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1、代数式的变形(整式与分式)在化简、求值、证明恒等式(不等式)、解方程(不等式)的过程中，常需将代数式变形，现结合实例对代数式的基本变形，如配方、因式分解、换元、设参、拆项与逐步合并等 方法作初步介绍.1.配方在实数范围内，配方的目的就是为了发现题中的隐含条件，以便利用实数的性质来解题例1设a、b、c、d都是整数，且 m=02+b2,n=c 2+d2,mn也可以表示成两个整数的平方和， 其形式是.解 mn=(a2+b2)(c 2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd) 2+(ad-bc) 2=(ac-bd) 2+(ad+bc) 2,所以，mn的形式
2、为(ac+bd) 2+(ad-bc) 2 或(ac-bd ) 2+(ad+bc) 2.例 2 设 x、y、z 为实数，且(y-z) 2+(x-y) 2+(z-x) 2=(y+z-2x) 2+(z+x-2y) 2+(x+y-2z) 2.0+1)3 +1)(孙+ 1)求1一 + lXy:+D(，+D 的值.解将条件化简成2x2+2y2+2z2-2xy-2x 2-2yz=0(x-y) 2+(x-z) 2+(y-z) 2=0x=y=z,，原式=1.2.因式分解前面已介绍过因式分解的各种典型方法,下面再举几个应用方面的例子例3 如果a是x2-3x+1=0的根,试求解-.1a 为 x2-3x+1=0 的根
3、,a十1的值.3aa 2-3a+1=0,且 s+1=1.(a2 3a +1)(21 +M + 3a)一 3a说明：这里只对所求式分子进行因式分解，避免了解方程和复杂的计算3.换元换元使复杂的问题变得简洁明了.例4设a+b+c=3m,求证：(m-a) 3+(m-b)3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.证明令 p=m-a,q=m-b,r=m-c 贝Up+q+r=0.P3+q3+r 3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即(m-a) 3+(m-b) 3+(m-c) 3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0-56-34
4、.”56徵。1235例 5 若 6%9012M456729012347,试比较 A、B 的大小.解设 r则 2工 _ E =-W + 2) -5 + 1) = 2走丁 二二,一,一广丁 二：.-2x y ，2x-y 0,又 y0,可知尸 y2.-.a B.4 .设参当已知条件以连比的形式出现时，可引进一个比例系数来表示这个连比牙 _ 若例6 若值一办 b-c 亡一色求x+y+z的值.则有 x=k(a-b), y=(b-c)k z=(c-a)k, x+y+z=(a -b)k+(b-c)k+(c-a)k=0.例7已知a、b、c为非负实数，且 a2+b2+c2=1,求a+b+c的值.解设 a+b+c
5、=k贝U a+b=k-c , b+c=k-a,a+c=k-b.a 2k-a 3+b2k-b 3+c2k-c 3=-3abc,(a 2+b2+c2)k+3abc=a 3+b3+c3.,.a2+b2+c2=1,k=a3+b3+c3-3abc=(a+b) 3-3a 2b-3ab 2+c3-3abc=(a+b+c)(a+b) 2+c2-(a+b)c-3ab(a+b+c),=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca),k=k(a 2+b2+c2-ab-bc-ac),k(a 2+b2+c2-ab-bc-ca-1)=0,k( -ab-bc-ac)=0.若 K=0,就是 a+b+c=0.若-ab-
6、bc-ac=0,即(a+b+c) 2-(a 2+b2+c2)=0,(a+b+c) 2=1,a+b+c= 1综上知 a+b+c=0 或 a+b+c= 15 .“拆”、“并”和通分下面重点介绍分式的变形：(1)分离分式 为了讨论某些用分式表示的数的性质，有时要将一个分式表示为一个整式 和一个分式的代数和.21题 + 4例8证明对于任意自然数n,分数14咫+ W皆不可约.证明 如果一个假分数可以通约，化为带分数后，它的真分数部分也必定可以通约 .21福+4 入 H 1% + 3 .19= 1 十，=2 十，14比十314两十3而7月十17惹十114 国 + 321部 + 4显然In+1不可通约，故
7、7片十1不可通约，从而14同+ 3也不可通约.(2)表示成部分分式 将一个分式表示为部分分式就是将分式化为若干个真分式的代数和(3)通分 通分是分式中最基本的变形 ，例9的变形就是以通分为基础的，下面再看一个技巧 性较强的例子.例9 已知台仁一口口亡一3 ab-e求证：工一i二i 一.a b c = ho-a ac -b2 ab -c2一iS 4方心，-盘心4方与证明 - ：l -6.其他变形例10 已知x(xw0, 1)和1两个数，如果只许用加法、 减法和1作被除数的除法三种运 算(可用括号)，经过六步算出x2.那么计算的表达式是.解 x 2=x(x+1)-x或 x 2=x(x-1)+x例
8、11 设 a、b、c、d 都是正整数，且 a5=b4,c 3=d2,c-a=19,求 d-b.解 由质因数分解的唯一性及a5=b4,c 3=d2,可设a=x4,c=y 2,故19=c-a=(y 2-x 4)=(y-x 2)(y+x 2)U, 无 解得 x=3. y=10. d -b=y3-x 5=757强化练习1 .选择题s 23x , X + ,1 十一十(1)把 工工 #相乘，其乘积是一个多项式，该多项式的次数是(A) 2 (B) 3 (Q 6 (D) 7 ( E) 8(2) 已知口 占 。+5则次占的值是().(A)1 (B)0 (C)-1 (D)3(3)假定x和y是正数并且成反比，若
9、x增加了 p%则y减少了().P 100.1。吐(A) p% (B) 1 - % (C) J % (D)-% (E) 1 ： 一 %2.填空题(1) (x-3) 5=ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f ,贝U a+b+c+d+e+f=, b+c+d+e= 1_1刎产3秒.2、(2)若算 yky =.2 2.2一魁4帖已知 y1=2x,y 2=1 期5 ,则 y1y1986=3 .若(x-z ) 2-4(x-y)(y-z)=0,试求 x+z 与 y 的关系.a ha h 4_4 .把白 修写成两个因式的积，使它们的和为8 值，求这两个式子.X2+3y2 +守44 Q5 .若 x+3y+5z
10、=0,2x+4y+7z=0.求 + 4y 4 7？ 的值.6 .已知x,y,z为互不相等的三个数，求证112十=.7 .已知a2+c2=2b2,求证地血十力已十曰8 .设有多项式 f(x)=4x 4-4px 3+4qx2+2q(m+1)x+(m+1) 2,求证：如果f(x)的系数满足p2-4q-4(m-1)=0,那么,f(x)恰好是一个二次三项式的平方9 .设(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)=(a+b+c+d)(bcd+cda+dab+abc).求证:ac=bd.参考答案2.(1)-32,210 (2)3.略.(3)2a b 口十小 a -b内口+小a -b b a厂丁丁丁而=，两个因
11、式为二1,3.4. L, 一一85. 1 1 6.略，7.略.8. 1.- p 2-4q- 4(m+1)=0, -4q=p 2-4(m+1)=0, f(x)=4x4-4px 3+p 2-4(m+1)x 2+2p - (m+1)x+(m+1) 2 =4x4+p2x2+(m+1)2-4px 3-4(m+1)x 2+2p(m+1)x =2x 2-px-(m+1) 2.9.令a+b=p,c+d=q,由条件化为 pq(b+c)(d+a)=(p+q)(cdp+adq), 展开整理得 cdp2-(ac+bd)+pq+abq 2=0,即(cp-bq)(dp-aq)=0.于是 cp=bq 或 dp=aq,即 c(a+b)=b(c+a) 或 d(a+b)=a(c+d). 均可得出ac=bd.