 = mk ,求实数m的取值范围.试卷答案、选择题1-5:BCCCA 6-10: CDBCA 11、12: AB二、填空题16.13. 5、214.515.-34217.解：甲的平均数三、解答题(25.44 十25.43 +25.41 +25.39 + 25,38 )=5.41 ,1乙的平均数 辽=-x(25.41 +25.42+25.41 +25.
7、39 +25,42 )= 25,41 ,甲的方差s| =0.00052 ,乙的方差s2 =0.00012 ,甲、乙平均数相同，乙的方差较小，乙生产的零件比甲的质量高.y = x -2 p 222218. (1)证明：由 2 2 ，得x 4px + 4P =2px,，x 6px +4P =0, y =2px设 A(x,y1 ),B(x2, y2 ),则 y =x 2p, y =x2 -2p ,且 x +x? -6pLx1x2 = 4p2,x&必丫2二x1x2-2Px2-2p ):=2%x2- 2Pxx?4p2=8p -2PL6P4P2 = 0OaLob =乂忆 +yy2 = 0 ,OA-LOB；
8、(2)解：由(1)知AAOB的面积等于S=- Oa LOb| = - Jx2 + y2 _Jx2 + y2 = - x2 + 2 px1 K x2 + 2 px2 )222 .一 x12x2 2 px1x2 x1 x24p2x1x2 =: J16p4 +2 pl_4 p216 P +4p2_4 p2 = 2yF5p2,(用S = 1pjy1 -y2,求解同样给分)直线y =x2p与x轴交点为M (2p,0 ),抛物线焦点F为卫,0|,2._3 一 FM =-OM4，33、5 2，.一 AAFB 的面积为一S=、一 p2右存在 n ,使 Sn,Sn_2+2n,Sn* 成等差数列，则 一6n -4
9、n -6 = -6n -6n+4 ,，n = 5 ,存在n=5,使Sn,Sn-2 +2n忐成等差数列.21.解：.正方形边长 AB =1,PB =PD = J5, AP =2 , PB2 =PA2+AB2LPD2 =PA2+AD2,PA _L AB, PA _L AD , PA_L 平面 ABCD,分别以AB、AD、AP为x轴、y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，.4219 .解：(1) 30,35 )岁的人数为 1000 M 0.06m5m 80% = 240, 35,40 ）岁的人数为 1000 M 0.04 m 5 M60% =120；（2）由（1）知30,35）岁中抽4人，记为a
10、,b,c,d , 35,40）岁中抽2人，记为x、y,贝U领队两人是 ab、ac、ad、ax、ay、bc、bd、bx、by、cd、cx、cy、dx、dy、xy 共 15种可能，其中两人都在130,35）岁内的有6种，所以所求概率为6 215 一 52a1+d=2/a =420 .解：(1)设%的公差为 d ,则3M2,，11一 ，3al d - -6 d - -62n n -12an =4 -6(n -1 )=10 -6n, Sn =na1 + d =7n 3n ；22_2_2一(2)Sn+SnJ3 =7n -3n +7(n+3 )-3(n+3 ) =-6n -4n-6 ,22Sn 七=7(n
11、+2 )-3(n+2 ) =-3n2-5n+2,_2_2_2(SnH2+2n ) = 2(3n 5n+2 +2n )= 6n 6n+4,1则 A 0,0,0 ,B 1,0,0 ,D 0,1,0 ,P 0,0,2 ,Q -,1,0 ,C 1,1,0 . AP= 0,0,2 ,BP= -1,0,2 ,PQ =91,一2 ,7C = 1,1,-2(1)设平面BPQ的一个法向量r =(X1,y1,zj-x1 2z1 = 01，令4=1,得 n =(2,1,1),PQLa =0x1 + y1 -2z1 =0nJ PC2 PC与平面BPQ所成角的正弦值sin8 =点C到平面BPQ的距离为I 口 66PQ|
12、_sin 8 =5(2)设平面APQ的一个法向量n2则2。PQLn2 =02z2 =0，令 X2 = 2 ,二0得出=(2,1,0),-cosn1, n26 .5301030丫30，二面角A-PQ-B的余弦值为1022.解：(1)设 M 的焦点 F1(-c,0 ), F2(c,0 ),PER 面积为与，C = 1,33.2，,i - i =11a =4,，、1由la 4b2 得归，椭圆M的方程为2 .2 .b2 = 3a =b 122xy/一+工=1 ；43（2）设直线l的方程为y =kx+t ,- 22x y由751,得（3+4k2 ）x2 +8ktx+4t212 = 0,I y = kx t设 A（K, yi ）,B（x2, y2 ）,则 x1 +x?-2_8kt4t -12一2 , xix2 =234k34ky1y2 t,t=红把=k_kx1x2x1x2=2k txi x2 =2k .22 kt2由k1 +k2 = mk对任意k成立，得m = 2Xx2t2 -3 2t2t2 -3 .+23 m-2tm又（0,t ）在椭圆内部中， 0 Mt2 3, m22,即mW收）.