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1、在二次函数中得体现巧找规律妙解题 一、根据数轴上点的运动程序和速度，确定该动点表示的数.例1 一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动. 设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，xn表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. 给出下列结论：x3=3; x5=1;x103x104; x2007x2008.其中，正确结论的序号是（ ）.A B. C D. 解析 （1）列表填数，根据题意，列表并填数：运动时间n（秒）012345678910运动位置所对应的数xn01232123432由上表可知，x3=3，x5=1. 所以结论（1），（2）正确.（
2、2）探究规律观察上表，发现机器人从数轴原点出发沿数轴正方向运动，每经过5秒钟就前进1个单位长度. 第n秒时，机器人在数轴上位置所对应的数xn与n秒之间有如下关系：当n=5a（a是正整数）时，xn=a；当n=5a+1时，xn=a+1；当n=5a+2时，xn=a+2；当n=5a+3时，xn=a+3；当n=5a+4时，xn=a+2.（3）按照规律解题当n=103时，因为103=520+3，所以x103=20+3=23；当n=104时，因为104=520+4，所以x104=20+2=22；由2322，知x103x104，所以结论错误.当n=2007时，因为2007=5401+2，所以x2007=401
3、+2=403；当n=2008时，因为2008=5401+3，所以x2008=401+3=404.由403404，知x2007x2008，故结论正确.由上可知，正确结论序号是，故选D.二、根据图形变化规则，求一组相关图形中某一个图形的面积.例2 如图1，小明作出了边长为1的第1个正A1B1C1，算出了正A1B1C1的面积. 然后分别取A1B1C1的三边中点A2、B2、C2，作出了第2个正A2B2C2，算出了正A2B2C2的面积. 用同样的方法，作出了第3个正A3B3C3，算出了正A2B2C2的面积由此可得，第10个正A10B10C10的面积是（ ）.A B. C D. 解析 正三角形的面积=（边
4、长）2，所以要求正A10B10C10的面积，关键是求出其边长. 由于正A10B10C10是由边长为1的正A1B1C1演变而来的，所以我们不妨从边长为1的正A1B1C1入手，求出正A10B10C10的边长.（1）列表填数正三角形序数1234510正三角形边长1用序数表示边长（2）探究规律观察上表，易知正三角形边长=，所以第10个正A10B10C10的边长为即，它的面积S正=故选A.三、根据前面几个图形中的元素，求一组相关图形中某一图形的元素个数.例3 如图2，由等圆组成的一组图中，第1个由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成按照这样的规律排列下去，则第9个图形由 个圆组成.解
5、析 （1）列表填数图形序数123题中给出圆的个数1719从中间向上、下方法计算圆的个数13+225+2（4+3）用序数表示圆的个数（22-1）+22（23-1）+2（23-2）+3（2）探究规律设第n（n为正整数）个图形中，圆的个数为Sn，观察表格中用图形序数表示圆的个数，发现Sn与n之间有如下关系：（3）按照规律求解当n=9时，S9=（29-1）+2（29-2）+（29-3）+9S9=17+2（16+15+14+13+12+11+10+9）=17+28=217.例4 探索nn的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n=2时，钉子板上所连不
6、同线段的长度值只有1与，所以不同长度值的线段只有两种. 若用S表示不同长度值的线段种数，则S=2；当n=3时，钉子板上所连不同线段长度值只有1，五种，比n=2时增加了三种，即S=2+3=5.（1）观察图3，填写下表：钉子数（nn）S值222332+3442+3+（ ）55（ ）（2）写出（n-1）（n-1）和nn的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；（用式子或语言表达均可）（3）对nn的钉子板，写出用n表示S的代数式.解析 （1）观察图形3，发现当n=4时，钉子板上所连不同长度值的线段种数比n=3时增加了3，四种，故填4. 当n=5时，钉子板上所连不同长度值的线段种数比n=4时增加了
7、4，2，5，五种，2+3+4+5=14，故填14.（2）从解析（1）发现如下规律：nn的钉子板比（n-1） （n-1）的钉子板中不同长度值的线段种数增加了n种. 分别用a，b表示，nn与（n-1）（n-1）的钉子板中不同长度值的线段种数，则a=b+n.（3）S=2+3+4+n=(n+2) (n-2+1)=.四、根据三角形中前面的一些数，求后面某一位置上的数.例5 将正整数按如图4所示的规律排列下去. 若用有序实数对（n, m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，3）表示实数9，则（7，2）表示的实数是 分析 观察图4，发现正整数排列有以下两个规律：（1）正整数按从小到大的顺序排列；（2）排数与正整数的个数相同. 如第五排中有5个连续正整数，第六排中有6个连续正整数. 要求（7，2）表示的实数，就是求第七排从左到右的第二个数. 为此可以先求出第六排右面的第一个数，然后把这个数加上2，即为所求的数.解 第六排右边的第一个数为1+2+3+4+5+6=21，而21+2=23，所以求得（7，2）表示的实数是23.