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1、浙教版初中数学八年级下册知识点及典型例题浙教版八年级下册知识点及典型例题 第一章二次根式 1(二次根式:一般地式子叫做二次根式.注意:,1,若这个条件不成立a,(a,0)a,0则 不是二次根式,2,是一个重要的非负数即, ?0. aaaa(a,0),222(重要公式:,1,2,a,a, ,注意使用(a),a(a,0),a(a,0),2. a,(a)(a,0)3(积的算术平方根:积的算术平方根等于积中各因式的算术ab,a,b(a,0,b,0)平方根的积,注意:本章中的公式对字母的取值范围一般都有要求. 4(二次根式的乘法法则: . a,b,ab(a,0,b,0)5(二次根式比较大小的方法: ,1
2、,利用近似值比大小, ,2,把二次根式的系数移入二次根号内然后比大小, ,3,分别平方然后比大小. aa,(a,0,b,0)6(商的算术平方根:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除bb以除式的算术平方根. 7(二次根式的除法法则: aa,(a,0,b,0),1, bb,2, a,b,a,b(a,0,b,0),3,分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化,具体方法是:分式的分子与分母同乘分母的有理化因式使分母变为整式. 8(常用分母有理化因式: a与aa,b与a，bma，nb与ma,nb它们也叫互为有理化因式. 9(最简二次根式: ,1,满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式? 被开方数
3、的因数是整数因式是整式? 被开方数中不含能开的尽的因数或因式, ,2,最简二次根式中被开方数不能含有小数、分数字母因式次数低于2且不含分母, ,3,化简二次根式时往往需要把被开方数先分解因数或分解因式, ,4,二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式. 10(二次根式化简题的几种类型:,1,明显条件题,2,隐含条件题,3,讨论条件题. 11(同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后如果被开方数相同这几个二次根式叫做同类二次根式. 12(二次根式的混合运算: ,1,二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算以前学过的在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合运算中都
4、适用, ,2,二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简例如:化为同类二次根式才能合并,除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便,使用乘法公式等. 第二章 一元二次方程 1. 认识一元二次方程: 2axbxc，,0abc,概念:只含有一个未知数并且可以化为 (为常数)a,0的整式方程叫一元二次方程。 构成一元二次方程的三个重要条件: ?、方程必须是整式方程(分母不含未知数的方程)。 2222如:是分式方程所以不是x,30x,30xx一元二次方程。 ?、只含有一个未知数。 ?、未知数的最高次数是2次。 2. 一元二次方程的一般形式: 2axbxc，,0abc,一般形式: (a,0)系数中一定
5、不能为0b、则可ac以为0所以以下几种情形都是一元二次方程: 22bc,0,0axc，,0320x,?、如果则得例如:, 22bc,0,0axbx，,0340xx，,?、如果则得例如:, 22bc,0,0ax,030x,?、如果则得例如:, 22bc,0,0axbxc，,03420xx，,?、如果则得例如:。 2bxb其中叫做二次项叫做二次项系数,叫做一次项叫做一次项系数,叫做axac常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式。 2 例题:将方程化成一元二次方程的一般形式. (3)(31)xxx,，,2 解: (3)(31)xxx,，,22383xxx,
6、去括号，得: 22830xx,移项、合并同类项，得: (一般形式的等号右边一定等于0) 3. 一元二次方程的解法: (1)、直接开方法:,利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解, 2 形式: ()xab，,222(2)、配方法:,理论依据:根据完全平方公式:将原方程配aabbab,，,2()2成的形式再用直接开方法求解., ()xab，,2,bbac4x, (3)、公式法:,求根公式:2a(4)、分解因式法:,理论依据:则或,利用提公因式、运用 ab,0a,0b,0公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。, 4、一元二次方程的应用 例1 商场某种新商品每件进价是
7、120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件(据此规律，请回答: (1)当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品,商场获得的日盈利是多少, (2)在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元,(提示:盈利,售价,进价) 分析:这是一个一元二次方程应用题，关键在于理清数量关系，列出方程。 70-170-130，,130件(1)解:销售件数: ，301701201500，,元日获利: ，(2)解:设每件商品的销售价定为元 xxx,，,120701301
8、1600，由题意得: ，2xx,，,320256000整理得: 2x,1600即: ，？,x160 答:每件商品的销售价定为160元时，商场日盈利可达1600元。 例 2 如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题: n=1 n=2 n=3 (1)铺设地面所用瓷砖的总块数为 (用含n的代数式表示，n表示第n个图形) (2)上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值; (3)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形,请通过计算加以说明。 分析:这是一个图形数列题，解题关键在于理清数量关系。黑瓷砖由四部分组成，比较难求。所以先考虑nn,
9、，(1)白瓷砖数，观察白瓷砖数量变化，不难发现，第个图形中白瓷砖数为。同时再观察整个图形n(2)(3)nn，,，瓷砖数量变化，易得，第个图形中总瓷砖数为块。 n2解:(1) nn，5622nn，,56506nn，,55000(2)由题意得:，即 nn,，,20250? ，？,nn20,25 (不合题意，舍去)。 122(3) 白瓷砖:(块) nn，黑瓷砖:(块) 46n，2nnn，,，46由题意得: 2nn,360 333,x, 解得:(不合题意，舍去) 2? 不存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形。 第三章 频数分布及其图形 1、 频数及频率的概念 ,1, 频数:一组数据中每个数据出现的次数叫做
10、该数据的频数。 ,2, 频率:一组数据中每个数据出现的次数与总次数的比值叫做频率。 频数频率, 数据总个数2、 极差:一组数据的最大值与最小值的差叫做极差。 3、 频数分布表的绘制步骤; (1) 确定最大值和最小值。 (2) 确定组数和组界 (3) 划记 (4) 绘制频数分布表 4、 频数分布直方图 ,1, 频数分布直方图的组成:?横轴,?纵轴,?条形图。 ,2, 频数分布直方图的绘制:?列出频数分布表?画出频数分布直方图。 5、 频数分布折线图 顺次连结频数分布直方图是每个长方形上面一条边的中点就得到所求的频数分布折线图。 例1、填空题 (1)有位同学在草稿纸上随手写下了下面这一串的数字:
11、34012001122211113432100013440120231 则其中0出现的频数为 ，1出现的频数为 ，2出现的频数为 ， 3出现的频数为 ，4出现的频数为 。 (2)已知在一个样本中，50个数据分布落在5组内，第一、二、三、五组的数据的格个数分别为2，8，15，5，则第四小组的频数为 ; (3)一组数据的最大值和最小值之差为78，若要用频数分布直方图对其进行统计，且分为10组，则组距为 ; 第四章 命题与证明 概念:一般地能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义 一般地对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题。 命题结构:命题可看做由题设,条件,和结论两
12、部分组成。题设是已知事项结论是由已知事项推出的事项。 命题的分类:正确的命题叫做真命题不正确的命题叫做假命题 判定一个命题是真命题的方法: (1)通过推理的方式,即根据已知的事实来推断未知事实;用推理的方法判断为正确的命题叫做定理. (2)人们经过长期实践后而公认为正确的:数学中通常挑选一部分人类经过长期实践后公认为正确的命题叫做公理. 定理和公理都可以作为判断其他命题真假的依据. ,公理(公认为正确),真命题定理(需要推理),命题 ,其它的真命题(需要推理),假命题(举反例),第五章 平行四边形 平行四边形 定义:有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 表示:平行四边形用符号“? ”来表示
13、。 平行四边形性质: 平行四边形对边相等,平行四边形对角相等,平行四边形对角线互相平分 平行四边形的面积等于底和高的积即S=ah其中a可以是平行四边形的任何一边h?ABCD必须是a边到其对边的距离即对应的高。 平行四边形的判定: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 从对角线看:对角钱互相平分的四边形是平行四边形 从角看:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 若一条直线过平行四边形对角线的交点则直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点且这条直线二等分平行四边形的面积。 三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫
14、做三角形的中位线 三角形中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半。 例题1、如图:平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，MN过点O与AB、CD相交于M、N，你认为OM、ON有什么关系,为什么, 解:OM=ON 证明:?平行四边形ABCD ?OB=OD , AB?CD ?ABD=?CDB A D 又?BOM=?DON O N M BOM?DON ?B ?OM=ON。 C 例题2(如图，中，BD平分?ABC，DE?BC交AB于点E，?ABCA EF?AC交BC于F，试说明BE=CF。 E D 解:?BD平分?ABC B F C ?ABD=?DBC ?DE?BC，?
15、EDB=?DBC ?ABD=?EDB ?BE=ED ?DE?BC，EF?AC ?四边形EFCD是平行四边形 ?CF=ED ?BE=CF。 第五章 特殊平行四边形及梯形 矩形:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形也说是长方形 矩形的性质: 矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等 矩形的对角线相等且互相平分。 特别提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形具有平行四边形的一切性质 矩形的判定方法 有一个角是直角的平行四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形,菱形是平行四边形:一组邻边相等, 性质: 菱形的四条边都相等 菱
16、形的两条对角线互相垂直平分并且每一条对角线平分一组对角。 菱形的判定方法: 一组邻边相等的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 正方形: 定义:四条边都相等四个角都是直角的四边形是正方形。 性质:正方形既有矩形的性质又有菱形的性质。 正方形是轴对称图形其对称轴为对边中点所在的直线或对角线所在的直线也是中心对称图形对称中心为对角线的交点。 特殊的平行四边形 1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质: 平行四边形 矩形 菱形 正方形 图形 1(对边 1(对边 1(对边 且四1(对边 且四且 ; 且 ; 条边都 ; 条
17、边都 ; 2(对角 ; 2(对角 2(对角 ; 2(对角 且四个性质 邻角 ; 且四个角都是 3(对角线 角都是 ; 3(对角线 ; 且每 3(对角线 ; 3(对角线 条对角线 且每条对角; ; 线 ; 面积 例题1、矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，?1,2?2，若AC,1.8cm，试求AB的长。 例题2、如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上任意一点(点G与B、C不重初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；合)，AE?DG于E，CF?AE交DG于F. 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出
18、加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。(1) 在图中找出一对全等三角形，并加以证明; （5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：(2) 求证:AE=FC+EF. 二、学生基本情况分析：例题3、已知:如图，在?ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是若a0，则当x时，y随x的增大而减小。对角线，AG?DB交CB的延长线于G( (1) 求证:?ADE?CBF; 九年级数学下
19、册知识点归纳(2) 若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是 什么特殊四边形,并证明你的结论( 梯形: 定义:一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 等腰梯形:两腰相等的梯形是等腰梯形。 直角梯形:有一个角是直角的梯形是直角梯形 (1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.等腰梯形的性质: 等腰梯形是轴对称图形上下底的中点连线所在的直线是对称轴 等腰梯形同一底边上的两个角相等。 等腰梯形的两条对角线相等。 等腰梯形的判定定理 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形 对称轴：x=等腰梯形的判定方法:先判定它是梯形再用两腰相等或同一底上的两个角相等来判定它
20、是等腰梯形。 3、认真做好培优补差工作。 开展一帮一活动，与后进生家长经常联系，及时反映学校里的学习情况，促使其提高成绩，帮助他们树立学习的信心与决心。解决梯形问题常用的方法: 1、“平移腰”把梯形分成一个平行四边形和一个三角形 2、“作高”:使两腰在两个直角三角形中 3、第五单元“加与减(二)”，第六单元“加与减(三)” 在“加与减”的学习中，结合生活情境，学生将经历从具体情境中抽象出加减法算式的过程，进一步体会加减法的意义;探索并掌握100以内加减法(包括不进位、不退位与进位、退位)和连加、连减、加减混合的计算方法，并能正确计算;能根据具体问题，估计运算的结果;初步学会应用加减法解决生活中简单问题，感受加减法与日常生活的密切联系。3、平移对角线:使两条对角线在同一个三角形中 4、延腰构造具有公共角的两个三角形 5、等积变形:连接梯形上底一端点和另一腰中点并延长与下底延长线交于一点构成三角形。