《2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线学案北师大版选修1_12018060617.wps》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2017_2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线学案北师大版选修1_12018060617.wps（30页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、22 抛_ _物_ _线 21 抛物线及其标准方程 对应学生用书P21 抛物线的定义 如右图，我们在黑板上画一条直线 EF，然后取一个三角板，将一条拉 链 AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在 C点， 将三角板的另一条直角边贴在直线 EF上，在拉锁 D处放置一支粉笔，上 下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线 问题 1：曲线上点 D到直线 EF的距离是什么？ 提示：线段 DA的长 问题 2：曲线上点 D到定点 C的距离是什么？ 提示：线段 DC的长 问题 3：曲线上的点到直线 EF和定点 C之间的距离有何关系？ 提示：相等 抛物线的定义 定义 平面内与一个定点 F和一条定直线
2、 l(l不过 F)距离相等的点的集合叫作抛物线 焦点 定点 F 准线 定直线 l 抛物线的标准方程 已知某定点和定直线 l(定点不在定直线 l上)，且定点到 l的距离为 6，曲线上的点到定 点距离与到定直线 l的距离相等在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直 线 A(3,0)，B(3,0)，C(0,3)，D(0，3)； l1：x3，l2：x3，l3：y3，l4：y3. 问题 1：到定点 A和定直线 l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向 提示：y212x. 向右 1 问题 2：到定点 B和定直线 l2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y212x.
3、向左 问题 3：到定点 C和定直线 l3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x212y. 向上 问题 4：到定点 D和定直线 l4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x212y. 向下 抛物线的标准方程 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 p y2 2px(p 0) ( ，0 ) 2 p x 2 p y2 2px(p 0) ( ，0) 2 p x 2 p x2 2py(p 0) (0， 2 ) p y 2 p x2 2py(p 0) (0， 2) p y 2 1平面内与一定点 F和一定直线 l距离相等的点的集合是抛物线，定点 F不在定直线上， 否则点的轨迹是过点
4、 F垂直于直线 l的直线 2抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上 对应学生用书P23 求抛物线的焦点坐标和准线方程 例 1 指出下列抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向 1 (1)y x2； 4 (2)xay2(a0) 思路点拨 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p.再写出焦点坐标 和准线方程 2 1 精解详析 (1)抛物线 y x2的标准形式为 x24y， 4 p2，焦点坐标是(0,1)，准线方程是 y1.抛物线开口向上 1 (2)抛物线方程的标准形式为 y2 x， a 1 2p . |a| p 1 当 a0时， ，抛物线开口向右， 2 4a
5、 1 1 焦点坐标是( ，0)，准线方程是 x ； 4a 4a p 1 当 a0时， 4a 4a 开口向右；a0)或 x22p2y(p20)，过点( 3,2)， 42p1(3)或 92p22. 2 9 p1 或 p2 . 3 4 4 9 故所求的抛物线方程为 y2 x 或 x2 y. 3 2 (2)令 x0 得 y2，令 y0 得 x4， 抛物线的焦点为(4,0)或(0，2) p 当焦 点为(4,0)时， 4， 2 p8，此时抛物线方程 y216x； p 当焦点为 (0，2)时， |2|， 2 p4，此时抛物线方程为 x28y. 故所求的抛物线的方程为 y216x 或 x28y. (3)由题意
6、知，抛物线标准方程为 x22py(p0)或 x22py(p0)且 p3，抛物线标准 方程为 x26y 或 x26y. 一点通 求抛物线标准方程的方法有： (1)定义法，求出焦点到准线的距离 p，写出方程 (2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可， 若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2ax(a0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2ay(a0) 3(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为 x2，则拋物线的方程是( ) Ay28x By28x Cy24x Dy24x 解析：由准线方程 x
7、2，可知拋物线为焦点在 x 轴正半轴上的标准方程，同时得 p4， 所以标准方程为 y22px8x. 答案：B 4抛物线的顶点在原点，对称轴是 x 轴，抛物线上一点(5,2 5)到焦点的距离是 6，则 4 抛物线的方程是_ 解析：因为点(5,2 5)在第二象限，且以原点为顶点，x轴为对称轴，故抛物线开口向 左，设其方程为 y22px，把(5,2 5)代入得 p2，故所求方程为 y24x. 答案：y24x 5已知焦点在 x轴上，且抛物线上横坐标为 3 的点 A到焦点的距离为 5，求抛物线的标 准方程 p 解：由题意，设抛物线方程为 y22px(p0)，其准线为 x . 2 A到焦点的距离为 5，A
8、到准线的距离也是 5， p 即 3( 5，解得 p4. 2 ) 故所求的抛物线标准方程为 y28x. 抛物线标准方程的实际应用 例 3 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某 卡车载一集装箱，箱宽 3 m，车与箱共高 4 m，此车能否通过此隧道？请说明理 由 思路点拨 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方 程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断 精解详析 建立如图所示的平面直角坐标系 设抛物线方程为 x22py(p0)， 当 x3 时，y3，即点(3，3)在抛物线上 代入得 2p3，故抛物线方程为
9、x23y. 已知集装箱的宽为 3 m， 3 3 当 x 时，y ，而桥高为 5 m， 2 4 3 1 所以 5 4 4. 4 4 故卡车可通过此隧道 一点通 1本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、 符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题 2在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立 坐标系这样可使得方程的形式更为简单，便于计算 5 6某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶 6 m 时，水面宽 10 m，抛物线的方程可能是( ) 25 25 Ax2 y Bx2 y 6 12 36 25 Cx2 y Dx2 y 5 24 解析：
10、建立直角坐标系如图，设抛物线方程为 x22py(p0)， 则 P(5，6)在抛物线上 25 252p(6)，p . 12 25 抛物线方程为 x2 y. 6 答案：A 7某抛物线形拱桥跨度是 20米，拱桥高度是 4 米，在建桥时，每 4 米需用一根支柱支撑， 求其中最长支柱的长 解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为 x22py(p 0) 依题意知，点 P(10，4)在抛物线上， 1002p(4)，2p25. 即抛物线方程为 x225y. 每 4 米需用一根支柱支撑， 支柱横坐标分别为6，2,2,6. 4 由图知，AB 是最长的支柱之一，点 B 的坐标为(2，yB)，代入 x225y，得
11、 yB . 25 4 |AB|4 3.84，即最长支柱的长为 3.84 米 25 1确定抛物线的标准方程，只需求一个参数 p，但由于标准方程有四种类型，因此，还 应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论有时也可设标准方程的统一形式， 避免讨论，如焦点在 x 轴上的抛物线标准方程可设为 y22mx(m0)，焦点在 y 轴上的抛物线 标准方程可设为 x22my(m0) 2求抛物线标准方程的方法： 6 特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论 七对应课时跟踪训练七 1 1抛物线 y x2的焦点坐标是( ) 8 A(0，4) B(0，2) 1 1 C( ，0) D( ，0) 2
12、32 解析：抛物线方程可化成 x28y，所以焦点坐标为(0，2)，故选 B. 答案：B x2 y2 2若抛物线 y22px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为( ) 6 2 A4 B2 C6 D8 解析：a26，b22， c2a2b24，c2. p 椭圆的右 焦点为(2,0)， 2，p4. 2 答案：A 3抛物线 yax2的准线方程是 y2，则 a 的值为( ) 1 1 A. B 8 8 C8 D8 1 1 1 解析：由 yax2，得 x2 y， 2，a . a 4a 8 答案：B 4若动圆与圆(x2)2y21 外切，又与直线 x10 相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ( ) Ay28
13、x By28x Cy24x Dy24x 解析：设动圆的半径为 r，圆心 O(x，y)，且 O到点(2,0)的距离为 r1，O到直线 x 1 的距离为 r，所 以 O到(2,0)的距离与到直线 x2 的距离相等，由抛物线的定义知 y2 8x. 答案：A 5抛物线 y22px 过点 M(2,2)，则点 M 到抛物线准线的距离为_ 7 p 5 解析：因为 y22px 过点 M(2,2)，于是 p1，所以点 M 到抛物线准线的距离为 2 . 2 2 5 答案： 2 6已知点 P(6，y)在抛物线 y22px(p0)上，若点 P 到抛物线焦点 F 的距离等于 8，则 焦点 F 到抛物线准线的距离等于_
14、p 解析：抛物线 y22px(p0)的准线为 x ，因为 P(6，y)为抛物线上的点，所以 P 到 2 p 焦点 F 的距离等于它到准线的距离，所以 6 8，所以 p4，故焦点 F 到抛物线准线的距离 2 等于 4. 答案：4 7由条件解下列各题的标准方程及准线方程 (1)求焦点在直线 2xy50 上的抛物线的标准方程及其准线方程 (2)已知抛物线方程为 2x25y0，求其焦点和准线方程 (3)已知抛物线方程为 ymx2(m0)，求其焦点坐标及准线方程 5 解：(1)直线 2xy50 与坐标轴的交点为( ，0)，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线 2 方程分别为 y210x，x220y. 5
15、其对应准 线方程分别是 x ，y5. 2 5 5 5 (2)抛物线方程即为 x2 y，焦点为 8)，准线方程：y . 2 (0， 8 1 1 1 (3)抛物线方程即为 x2my(m0)，焦点为(0，4m)，准线方程 y . 4m 8.如图，已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4，且位于 x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于 5，过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M. (1)求抛物线方程； (2)过 M 作 MNFA，垂足为 N，求点 N 的坐标 p 解：(1)抛物线 y22px 的准线为 x ， 2 p 于是，4 5，p2. 2
16、 所以抛物线方程为 y24x. (2)因为点 A 的坐标是(4,4)， 由题意得 B(0,4)，M(0,2) 8 4 又 F(1,0)，所以 kAF . 3 3 因为 MNFA，所以 kMN . 4 4 则 FA 的方程为 y (x1)， 3 3 MN 的 方程为 y x2. 4 解方程组Error!得Error! 8 4 所以 N( . ，5 ) 5 9 22 抛物线的简单性质 对应学生用书P25 太阳能是最清洁的能源太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型 例子太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面它 的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线 都经过
17、抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据 问题 1：抛物线有几个焦点？ 提示：一个 问题 2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？ 提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点 问题 3：抛物线有对称中心吗？ 提示：没有 问题 4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？ 提示：有；1 条 抛物线的简单性质 类型 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) 图像 p 焦点 F( ，0 ) 2 p F( ，0) 2 p F( 2 ) 0， p F(0， 2) p 准线 x 2 p x 2 p y 2 p y 2 范围 x0，yR R x0，yR R xR R
18、，y0 xR R，y0 性 对称轴 x 轴 y 轴 质 顶点 O(0,0) 离心率 e 1 开口方向 向右 向左 向上 向下 通径 过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点 P1，P2，线段 P1P2叫抛物线的 10 通径，长度|P1P2|2p 1抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3抛物线的离心率是确定的，e1； p 4抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为 . 2 对应学生用书P25 利用抛物线性质求标准方程 例 1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为 x轴，且与圆 x2y24 相交的公共弦 长等于 2 3，求这条抛
19、物线的方程 思路点拨 因为圆和抛物线都关于 x轴对称，所以它们的交点也关于 x轴对称，即公共 弦被 x轴垂直平分，于是由弦长等于 2 3，可知交点纵坐标为 3. 精解详析 如图，设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y2 2px(p0)， 设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)， 1 3 3 2p ，p ， 4 2 12 3 抛物线方程为 y2 x， 6 3 同 理，当抛物线的焦点在 x 轴负半轴上时，方程为 y2 x. 6 答案：C 3已知抛物线 y22px(p0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为 2 13，一直角边所在的直线方程是 y2x，求此抛物线
20、的方程 1 解：由题意得另一直角边所在的直线方程是 y x. 2 p 由Error!得三角形的一顶点为( ，p )， 2 12 由Error!得三角形的另一个顶点为(8p，4p)， p 由已知，得 ( 2) 2(4pp)2(2 )2. 8p 13 4 8 解得 p .故所求抛物线的方程为 y2 x. 5 5 抛物线的定义及性质的应用 例 2 若动点 M到点 F(4,0)的距离比它到直线 x50 的距离小 1，求动点 M的轨迹方 程 思路点拨“ 点 M与点 F的距离比它到直线 l：x50 的距离小 1”“，就是 点 M与点 F 的距离等于它到直线 x40 的距离”，由此可知点 M的轨迹是以 F为
21、焦点，直线 x40 为 准线的抛物线 精解详析 如图，设点 M的坐标为(x，y) 由已知条件可知，点 M与点 F的距离等于它到直线 x40 的距离 p 根据抛物线的 定义，点 M的轨迹是以 F(4,0)为焦点的抛物线，且 4，即 p8. 2 因为焦点在 x轴的正半轴上，所以点 M的轨迹方程为：y216x. 一点通 由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为 到准线距离处理即：若 p(x0，y0)是抛物线 y22px上任意一点，则 p到焦点 F的距离为|PF| p x0 (称为焦半径) 2 4平面上点 P到定点(0，1)的距离比它到 y2 的距离小 1，则 点
22、 P轨迹方程为_ 解析：由题意，即点 P到(0，1)距离与它到 y1 距离相等，即点 P是以(0，1)为焦 点的抛物线，方程为 x24y. 答案：x24y 5已知抛物线 y22x的焦点是 F，点 P是抛物线上的动点，又有点 A(3,2)，求|PA|PF| 的最小值，并求出取最小值时 P点坐标 解：将 x3 代入抛物线方程 y22x，得 y 6. 13 62，A在抛物线内部 1 设抛物线上 点 P到准线 l：x 的距离为 d， 2 由定义知|PA|PF|PA|d， 7 由图可知，当 PAl时，|PA|d最小，最小值为 ， 2 设 P(x0，y0)，则 y02， x02. 故 P点坐标为(2,2)
23、. 与焦点弦有关的问题 p 例 3 已知抛物线 y22px(p0)，直线 l过抛物线焦点 F( ，0 )与抛物线交于 A，B两 2 点 求证：以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切 思路点拨 解答本题可设出 A，B两点坐标，并用 A，B的坐标表示圆心坐标，然后证明 圆心到准线的距离为圆的半径 精解详析 设直线 l与抛物线两交点 A，B坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则中点 M x1x2 y1y2 ( 2 ) ， . 2 p p 而|AB|AF|BF|x1 x2 2 2 x1x2p. p 设圆心 M到准线 x 的距离为 d， 2 x1x2 p x1x2p 则 d ， 2 2 2 |AB|
24、 d ， 2 p 即圆心到准线 x 的距离等于圆的半径 2 以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切 一点通 1涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为 点到准线的距离 2设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，若 AB是抛物线 y22px(p0)过焦点 F的一条弦，则|AB| p2 x1x2p，x1x2 ，y1y2p2. 4 14 6过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若 x1x26， 则|AB|的值为( ) A10 B8 C6 D4 解析：如图，y24x， 2p4，p2. 由抛物线定义知： |AF|x11，|BF
25、|x21， |AB|AF|BF| x1x22628. 答案：B 7(江西高考)已知点 A(2,0)，抛物线 C：x24y 的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于 点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|MN|( ) A2 5 B12 C1 5 D13 x y 解析： 如图 直， 线 MF 的方程为 1 即， x2y20.设直线 MF 的倾 2 1 1 |MF| 斜角为 则， tan .由抛物线的定义得|MF|MQ|.所以 2 |MN| |MQ| 1 sin . |MN| 5 答案：C p 1抛物线 y22px 上的点 P(x0，y0)到焦点 F 的距离(焦半径)：|PF|x0 . 2
26、2若过抛物线 y22px 的焦点的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB| x1x2p(焦点弦公式)当 ABx 轴时，AB 为通径且|AB|2p. 3解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程 组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用 八对应课时跟踪训练八 15 1设抛物线的顶点在原点，焦点 F 在 y 轴上，抛物线上的点(k，2)与 F 的距离为 4， 则 k 的值为( ) A4 B2 C4 或4 D2 或2 p 解析： 由题意知抛物线方程可设为 x22py(p0)，则 24， 2 p4，
27、x28y，将(k，2)代入得 k4. 答案：C 2已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( ) 3 A. B1 4 5 7 C. D. 4 4 1 解析：根据抛物 线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为： (|AF|BF|) 2 1 3 1 5 . 4 2 4 4 答案：C 3(新课标全国卷 )O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y24 2x 的焦点，P 为 C 上的一点， 若|PF|4 2，则POF 的面积为( ) A2 B2 2 C2 3 D4 解析：如图，设点 P 的坐标为(x0，y0)
28、，由|PF|x0 24 2，得 x03 2，代入抛物线方程得，y204 23 224， 1 1 所以|y0|2 6，所以 SPOF |OF|y0| 2 2 . 2 6 3 2 2 答案：C 4设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果 直线 AF 的斜率为 3，那么|PF|等于( ) A4 3 B8 C8 3 D16 解析：由抛物线的定义得，|PF|PA|，又由直线 AF 的斜率为 3，可知PAF60. 4 PAF 是等边三角形，|PF|AF| 8. cos 60 答案：B 5顶点在原点，焦点在 x 轴上且通径长为 6 的抛物线方程是_ 16 a
29、解析：设抛物线的方程为 y22ax，则 F( ，0 ). 2 a |y| 2a a2|a|. 2 由于通径长为 6，即 2|a|6， a3.抛物线方程为 y26x. 答案：y26x 6对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在 y 轴上； 焦点在 x 轴上； 抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6； 抛物线的通径的长为 5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 则使抛物线方程为 y210x 的必要条件是_(要求填写合适条件的序号) 解析：由抛物线方程 y210x，知它的焦点在 x 轴上，所以适合 5 又它的焦点坐标为 F( ，0 )，原点 O(0,0)，设点 P(
30、2,1)，可得 kPOkPF1，也 2 合适 而显然不合适，通过计算可知不合题意应填序号为. 答案： 7已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，并且经过点 M(2，y0)若点 M 到 该抛物线焦点的距离为 3，求抛物线方程及|OM|的值 p p 解：设抛物线方程为 y22px(p0)，则焦点坐标为( ，0 )，准抛物线方程为 x . 2 2 M 在抛物线上， M 到焦点的距离等于到准线的距离，即 p p ( 2 ) 3. 2 2y20 (22 ) 2 解得：p1，y02 2， 抛物线方程为 y22x. 点 M(2，2 2)，根据两点间距离公式有： |OM| 22 2 222 3. 8已知 yxm 与抛物线 y28x 交于 A，B 两点 (1)若|AB|10，求实数 m 的值； (2)若 OAOB，求实数 m 的值 解：由Error!得 x2(2m8)xm20. 17 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x282m，x1x2m2，y1y2m(x1x2)x1x2m2 8m. 7 (1)因为|AB| 1k2 x1x224x1x2 2 6432m10，所以 m . 16 (2)因为 OAOB，所以 x1x2y1y2m28m0，解得 m8，m0(舍去)故实数 m 的值 为8. 18