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1、人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) 3人教版高中数列知识点总结(知识点+例题) 3 数学必修5 数列 知识点1:等差数列及其前n项 1(等差数列的定义 2(等差数列的通项公式 如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式an,a1，(n,1)d . 3(等差中项 a，b如果 A,2 ，那么A叫做a与b的等差中项( 4(等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an,am，(n-m)d，(n，m?N*)( an为等差数列，且k，l,m，n，(k，l，m，n?N*)，则 (3)若an是等差数列，公 (2)若差为d，则a2n也是等差数列，公差为. (4)若an，bn是等差数列，则p
2、an，qbn也是等差数列( (5)若an是等差数列，公差为d，则ak，ak，m，ak，2m，(k，m?N*)是公差为的等差数列( 5(等差数列的前n项和公式 n,a1，an,n,n,1,设等差数列an的公差d，其前n项和Sn或Sn,na1，22. 6(等差数列的前n项和公式与函数的关系 dd2 Sn2， a1,2n.数列an是等差数列?Sn,An2，Bn，(A、B为常数)( 7(等差数列的最值 d<0，则Sn存在最 大 值;若a1<0，d>0，则Sn 在等差数列an中，a1>0，存在最 小 值( 难点正本 疑点清源 1(等差数列的判定 (1)定义法:an,an,1,d
3、(n?2); (2)等差中项法:2an，1,an，an，2. 2(等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)am，am，k，am，2k，am，3k，仍是等差数列，公差为kd. (2)数列Sm，S2m,Sm，S3m,S2m，也是等差数列( (3)S2n,1,(2n,1)an. n(4)若n为偶数，则S偶,S奇,2. 若n为奇数，则S奇,S偶,a中(中间项)( 31例1(等差数列的判定或证明):已知数列an中，a1,5an,2, (n?2，an,1 1n?N*)，数列bn满足bn,(n?N*)( an,1 (1)求证:数列bn是等差数列; (2)求数列an中的最大项和最小项，并说明理由( 11 (
4、1)证明 ?an,2, (n?2，n?N*)，bn,. an,1an,1 11?n?2时，bn,bn,1,an,1an,1,1 11,1an,1,1 2a,1 n,1 an,11,1.an,1,1an,1,1 5?数列bn是以,2为首项，1为公差的等差数列( 712(2)解 由(1)知，bn,n,2，则an,1，b1， 2n,7n 2设函数f(x),1， 2x,7 7 7 易知f(x)在区间 ,?，2和 2，? 解得d?,22或d?2. 方法二 ?S5S6，15,0， ?(5a1，10d)(6a1，15d)，15,0， 9da1，10d2，1,0. 故(4a1，9d)2,d2,8.所以d2?8
5、. 故d的取值范围为d?,22或d?2. 例3(前n项和及综合应用)(1)在等差数列an中，已知a1,20，前n项和为Sn，且S10,S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值; (2)已知数列an的通项公式是an,4n,25，求数列|an|的前n项和( 解 方法一 ?a1,20，S10,S15， 10915145?1020，2d,1520，2d，?d,3. 565 5?an,20，(n,1) ,3,3，3 ?a13,0，即当n?12时，an>0，n?14时，an<0， 1211 5 ?当n,12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S13,S12,12202 ,3 ,
6、130. 5方法二 同方法一求得d,3n,n,1, 52523 125521255,n, ?Sn,20n2?3,6n，6,6，242 ?n?N*，?当n,12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12,S13,130. (2)?an,4n,25，an，1,4(n，1),25， ?an，1,an,4,d，又a1,41,25,21. 所以数列an是以,21为首项，以4为公差的递增的等差数列( an,4n,25<0， ?令 an，1,4,n，1,25?0， ? 11由?得n<64?得n?54，所以n,6. 即数列|an|的前6项是以21为首项，公差为,4的等差数列，从第7项起以后各项构成公
7、差为4的等差数列， 而|a7|,a7,47,24,3. 设|an|的前n项和为Tn，则 n,n,1, 21n， 2,4, ,n?6, Tn, ,n,6,n,7,66，3,n,6,，4 ,n?7, 2 2 ,2n，23n ,n?6,，, 2 2n,23n，132 ,n?7,. 例4，已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 3 例5等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn，且aSn7n+45=,则使得n为正nn整数的正整数n的个数是 3 . (先求an/bn n=5,13,35) 已知递推关系求通项:这类问题的要求不高，但试题难度较难把握.一般有三常见思路:
8、 (1)算出前几项，再归纳、猜想; (2)“an+1=pan+q”这种形式通常转化为an+1+=p(an+),由待定系数法求出,再化为等比数列; (3)逐差累加或累乘法. 2Sn例6 已知数列 an 中，a1 ，当n?2时，其前n项和Sn满足an ，则数列 an 2Sn,1的通项公式为 2 Sn,Sn,1 ,n 1, an ,n?2, 1,4n222Sn 2Sn,1 Sn,1,Sn 2SnSn,1 11, 2(n?2)SnSn,1 Sn .2n,1 aaaaan n n,1 3 2 a1,n?2.n,1n,221 2,lnn例7在数列an中，a1 2，an,1 an,ln(1,)，则an n
9、知识点2:等比数列及其n项和 1(等比数列的定义 2(等比数列的通项公式 3(等比中项 若G2,a?b (ab?0)，那么G叫做a与b的等比中项( 4(等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an,anqn,m，(n，m?N*)( (2)若an为等比数列，且k，l,m，n，(k，l，m，n?N*)，则ak?al,am?an. (3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(?0)， 1 a 2 ，an 仍是等比数列( ，a?b，nna n bn 5(等比数列的前n项和公式 等比数列an的公比为q(q?0)，其前n项和为Sn， 当q,1时，Sn,na1; a1,1,qn,a1,anq当q?1
10、时，Sn,. 1,q1,q 6(等比数列前n项和的性质 公比不为,1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n,Sn，S3n,S2n仍成等比数列，其 n公比为q. 7. 等比数列的单调性 【难点】 1(等比数列的特征 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非常数( 2(等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系(在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小( 3(等比数列的前n项和Sn (1)等比数列的前n项和Sn是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用( a1,1,qn,a1,anqn,1(2)等比
11、数列的通项公式an,a1q及前n项和公式Sn, (q?1)1,q1,q 共涉及五个量a1，an，q，n，Sn，知三求二，体现了方程的思想的应用( (3)在使用等比数列的前n项和公式时，如果不确定q与1的关系，一般要用分类讨论的思想，分公比q,1和q?1两种情况( 例1:(1)在等比数列an中，已知a6,a4,24，a3a5,64，求an的前8项和S8; (2)设等比数列an的公比为q (q>0)，它的前n项和为40，前2n项和为3 280，且前n项中数值最大的项为27，求数列的第2n项( (1)设数列an的公比为q， 由通项公式an,a1qn,1及已知条件得: 32 a6,a4,a1q,
12、q,1,24， ? 32a?a,aq,64. ? 351 由?得a1q3,?8. 将a1q3,8代入?式，得q2,2，无解将a1q3,8代入?式，得q2,4，?q,?2.，故舍去( 当q,2时，aa1,1,q8, 1,1，?S81,q255; q,2时，a,1，?Sa1,1,q8当, 181,q85. (2)若q,1，则na1,40,2na1,3 280，矛盾( ?q?1，? a1,1,qn, 1,q,40， ? a1,1,q2n, 1,q,3 280， ? ?1，qn,82，?qn,81， ? 将?代入?得q,1，2a1. ? 又?q>0，?q>1，?a1>0，an为递增数
13、列( ?an,a1qn,1,27， ? 由?、?、?得q,3，a1,1，n,4. ?a2n,a8,137,2 187. 例2 已知数列an的前n项和为Sn，数列bn中，b1,a1，bn, an,an,1 (n?2)，且an，Sn,n. (1)设cn,an,1，求证:cn是等比数列; (2)求数列bn的通项公式( 1)证明 ?an，Sn,n， ?an，1，Sn，1,n，1. ?,?得an，1,an，an，1,1， ?2an，1,an，1，?2(an，1,1),an,1， ?an，1,1 an,1,12，?an,1是等比数列( ?首项c1,a1,1，又a1，a1,1， ?a,11112，?c12q
14、,2又cn,an,1， ?c11n是以,2为首项，2为公比的等比数列( (2)解 由(1)可知cn, 1 ,2 1 2n,1 , 1 2n ， ?an,cn，1,1, 1 2n . ?当n?2时，bn,an,an,1 ,1, 1 , 1,2n, 1 2n1 , 1 2 n,1 , 1 2 n , 1 2 n . 又b11,a1, 1n2?bn, 2 . 例3 在等比数列a1n中，(1)若已知a2,4，a5,2，求an; (2)若已知a3a4a5,8，求a2a3a4a5a6的值( ? a5313解 (1)设公比为q，则aq，即q,8， 2 1 1?q,2，?an,a5?qn,5, ,2n,4.
15、2(2)?a3a4a5,8，又a3a5,a4，?a34,8，a4,2. 55?a2a3a4a5a6,a4,2,32. an，an，1例4已知数列an满足a1,1，a2,2，an，2,2n?N*. (1)令bn,an，1,an，证明:bn是等比数列; (2)求an的通项公式( 规范解答 (1)证明 b1,a2,a1,1， 1分 an,1，an当n?2时，bn,an，1,an,2,an 11,2(an,an,1),2bn,1， 5分 1?bn是首项为1，公比为,2 6分 1 n,1(2)解 由(1)知bn,an，1,an, ,2 ， 8分 当n?2时，an,a1，(a2,a1)，(a3,a2)，(
16、an,an,1) 10分 1n,1 ,21, 1 1n,2,1，1， ,2， ,2,1， 1 1, ,2 2 521 1 521,1，3 1, ,2n,1 ,33,2n,1当n,1时，33,21,1,1,a1， 521?an33,2n,1 (n?N*)( 14分 例4 (07 重庆11) 设是1,a和1,a的等比中项，则a+3b的最大值为 2 .(三角函数) 2233例5 若数列1, 2cos, 2cos,2cos, ,前100项之和为0, 则的值为 ( ) ,的三内角成等差数列例26 , 三边成等比数列,则三角形的形状为_等边三角形k ?k Z3_. 【综合应用】 例7.已知等差数列an的首
17、项a1,1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列bn的第2项、第3项、第4项( (1)求数列an与bn的通项公式; c1c2cn(2)设数列cn对n?N*均有bbban，1成立，求c1，c2，c3，c2 013. 12n 解 (1)由已知有a2,1，d，a5,1，4d，a14,1，13d， ?(1，4d)2,(1，d)(1，13d)(解得d,2 (?d>0). ?an,1，(n,1)?2,2n,1. 又b2,a2,3，b3,a5,9，?数列bn的公比为3， ?bn,3?3n,2,3n,1. ccc2)由bb，ban，1得 12n cn,1cc当n?2时，bb，,a.
18、 bn,1n12 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。c两式相减得:n?2时，ban，1,an,2. nn,1?cn,2bn,2?3 (n?2)( c又当n,1时，b,a2，?c1,3. 1 sin3 ,n,1,?cn, n,1. 2?3 ,n?2, 初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；?c1，c2，c3，c2 013 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.6,232 013 1、认真研读教材，搞好课堂教学研究工作，向课堂要质量。充分利用学生熟悉、感兴趣的和富有现实意义的素材吸引学生，让学生主动参与到各种数学活动中来，提高学习效率，激发学习兴趣，增强学习信心。
19、提倡学法的多样性，关注学生的个人体验。,3，,3，(,3，32 013),32 013. 1,3 其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。知识点3:数列的基本知识 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。1，an与Sn的关系:an S1(n 1)或Sn,Sn-1 互余关系sinA=cos(90A)、cosA=sin(90A)例1:设 an 数列的前n项和Sn n2，则a8的值为2，数列的递推公式及应用:利用数列的递推公式求数列的通项公式，一般有三种方法:累加法，累积法，构造法 1,，可令?对形如a1 a;an,1 pan,q的递推公式,p.q为常数p且 an,1, p,an, ,，整理得 q所以是 an, 等比数,an,1, p,an, ,，p-1 列 ?对形如an,1 8、从作业上严格要求学生，不但书写工整，且准确率高。对每天的作业老师要及时批改，并让学生养成改错的好习惯。1 求出 即可 an an1q p,的递推公式，两边取倒数后换元转化为，再pan,qan,1an (2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.例2:已知数列 an 满足a1 33,an,1-an 2n，则an的最小值为 10.5 n