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1、弹性力学(习题答案),第四章 平面问题的极坐标解答,（习题讲解）,弹性力学(习题答案),习题4-1,试导出位移分量的坐标变换式,弹性力学(习题答案),习题4-2,设有内径为 a 而外径为 b 的圆筒受内压力 q ，试求内半径及外半径的改变，并求圆筒厚度的改变。,解：,轴对称问题的径向位移公式（平面应变）：,对于圆筒轴对称问题，有,ur 不随 变化，即,又由位移单值条件，有,常数A、B由应力边界条件确定。,应力分量：,边界条件：,弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),习题4-3,设有刚体，具有半径为 b 的圆柱形孔道，孔道内放置一外半径为 b而内半径为 a的圆筒，受内压力 q ，试求圆筒壁
2、的应力。,解：,刚体,边界条件：,代入边界条件，有,将常数A、C 代入，有,弹性力学(习题答案),将常数A、C 代入，有,刚体,弹性力学(习题答案),习题4-4,矩形薄板受纯剪，剪力集度为q，如图所示。如果离板边较远处有一小圆孔，试求孔边的最大和最小正应力。,解：,由图（a）给出的孔边应力结果：,得：,弹性力学(习题答案),习题4-5,楔形体在两侧受有均布剪应力q，如图所示。试求其应力分量。,解：,（1）应力函数 的确定,由因次分析法，可知,代入相容方程：,得到：,弹性力学(习题答案),（2）应力分量的确定,由对称性，,应为 的偶函数；,应为 的奇函数，,因而有，,（3）由边界条件确定常数,边
3、界条件：,代入，有：,代入应力分量式，有,弹性力学(习题答案),代入应力分量式，有,弹性力学(习题答案),习题4-6,三角形悬臂梁在自由端受集中荷载 P，如图所示。试用公式（4-21）求任一铅直截面上的正应力和剪应力，并与材料力学中的结果对比。,解：,由密切尔（ J. H. Michell ）解答，得,由应力分量的坐标变换式：,弹性力学(习题答案),由坐标变换式：,弹性力学(习题答案),材料力学结果：,截面弯矩,截面惯性矩,截面正应力, 弹性力学结果,两者结果相差较大。,弹性力学(习题答案),习题4-7,曲梁在两端受相反的两个力 P 作用，如图所示。试求其应力分量。,解：,（1）应力函数的确定
4、,分析：,任取一截面 ，截面弯矩为,将其代入相容方程：,（a）,弹性力学(习题答案),上述欧拉方程的解：,（b）,代入应力函数为,（c）,（2）应力分量的确定,（d）,弹性力学(习题答案),边界条件：,代入应力分量得：,端部条件（右端）：,代入剪应力分量得：,（f）,联立求解式（e）、（f），得：,（e）,自然满足,弹性力学(习题答案),其中，,代入应力分量式（d），有：,（f）,弹性力学(习题答案),习题4-8,设有无限大的薄板，在板内的小孔中受有集中力P，如图所示。试用如下应力函数求其应力分量。,解：,（1）应力分量,提示：须要考虑位移单值条件。,（2）确定常数,取一半径为 r 的圆板为隔
5、离体，,其上受力如图。,由圆板的平衡，得,代入应力分量，有,弹性力学(习题答案),代入应力分量，有,恒等式,（3）由位移单值条件确定常数 A,弹性力学(习题答案),由物理方程与几何方程：,其中：,应力分量：,积分得：,代入：,将 ur 代入积分得：,弹性力学(习题答案),将 ur u 代入r ,要使上式对任意的 r、 成立，有,其中：L为常数。,（a）,（b）,求解式（a），有,（c）,将式（b）变为：,（d）,弹性力学(习题答案),（d）,求解式（b），有,（e）,（f）,将 代入 u , 有,由位移单值条件，有,弹性力学(习题答案),代入应力分量：,得到：,弹性力学(习题答案),习题4-9
6、,半平面在其一段边界上受法向分布载荷作用 q , 如图所示。试证半平面体中直角坐标应力分量为：,（叠加法）,证法1:,弹性力学(习题答案),（叠加法）,证法1:,分析思路：,弹性力学(习题答案),求解步骤：,由楔形体在一面受均布压力问题的结果：,（4-25）,弹性力学(习题答案),（由应力分量的坐标变换）, 应力分量的直角坐标形式,弹性力学(习题答案),y y+a,弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),y ya,弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),（积分法）,证法2:,利用半限平面边界上作用法向集中力 P 的结果，有：,由图中的几何关系，有：,（1）,将以上
7、关系式代入式（1），有,弹性力学(习题答案),（2）,（3）,弹性力学(习题答案),积分上式，有：,弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),补充题,列写图示问题的边界条件,弹性力学(习题答案),弹性力学(习题答案),试证明：,补充题,满足极坐标下平衡微分方程（4-1）,补充题,证明极坐标系下应变协调方程可表示为 :,轴对称情况下：,弹性力学(习题答案),补充题,设弹性体受径向和环向常体力： 作用，试证明下列应力分量可作为极坐标下平衡微分方程（4-1）的一个特解：,证明:,（41）,代入极坐标下的平衡微分方程:,显然，有:,（1）,表明式（1）为方程（4-1）的一个特解。,弹性力学(习题答案),在弹性体受径向和环向常体力： 作用下，下列应力分量可否为某个问题的可能解？,思考题：,（2）,答案：,不能成为某个问题的解。,为什么？,