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1、3-5傅里叶变换的基本性质傅里叶变换建立了时间函数和频谱函数之间转换关系。在实际信号分析中，经常需要对信号的时域和频域之间的对应关系及转换规律有一个清楚而深入的理解。因此有必要讨论傅里叶变换的基本性质，并说明其应用。一、 线性傅里叶变换是一种线性运算。若flFi(j )f2(t)F2(j )则afi(t) bf2(t)aFi(j ) bF2(j ) (3-55)其中a和b均为常数，它的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。例3-6 利用傅里叶变换的线性性质求单位阶跃信号的频谱函数F(j )o解 因1 1f(t) U(t) sgn(t)2 2由式(3-55)得1 11F(j ) U(t)-1-s
2、gn(t)-2 22二、对称性若f (t) F (jF( jt)2 f( )(3-56)证明 因为1 f(t) F(j )ejtd 2有2 f(t) F(j )ejtd2 f( t) F(j )e j td将上式中变量 换为x,积分结果不变，即2 f ( t) F(jx)e jxtdx再将t用 代之，上述关系依然成立，即2 f () F(jx)ejxdx最后再将x用t代替，则得2 f( ) F(jt)e jtdt F(jt)所以F(jt) 2 f()证毕若f是一个偶函数，即f( t) f，相应有f() f(兀则式(3-56)成为F(jt) 2 f( )(3-57)可见，傅里叶变换之间存在着对称
3、关系，即信号波形与信号频谱函数的波形有着互相置换的关系，其幅度之比为常数2 。式中的表示频谱函数坐标轴必须正负对调。例如f(t) (t) F(j ) 1F(jt) 12 f( ) 2()例3-7若信号f (t)的傅里叶变换为试求f (t) 02 AF(j )0/2/2解 将F(j )中的换成t,并考虑F(j)为的实函数，有/2/2F(jt) F(t)该信号的傅里叶变换由式(3-54)可知为根据对称性f()2 A Sa()22 f()A Sa()2再将f()中的 换成t,则得f(t)A Sa(-)2f(t)为抽样函数，其波形和频谱如图3-20所示。/20 /2三、折叠性f(t) F(j )f(
4、t) F( j )F(j )F(j )f (t)为实函数 f (t)为虚函数(3-58)四、尺度变换性观看动画若f(t) F(j )则1，一，一一f(at) -F(j-) (a为大于零的实常数)(3-59)a a证明因a0,由f (at) f (at)e j tdt令x at ,则dx adt,代入前式，可得f (x) f(x)e j x/a dx -F(j-) 证毕a a aF (j -)函数f(at)表示f(t)沿时间轴压缩(或时间尺度扩展)a倍，而a则表示F(j )沿频率轴扩展(或频率尺度压缩)a倍该性质反映了信号的持续时间与其占有频带成反比,信号持续时间压缩的倍数恰好等于占有频带的展宽
5、倍数，反之亦然例3-8已知f(t)t /4t /4，求频谱函数F(j )解前面已讨论了的频谱函数，且E f00/2/2Fo(j )根据尺度变换性，信号f (t)比f0(t)的时间尺度扩展一倍,即波形压缩了一半，因此其频谱函数F(j ) 1F0(J-), Sa(彳)两种信号的波形及频谱函数如图3-21所示。十 %(t)Af(t)/20 /2*t/4 0 /4五、时移性f(t) F(jf(t t0)F(j )et0(3-60)此性质可根据傅里叶变换定义不难得到证明。它表明若在时域f (t)平移时间t0,则其频谱函数的振幅并不改变，但其相位却将改变t0f(t)例3-9 求0 tt 0,t的频谱函数F
6、(j )解：根据前面所讨论的矩形脉冲信号和傅里叶变换的时移性，有F(j ) E Sa( )e j /22六、频移性若f(t) F(j )则f(t)e j 0tF j 0(3-61)证明f(t)ej0tf (t)e j 0te j tdt f(t)e j( 0)tdt F j(0)证毕频移性说明若信号f(t)乘以e j 0t ,相当于信号所分解的每一指数分量都乘以e j 这就使频谱中的每条谱线都必须平移0,亦即整个频谱相应地搬移了0位置。频谱搬移技术在通信系统得到了广泛应用，诸如调幅、同步解调、变频等过程都是在频谱搬移的基础上完成的。频谱搬移实现原理是将信号f(t)乘以所谓载频信号cos 0t或
7、sin 0t ,即.1f(t)cos 0t二 F j( 0) F j( 0)2jf (t)sin 0t7 F j( 0) F j( 0)2七、时域微分性若则证明 因为两边对t求导数，得所以同理，可推出例3-10求f解：因为由时域微分性dnf(t)dtnf(t) F(j )(j )nF(j )(3-62)1j tf(t) - F(j )ej ddf Jdt 2j F(j )ejtddf(t)dtdnf(t)dtn(j )F(j )(j )nF(j )证毕的频谱函数F(j )F(j ) (j )n例3-11图3-22所示信号f(t)为三角形函数f(t)4)1 t0t求其频谱函数F(j )解：将f(
8、t)微分两次后，得到图3-22(c)所示函数，其表达式为,121f (t) - (t ) - (t) (t )由微分性f (t) (j )2 f (t)-(ej 2 e j ) 2 cos所以f(t)2(cos 1)(j )22sin2(/2)(/2)2Sa2(寸个 f(t)一 1/0 -： t(b)Af (t)(人上)0t(-2/ )(c)图 3 - 22八、频域微分性f(t) F(j )tnf(t)ndnF(j )(3-63)例3-12 求ftU (t)的频谱函数F(j解：因为U(t)根据频域微分性tU)-12九、时域积分性f(t)F(jf (t)dtF(jF(0)(3-64)例3-13根
9、据解：因为根据时域积分性例3-14求图(t)3-231和积分性求U(t)U(t)f(t)U (t)的频谱函数。(x)dx所示信号f的频谱函数F(j )。解：f(t)对t求两次微分后，得(t/2)(t /2)由时域积分性f (t)t /21-e/2j-sin(-) 2f(t)(x)dxf (x)dx(a)十、频域积分性f(0)例 3-15. f(t) 已知解：因为2. ,、sin(-2-)2-sin(-)Sa(-)Sa(0)Af(t)1/2 0f(t)(b)图 3 - 23F(j1 .(t) - f(t)sin(t)丁，求 F(j)。F (jx)dx1 c()-Sa(-2-)Af(t)(1/ )
10、/20(3-65)(c)(-1/ )sin(t)2j(ejt ejt)2j1)(1) j (1)(1)根据频域积分性sin(t)- j (x 1) (x 1)dx U( 1) U (1)t j十一、时域卷积定理若f1(t)F1(j )f2(t)F2(j )f1(t) f2(t)F1(j )F2(j )(3-66)证明F f1(t) f2(t)f1( )f2(t )d e j tdtf1( )f2(t)e j tdt d证毕f1( )F2(j )e j tdF2(j ) f1( )e j td F?(j )E(j )例3-16图3-24(a)所示的三角形函数f(t)可看做为两个如图324(b)所
11、示门函数G (t)卷积。试利用时域卷积定理求其频谱函数F(j )(a)图 3 - 24朽_1_：I：-L_ t/2 0/2所以解：因G (t)sin(y)VS&9)-1f(t) G (t) G (t)-F(j)S例3-17 一个信号f (t)的希伯特变换f是f和t的卷积，即(b)f(t) f (t) - -3dt (t )解：因为，、2sgn(t)j则对称性2二 2 sgn( )2 sgn()jtjsgn()由时域卷积定理,1f(t)f(t) -tjsgn( )F(j )即F(j ) jsgn( )F(j )十二、频域卷积定理 若fi(t)Fi(j )f2(t)F2(j )则1 fi(t)f2
12、(t)Fi(j ) F2(j )(3-67)2或fi(t)f2(t)Fi(j2 f)F2(j2 f)例3-18 利用频域卷积定理求f(t) tU(t)的傅里叶变换F(j )解：因为 j由对称性jt 2()2()有(t j2 ()1U(t) () 一 j所以根据频域卷积定理f(t) tU(t)11F(j ) 2 j2 ()()11j ( )( ) - j ()()(-)即1F(j ) j ()()十三、帕塞瓦尔定理若f1F1(j ) f2(t) F2(j )则1f1(t) f 2(t)dt2-F1(j )F2(j )d (3-68)可推广212f1(t) dt F(j ) d (3-69)若f1
13、(t)为实函数，则c1cf；(t)dt 2F；(j )d (3-70)若f1(t) , 0。)为实函数,则.1f1(t) f 2(t)dt 2-E(j )F2(j )d (3-71)一 一Sa2( )d例3-19求。解：因Sa2( )d2Sa( )2 Sa( )d2Sa(G2(t)由帕塞瓦尔定理可得_ 2Sa ( )d -G2(t)G2(t)dt十四、奇偶性若 f(t) F(j ) F( )ej() R( ) jX(),则当f为实函数时，则F( ) F(j )| F()()()R( ) R()X( ) X()(3-72)若f(t)为实偶函数，即ff(t),则F(j ) F( ) R()X( )
14、 0( 实偶函数)(3-73)若f(t)为实奇函数，即f f(t),则F(j ) jX()R( ) 0(虚奇函数)(3-74)当f为虚函数，即fjx(t)时，则F( ) F()()()R( ) R()X( ) X()(3-75)傅里叶变换的基本性质归纳如表3-3所示。表3-3傅里叶变换的基本性质性质名称时域频域1.线性af1(t)bf2(t)aR(j ) bF2(j )2.对称性F(jt)2 f()3.折叠性f( t)F( j )4.尺度交换性f(at)-F(j-) aa5.时移性f (tto)F(j )ejt06.频移性e j 0t f(t)F j(o)7.时域微分dnf(t) dtn(j )nF(j )8.频域微分tnf(t)(j)np d9.时域积分tf(x)dxF(0)() j10.频域积分，1 .、f(0) (t) - f(t)1F(jx)dx j11.时域卷积f1(t)f2(t)F1(j )F2(j )12.频域卷积f1(t)f2(t)1c F1(j ) F2(j )213.帕塞瓦尔定理1力f2dt rF1(j )F2(j )d跳转至第六节