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1、1,限制系统的开环零极点分布如下图,试绘制闭环系统根轨迹.(a)4 j0H0(c)图 T3.6(a)解：系统有一个开环极点一Pi,渐近线与负实轴重合,并指向一00, 故系统根轨迹与渐近线重合, 如下图.(b)解：系统有两个开环极点一Pi , 一 P2和一个开环零点 一z1, n-m=1,渐近线 与负实轴重合.实轴上的根轨迹为一Pi到一 OO, 一 P2与 一Zi之间等两段.(b)jX0X(d)-Pi o-Pi -P2-zi(c)解：系统有两个开环极点 一P1,一P2和一个开环零点 一4, n-m=i,渐近线与负实轴重 合.实轴上的根轨迹为 一心到8, p1与一p2之间等两段.在一P1与一P2之
2、间有别离点, 一乙左方有会合点,复平面上也有根轨迹,是一个园,如下图.(d)解：系统有三个开环极点 一Pi , - P2, P3,渐近线如下图.实轴上的根轨迹与复实轴重合.2,限制系统的开环传递函数如下,试绘制系统的根轨迹,并标出渐近线、渐近线与实轴交点.(1) Go(s)k(s 2)(s 3)Pi和 P2之间.解：系统开环极点是,-p=2, p2= 3 实轴上的根轨迹在极点L 23渐近线与实轴的交点为, F 2.5290,270(2) Go(S)k(s 1)(s 2)(s 3)解：系统开环极点是,- P1= 1, 一 P2= 一 2 , P3= -3.实轴上的根轨迹在极点p1和 P2之间,以
3、及P3沿负实轴到无穷远处.1 2 3渐近线与实轴的交点为,F 13232k 1渐近线与实轴的夹角为,1800 60,1800,3003求根轨迹的别离点,由系统得特征方程,D(s) (s 1)(s 2)(s 3) K 0K (s 1)(s 2)(s 3) (s3 6s2 11s 6)dKds(3s2 12s 11) 0s1,2、1.42s22.58舍去s22.58 (它不在根轨迹上),、1.42为别离点(3) G0(s)k(s 2)一 2 一 一(s 3)(s 2s 2)2.实轴上的根轨解：系统开环极点是,一P1= - 3, P1 2= - 1 j1.开环零点一z1迹在极点 p1和乙之间.3 1
4、12渐近线与实轴的交点为,F 1.53 12k 1渐近线与实轴的夹角为, 1800 900,27002(4) G0(s)kZ 2 Zs(s 2)(s 2s 5)解：系统开环极点是,一Pi = 0 , - P2= - 2 , P3,4=-1 j2.实轴上的根轨迹在极点P1和 p2之间.渐近线与实轴的交点为,F 1渐近线与实轴的夹角为,45求根轨迹的别离点,由系统得特征方程,D(s) s(s 2)(s2 2s 5) K 0K s(s 2)(s2 2s 5)dKds(2s 2)(s2 2s 5) (s2 2s)(2s 2)2(s 1)(2s2 4s 5) 01 j 1.225 ,这3个解都是根轨迹的
5、别离点.2.si0-2(5) G0(s)k(s 1)2(s 4)2j解：系统开环极点是,一 P1,2= 1 , 一 P3,4= - 4.实轴上没有根轨迹段.渐近线与实轴的交点为,F 2.5渐近线与实轴的夹角为,4503,限制系统的开环传递函数如下,绘制系统的根轨迹,确定闭环系统的极点位置,并 指出系统的响应是欠阻尼,还是过阻尼；求出使系统处于欠阻尼状态的根轨迹增益k的范围.Go(s)10(s 5)s(s 3)解：绘制根轨迹 G0(s)K (s 5)s(s 3)系统开环极点是,一P1= 0, P2= 3.开环零点一z15.实轴上的根轨迹在极点p1和 p2之间,一Z1到一0.求根轨迹会合点,系统特
6、征方程,D(s)s2 3s K (s 5) 0dKdss2 10s 15(s 5)2根轨迹上的每一个点都对应一个确定的k值.这可以根据传递函数分母方程去求.由分母方程,1 G0(s) 0,得13s 50 0sl,26.5 j5.57求欠阻尼状态根轨迹增益k范围.系统特征方程,D(s) s2 3s K (s 5) 0 ,s2 (K 3)s 5K 0(K 3) (K 3)2 4 5Ks1,2 2,当系统为欠阻尼状态时,特征方程得根具有虚部,因此必有,(K 3)2 4 5K由根轨迹图分析可知,当K从小到大增大过程, 从别离点开始到会合点止,特征方程具有复数根,因此,只需求出这两个根,不需解上述不等式
7、.因此,由以下方程求得别离点和 会合点得K ,(K 3)2 20K , K 2 17K9 014, 142 4 9K : 7 6.3246, K1 0.675, K2 13.3252因此,当13.325 K10.675时,系统处于欠阻尼状态.4,单位反应限制系统的开环传递函数为,G0(s)s(s 1)(s 4)(1)画出该系统的根轨迹；(2)利用根轨迹图确定增益K的稳定范围.解：(1)系统开环极点是,一P1 = 0 , P2 = 1 , Pg= 4 o开环手点一Z11 o实轴上的根轨迹在极点p1和 p2之间,一z1和一p3之间.44 0 1 1,渐近线与实轴的交点为,F 12渐近线与实轴的夹角
8、为,2k 1180 900,27002(2)从根轨迹图可以看出,当 K较小的时候,根轨迹在右半平面变化,故系统的特征根在-4-3右半平面,这时系统不稳定.当 K大于某数 值时根轨迹进入左半平面,系统稳定.K值可以由Routh判据求得.系统的特征方程为,s(s 1)(s 4) K(s 1) 0s3 3s2 (K 4)s K 0,根据Routh判据,对于3阶特征方程,假设中间两项系数乘积大于首末两项系数乘积那么系统稳定,故应有,3(K 4) K 0, 即K 6.5,单位反应限制系统的开环传递函数为,Go(s)(sPi)(s P2)PK - P2V 0(1)试画出系统的根轨迹图.(2)如果在极点-pi和-p2的左侧增加一个零点-Z1和一个极点-p3,且-p3-zi,试画出系统 的根轨迹. 如果在极点-pi和-p2之间增加零点-Z1,在极点-pi和-p2的左侧增加一个极点-p3,试画 出系统的根轨迹.*j解：系统开环极点是 一 口,一 p2.“实轴上的根轨迹在极点p1和 p2之间._-0-pi-p2渐近线与实轴的交点为, F pi一p2.2渐近线与实轴的夹角为,21i800 900,2700开环零点一z1.实轴上的根轨迹在极点 一p/口一p3之间,一p2和 Zi之间根据 一pi , p2 , p3 , lZi可以得到渐近线.别离点在极点 一p1和一p3之间.