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1、第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y (3)元素的无序性: 如:a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示: 如:我校的篮球队员,太平洋,大西洋, 印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合:A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:a,b,c 2)描述法:将集合中的
2、元素的公共属性描述出来,写在大括号内 表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3)语言描述法:例:不是直角三角形的三角形 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:x|x2=-5 二、集合间的基本关系 1.?包含?关系子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同注意:B 一集合。 ?/B或反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A B 2.?相等?关系:A=B (55,且55,则5=5) 实例:设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 ?元素相同则两集
3、合相等?即:任何一个集合是它本身的子集。A?A 真子集:如果A?B,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) 如果 A?B, B?C ,那么 A?C 如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集 1 例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合a ,b ,c 的真子集共有 个 3.若集合M=y|y=x 2 -2x+1,x R,N=x
4、|x 0,则M 与N 的关系是 . 4.设集合A= 12x x ,B= x x a ,若A ?B ,则a 的取值范围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40人,化学实验做得正确得有31人, 两种实验都做错得有4人,则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M= . 7.已知集合A=x| x 2 +2x-8=0, B=x| x 2 -5x+6=0, C=x| x 2 -mx+m 2 -19=0, 若B C ,A C=,求m 的值 一、函数的有关概念 1.函数的概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f
5、 ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f :A B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作: y=f(x),x A .其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域. 注意: 1.定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函
6、数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零, (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2.值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (xA)中的x 为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=
7、f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . (2) 画法 A、描点法: B、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (2)无穷区间 (3)区间的数轴表示. 5.映射 一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个映射。记作?f(对应关系):A(原象)B(象)?对于映射f:AB来说,则应满足: (1)集合A中的每一个
8、元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的; (2)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个; (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并 集. 补充:复合函数 如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(xA) 称为f、g的复合函数。 二.函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) (1)增函数 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D 内的任意两个自变量x1,
9、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2)图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1任取x1,x2D,且x1x2; 2作差f(x
10、1)-f(x2); 3变形(通常是因式分解和配方); 4定号(即判断差f(x1)-f(x2)的正负); 5下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:?同增异减? 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的
11、定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函数. (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2确定f(-x)与f(x)的关系; 3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(
12、1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)/f(-x)=1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式 (1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法 10.函数最大(小)值(定义见课本p36页) 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间a ,b上单调递
13、增,在区间b ,c上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间a ,b上单调递减,在区间b ,c上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b); 例题: 1.求下列函数的定义域: y = y 2.设函数f x ()的定义域为01,则函数f x ()2的定义域为_ _ 3.若函数(1)f x +的定义域为-23,则函数(21)f x -的定义域是 4.函数 22(1) ()(12) 2(2)x x f x x x x x +-?=-1,且n N * . 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。 当n 是奇数时,a a n n =
14、,当n 是偶数时,?=n N n m a a a n m n m , )1,0(1 1*= = -n N n m a a a a n m n m n m 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1)r a s r r a a += ),0(R s r a ; (2)rs s r a a =)( ),0(R s r a ; (3)s r r a a a b =)( ),0(R s r a . (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:指数函数的底数的取
15、值范围,底数不能是负数、零和1. 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在a ,b上,)1a 0a (a )x (f x =且值域是)b (f ),a (f 或 )a (f ),b (f ; (2)若0x ,则1)x (f ;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x =且,总有a )1(f =; 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(a a ,那么数x 叫 做以.a 为底.N 的对数,记作:N x a log =(a 底数,N 真数,N a log 对数式) 说明:1 注意底数的限制0
16、a ,且1a ; 2 x N N a a x =?=log ; 3 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 常用对数:以10为底的对数N lg ; 2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果0a ,且1a ,0M ,0N ,那么: 1 M a (log =)N M a log +N a log ; 2 =N M a log M a log -N a log ; 3 n a M log n =M a log )(R n . 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0a ,且
17、1a ;0c ,且1c ;0b ). 利用换底公式推导下面的结论 (1)b m n b a n a m log log = ; (2)a b b a log 1log =. (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log =a x y a ,且)1a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+). 注意:1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=,5 log 5x y = 都不是对数函数,而只能称 其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制:0(a ,且)1a . (三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如x y =)(R a 的函数称
18、为幂函数,其中为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1); (2)0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0+上是增函数.特别地,当1时,幂函数的图象下凸;当10时,幂函数的图象上凸; (3)00,a 0,函数y=a x 与y=log a (-x)的图象只能是 ( ) 2.计算: =64 log 2log 273 ;3log 422+= ;2 log 227log 551 25+= ; 14101.016)2()8 7(064.075.030+-+- = 3.函数y=log 2 1(2x 2 -3x+1)的递减区间为 4.若函数)10(lo
19、g )(-且,(1)求()f x 的定义域(2)求使 ()0f x 的 x 的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数)(D x x f y =,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数)(D x x f y =的零点。 2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即:方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点 ?函数)(x f y =有零点. 3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; 2 (几何法)
20、对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数)0(2+=a c bx ax y . (1)0,方程02 =+c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)=0,方程02 =+c bx ax 有两相等实根,二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. (3)0,方程02=+c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点. 5.函数的模型 (数学1必修)第一章(上) 集合 基础训练A 组 一、选择题 1.下列各项中,不可
21、以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A .33|=+x x B .,|),(22R y x x y y x -= C .0|2x x D . ,01|2R x x x x =+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A .()()A C B C B .()()A B A C C .()()A B B C D .()A B C 4.下面有四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,N b N a 则b a +的最小值为2; (4)x x
22、212 =+的解可表示为1,1; 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 5.若集合,M a b c =中的元素是ABC 的三边长, 则ABC 一定不是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形 6.若全集0,1,2,32U U C A =且,则集合A 的真子集共有( ) A .3个 B .5个 C .7个 D .8个 二、填空题 1.用符号“”或“?”填空 (1)0_N , 5_N , 16_N (2)1 _,_,_2 R Q Q e C Q - (e 是个无理数) (3 |,x x a a Q b Q =+ 2. 若集
23、合|6,A x x x N =,|B x x =是非质数,C A B = ,则C 的 A B C 非空子集的个数为 。 3.若集合|37A x x =,|210B x x =? =? ,则(0)f f = . 2.若函数x x x f 2)12(2 -=+,则)3(f = . 3 .函数()f x =的值域是 。 4.已知? ?-=0 ,10 ,1)(x x x f ,则不等式(2)(2)5x x f x +?+的解集是 。 5.设函数21y ax a =+,当11x -时,y 的值有正有负,则实数a 的范围 。 三、解答题 1.设,是方程2 4420,()x mx m x R -+=的两实根
24、,当m 为何值时, 22+有最小值?求出这个最小值. 2.求下列函数的定义域 (1 )y = (2)1 112 2-+-= x x x y (3)x x y - -= 11111 3.求下列函数的值域 (1)x x y -+=43 (2)3 425 2+-=x x y (3)x x y -=21 4.作出函数(6,3,762+-=x x x y 的图象。 (数学1必修)第一章(中) 函数及其表示 提高训练C 组 一、选择题 1.若集合|32,S y y x x R =+, 2 |1,T y y x x R =-, 则S T 是( ) A .S B . T C . D .有限集 2.已知函数)(
25、x f y =的图象关于直线1-=x 对称,且当),0(+x 时, 有,1 )(x x f =则当)2,(-x 时,)(x f 的解析式为( ) A .x 1- B .21-x C .21+x D .21+-x 3.函数x x x y += 的图象是( ) 4.若函数234y x x =-的定义域为0,m ,值域为25 44 -,则m 的取值范围是( ) A .(4,0 B .32 ,4 C .332 , D .3 2+,) 5.若函数2()f x x =,则对任意实数12,x x ,下列不等式总成立的是( ) A .12()2x x f +12()()2f x f x + B .12()2x
26、 x f +12()() 2 f x f x + 6.函数2 22(03) ()6(20) x x x f x x x x ?-?=?+-?的值域是( ) A .R B .)9,-+ C .8,1- D .9,1- 二、填空题 1.函数2 ()(2)2(2)4f x a x a x =-+-的定义域为R ,值域为(,0-, 则满足条件的实数a 组成的集合是 。 2.设函数f x ()的定义域为01,则函数f x ()-2的定义域为_。 3.当_x =时,函数22212()()().()n f x x a x a x a =-+-+-取得最小值。 4.二次函数的图象经过三点13 (,),(1,3
27、),(2,3)24 A B C -,则这个二次函数的 解析式为 。 5.已知函数? ?-+=)0(2) 0(1)(2x x x x x f ,若()10f x =,则x = 。 三、解答题 1.求函数x x y 21-+=的值域。 2.利用判别式方法求函数1 3 222 2+-+-=x x x x y 的值域。 3.已知,a b 为常数,若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+=+ 则求b a -5的值。 4.对于任意实数x ,函数2 ()(5)65f x a x x a =-+恒为正值,求a 的取值范围。 (数学1必修)第一章(下) 函数的基本性质 基础训练A
28、 组 一、选择题 1.已知函数)127()2()1()(2 2 +-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数, 则m 的值是( ) A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 2.若偶函数)(x f 在(1,-上是增函数,则下列关系式中成立的是( ) A .)2()1()2 3(f f f - B .)2()2 3()1(f f f - C .)2 3()1()2(-f f f D .)1()2 3()2(-f f f 3.如果奇函数)(x f 在区间3,7 上是增函数且最大值为5, 那么)(x f 在区间3,7-上是( ) A .增函数且最小值是5- B .增函数且最大值是5-
29、 C .减函数且最大值是5- D .减函数且最小值是5- 4.设)(x f 是定义在R 上的一个函数,则函数)()()(x f x f x F -= 在R 上一定是( ) A .奇函数 B .偶函数 C .既是奇函数又是偶函数 D .非奇非偶函数。 5.下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是( ) A .x y = B .x y -=3 C .x y 1 = D .42+-=x y 6.函数)11()(+-=x x x x f 是( ) A .是奇函数又是减函数 B .是奇函数但不是减函数 C .是减函数但不是奇函数 D .不是奇函数也不是减函数 二、填空题 1.设奇函数)(x f 的定义
30、域为5,5-,若当0,5x 时, )(x f 的图象如右图,则不等式()0f x 的解是 2.函数2y x =_。 3.已知0,1x ,则函数y =的值域是 . 4.若函数2 ()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数,则)(x f 的递减区间是 . 5.下列四个命题 (1)()f x ; (2)函数是其定义域到值域的映射; (3)函数2()y x x N =的图象是一直线;(4)函数22,0,0 x x y x x ? =?-?的图象是抛物线, 其中正确的命题个数是_。 三、解答题 1.判断一次函数,b kx y +=反比例函数x k y =,二次函数c bx ax y +
31、=2 的 单调性。 2.已知函数()f x 的定义域为()1,1-,且同时满足下列条件:(1)()f x 是奇函数; (2)()f x 在定义域上单调递减;(3)2(1)(1)0,f a f a -+-时是增函数,0x 也是增函数,所以)(x f 是增函数;(2)若函数2()2f x ax bx =+与x 轴没有交点,则2 80b a -;(3) 223y x x =-的递增区间为)1,+;(4) 1y x =+ 和y = 表示相等函数。 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1 C .2 D .3 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的路程. 在下图中纵
32、轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是( ) 二、填空题 1.函数x x x f -=2 )(的单调递减区间是_。 2.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x 时,1|)(2 -+=x x x f , 那么0x 时,()f x = . 3.若函数2()1 x a f x x bx += +在1,1-上是奇函数,则()f x 的解析式为_. 4.奇函数()f x 在区间3,7上是增函数,在区间3,6上的最大值为8, 最小值为1-,则2(6)(3)f f -+-=_。 5.若函数2 ()(32)f x k k x b =-+在R 上是减函数,则k 的取值范围为_。 三、解答题 1.判断下列函数的奇偶性 (1 )()f x = (2)()0,6,22,6f x x =- 2.已知函数()y f x =的定