《2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词学案北师大版选修1_120180.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语3全称量词与存在量词学案北师大版选修1_120180.wps（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、33 全称量词与存在量词 对应学生用书P8 全称量词与全称命题 在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满 全城我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸我对各位表示热诚欢迎！” 来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人可是，有一天，这位理发师从镜 子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不 给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？ “他又属于 给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸 “”这就是著名的 罗素理发师悖论 问题 问题 1：文中理发师说：“我将给
2、所有的不给自己刮脸的人刮脸”对“所有的”这一词 语，你还能用其他词语代替吗？ 提示：任意一个，全部，每个 问题 2：上述词语都有什么含义？ 提示：表示某个范围内的整体或全部 全称量词与全称命题 (1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或 全部的含义，这样的词叫作全称量词 (2)含有全称量词的命题，叫作全称命题. 存在量词与特称命题 观察语句： 存在一个 xR R，使 3x15； 至少有一个 xZ Z，x能被 2 和 3 整除 问题 1：是命题吗？若是命题，判断其真假 提示：是，都为真命题 问题 2“：中的 存在一个”“”、 至少有一个 有什么含义？ “”“
3、提示：表示总体中 个别 或 一部分” 问题 3：你能写出一些与问题 2 中具有相同意义的词语吗？ 1 提示：某些，有的，有些 存在量词与特称命题 (1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的 词叫作存在量词 (2)含有存在量词的命题，叫作特称命题. 全称命题与特称命题的否定 观察下列命题： 被 7 整除的整数是奇数； 有的函数是偶函数； 至少有一个三角形没有外接圆 问题 1“：命题的否定： 被 7”整除的整数不是奇数 对吗？ 提示：不对，命题是省略了量词“”“所有 的全称命题，其否定应为 存在被 7 整除的整 数不都是奇数” 问题 2“”：命题的否定： 有的
4、函数不是偶函数 对吗？ 提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数 问题 3：判断命题的否定的真假 提示：命题的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题 全称命题与特称命题的否定 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题 1判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称 量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题 2要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命 题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质， 即说明这个特称命题的否定是正确的 对应学生用书P9 全称命题与特称命题的判断 例 1 判断
5、下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题 2 (1)对任意 xR R，x20； (2)有些无理数的平方也是无理数； (3)正四面体的各面都是正三角形； (4)存在 x1，使方程 x2x20； (5)对任意 xx|x1,3x40 成立； (6)存在 a1 且 b2，使 ab3 成立 思路点拨 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别不含量词的 命题要注意结合命题的语境进行分析 精解详析 (1)(5)“含全称量词 任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的 各面都是正三角形故(1)(3)(5)为全称命题； (2)(4)(6)“为特称命题，分别含有存在量词 有些”“、 存在”“
6、、 存在” 一点通 判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点： (1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词； (2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断 1下列命题为特称命题的是( ) A奇函数的图像关于原点对称 B正四棱柱都是平行六面体 C棱锥仅有一个底面 D存在大于等于 3 的实数 x，使 x22x30 解析：A，B，C“中命题都省略了全称量词 所有”，所以 A，B，C 都是全称命题；D 中命题 “含有存在量词 存在”，所以 D 是特称命题，故选 D. 答案：D 2下列命题中，全称命题的个数是( ) 任意一个自然数都是正整数； 所有的素数都是
7、奇数； 有的等差数列也是等比数列； 三角形的内角和是 180. A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 解析：命题含有全称量词，而命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是 180”，故有三个全称命题 答案：D 3 全称命题与特称命题的真假判断 例 2 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)对任意实数 x1，x2，若 x10.故 B 为假命题 x2 ) 4 答案：B 4判断下列命题的真假，并说明理由： 1 (1)对任意 xR R，都有 x2x1 成立； 2 (2
8、)存在实数 ，使 cos()cos cos 成立； (3)对任意 x，yN N，都有(xy)N N； (4)存在 x，yZ Z，使 2xy3 成立 4 1 3 3 1 解：(1)法一：当 xR R 时，x2x1(x )2 ，所以该命题是真命题 2 4 4 2 1 1 1 法 二：x2x1 x2x 0，由于 14 10，所以不等式 x2x1 2 2 2 1 的解集是 R R，所以该命题是真命题 2 2 (2)当 ， 时，cos()cos( )cos( )cos ，cos 4 2 4 2 4 4 2 2 2 cos cos cos 0 ，此时 cos()cos cos ，所以该命题是真命 4 2
9、2 2 题 (3)当 x2，y4 时，xy2/ N N，所以该命题是假命题 (4)当 x0，y3 时， 2xy3，即存在 x，yZ Z，使 2xy3，所以该命题是真命题. 全称命题、特称命题的否定 例 3 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定 (1)三角形的内角和为 180； (2)每个二次函数的图像都开口向下； (3)有些实数的绝对值是正数； (4)某些平行四边形是菱形 思路点拨 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定 精解详析 (1)是全称命题且为真命题 命题的否定：三角形的内角和不全为 180， 即存在一个三角形的内角和不等于 180. (2)是全称命题且为假命题 命题的否定：存
10、在一个二次函数的图像开口不向下 (3)是特称命题且为真命题 命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数 (4)是特称命题，且为真命题 命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形 一点通 1全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题 2写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定 结论 5(湖北高考)“”命题 存在一个无理数，它的平方是有理数 的否定是( ) A任意一个有理数，它的平方是有理数 5 B任意一个无理数，它的平方不是有理数 C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理数 解析：根据特称命题的否定是全称命题即可解答“存在一个
11、无理数，它的平方是有理数” 的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选 B. 答案：B 6若“对任意 xR R，ax22ax10”为真命题，则实数 a 的取值范围是_ 解析：依题意，问题等价于对任意 xR R，ax22ax10 恒成立当 a0 时，不等式显 然成立；当 a0 时，有Error!解得1a0，故实数 a 的取值范围是(1,0 答案：(1,0 7判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式 (1)对数函数都是单调函数； (2)至少有一个整数能被 2 整除且能被 5 整除； (3)存在 xR R，使 log2x0 成立； (4)对任意 mZ Z，都有 m230 成立
12、解：(1)命题省略了全称量词“所有”，所以是全称命题；否定形式：有的对数函数不是单 调函数 (2)命题含有存在量词“至少”，所以是特称命题；否定形式：所有整数不能被 2 整除或不 能被 5 整除 (3)命题含有存在量词，所以是特称命题；否定形式：对任意 xR R，都有 log2x0. (4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在 mZ Z，使 m230 成立 1判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词有些命题没有明显的 量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断 2对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题
13、； (2)改变量词； (3)否定结论； (4)无量词的全称命题要先补上量词再否定 三对应课时跟踪训练三 6 1“将命题x2y22xy”改写成全称命题为( ) A对任意 x，yR R，都有 x2y22xy 成立 B存在 x，yR R，使 x2y22xy 成立 C对任意 x0，y0，都有 x2y22xy 成立 D存在 x0，y0，使 x2y22xy 成立 解析：本题中的命题仅保留了结论，省略了条件“任意实数 x，y”，改成全称命题为：对 任意实数 x，y，都有 x2y22xy 成立 答案：A 2“ 关于 x 的不等式 f(x)0”有解 等价于( ) A存在 xR R，使得 f(x)0 成立 B存在
14、 xR R，使得 f(x)0 成立 C对任意 xR R，使得 f(x)0 成立 D对任意 xR R，f(x)0 成立 解析：“关于 x 的不等式 f(x)0 有解”等价于“存在实数 x，使得 f(x)0 成立”，故 选 A. 答案：A 3下列命题为真命题的是( ) A对任意 xR R，都有 cos x2 成立 B存在 xZ Z，使 log2(3x1)0 成立 C对任意 x0，都有 3x3 成立 D存在 xQ Q，使方程 2x20 有解 解 析：A 中，由于函数 ycos x 的最大值是 1，又 12，所以 A 是真命题；B 中，log2(3x 1 2 1)0 03x11 x ，所以 B 是假命
15、题；C 中，当 x1 时，313，所以 C 是假 3 3 命题；D 中， 2x20x 2/ Q Q，所以 D 是假命题，故选 A. 答案：A 4给出四个命题：末位数字是偶数的整数能被 2 整除；有的菱形是正方形；存在 实数 x，使 x0；对于任意实数 x,2x1 都是奇数下列说法正确的是( ) A四个命题都是真命题 B是全称命题 C是特称命题 D四个命题中有两个假命题 解析：为全称命题；为特称命题；为真命题；为假命题 答案：C 5下列命题中全称命题是_；特称命题是_ 7 正方形的四条边相等； 有两个角是 45的三角形是等腰直角三角形； 正数的平方根不等于 0； 至少有一个正整数是偶数 解析：是
16、全称命题，是特称命题 答案： 6“命题 偶函数的图像关于 y ”轴对称 的否定是_ 解析：本题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为： 所有偶函数的图像关于 y 轴对称将命题中的全称量词“所有”“改为存在量词 有些”，结 “论 关 于 y 轴对称”改为“关于 y 轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图像关于 y 轴不 对称” 答案：有些偶函数的图像关于 y 轴不对称 7写出下列命题的否定并判断其真假 (1)有的四边形没有外接圆； (2)某些梯形的对角线互相平分； (3)被 8 整除的数能被 4 整除 解：(1)命题的否定：所有的四边形都有外接圆，是假命题 (2)命题的否定：任一个梯形的对角线不互相平分，是真命题 (3)命题的否定：存在一个数能被 8 整除，但不能被 4 整除，是假命题 8(1)若命题“对于任意实数 x，不等式 sinxcosxm 恒成立”是真命题，求实数 m 的 取值范围； (2)若命题“存在实数 x，使不等式 sin xcos xm 有解”是真命题，求实数 m 的取值范 围 解：(1)令 ysin xcos x，xR R， ysin xcos x 2 sin( 4) 2， x 又任意 xR R，sin xcos xm 恒成立， 只要 mm 有解， 只要 m 2 即可，所求 m 的取值范围是( ， 2) 8