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1、第19章一元二次方程 教案教学目标：1、了解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的公式解法和其他解法；能够根据方 程的特征，灵活运用一元二次方程的解法求方程的根.2、理解一元二次方程的根的判别式，会运用它解决一些简单的问题.3、进一步培养学生快速准确的计算能力.4、进一步培养学生严密的逻辑推理与论证能力一 3.进一步培养学生的分析问题、解决问题的能力.教学重点：一元二次方程的解法及判别式.教学难点：配方法.教学过程：本节课是一堂复习课，复习的内容是一元二次方程的解法及根的判别式.1 .熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点，解法有四种，一种是直接
2、开平方法，它以平方根的概念为基础.适合于形如(ax+b) 2=c (aw 0, O0)类型的方程.第二种方法是配方法，用配方法推导求根公式，由此产生了第三种方法即公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法.第四种方法是因式分解法，适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程.由此可归纳出解一元二次方程时，一般先考虑直接开平方法， 再考虑因式分解法，最后考虑公式法.一元二次方程根的判别式的意义在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情 况确定未知值的取值范围.由此可以启发学生运用数学知识，提高分析问题和解决问题的能力.一、知识点：复习提问，总结12 1-12 . 3的内容.-4
3、 -只含有一个未知数，且含未知数的最高次数为2 足乂；的整式方程为一元二次方程二次项系数a一般式m ax2 1 bx + c = 0 (招0)1一次项系数b常数项。f直接开平方法一元二次方程解法配方法公式法(:是解方程的主要方法) 因式分解法根的判别式b2-4a.f称为一元二次方程根的判别式 当()，方程有两个不相等的实数根 当二(),方程有两个相等的实数根 当VO,方程无实数根启发引导，总结12. 1-12. 3节所学过的知识点及它们之间的相互联系和相互作用.培养学生归纳、总结的能力.二、课堂练习：练习1.下列方程中，哪些是一元二次方程？(2) (x+3) (x-3)=0;(3) 2 + -
4、2 = 0i z(4) 2x2-y + 2= 0;(2x-1 ) (x+3) = 2x2+1;(6) ( m-1) x2+3mx-m= 0 (廿 1 的常数).学生口答，相互评价，强调判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是不是一元整 式方程.在此前提下，通过去括号、移项，合并同类项等步骤化简整理后，再看未知数的最 高次数是不是2 r.练习2.写出下列方程的二次项系数，一次项系数和常数项.(1) (3x-1 ) (x+1) = 6- (x-2 ) 2,(2)关于 x 的方程 kx2+2kx = x2-k-3 (kw1).学生笔答、板书、评价.注意以下两点:(r1)必须将一元二次方程化成一(2)
5、二次项系数通常化为正数，练习3.解下列方程(1) 3x2-48 = 0(2) (x+a) 2=225(3)2x2 + 7x-4 =0方法)；(4) 2x2-x = 5法)；(5) (3x-1 ) 2 = 6x-2(6) abx2 + a2x-b 2x-ab=0 法)；学生板书、笔答，教师点拨.和学生一起回忆配方法和公式法的步骤,一般形式.各项系数包括它的符号.(直接开平方法)；(直接开平方法)；(配(公式(因式分解法)；(因式分解直接开平方法，因式分解法解一元二次方程，体现了 “转化”和“降次”的思想方法，即把二次方程转化为一次方程求解，通过开平方和 因式分解达到“降次”.练习4.选择适当方法
6、解下列方程 2(3-1) 2 =1(2) 5x2-7x +1 = 0;(3) 4x2-5x +1 = 0;(4) 4 (x + 2) 2-9 (x-3) 2=0.分析：用什么方法解方程，主要依据方程的特点.(5) 可用直接开平方法，也可用因式分解法.(6) 可用公式法和配方法.(7) 可采用因式分解法.(8) 可采用直接开平方法和因式分解法.分析完毕，学生板书，笔答1,评价.最后总结如下结论：解一元二次方程时，一般先 考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法.练习5.1.求m为什么实数时，方程(m-1) x2-6x+3=0.有实数根；没有实数根.m-1引导学生分析：由于二次项系数是
7、m-1,当m-1 = 0时，方程为一元一次方程；当 W0时，方程为一元二次方程，据题意，要根据这两种情况分别议论.解：(1)当m-1 = 0,即m= 1时，原方程为-6x+3 = 0,12，即当m=1时，方程有实数根.当m-1w0,即1时，原方程的根的判别式为A= (-6) 2-4 X3 (m-1) =48-12m,由 A =48-12 m 0,得4.当m4时，原方程没有实数根.t2.求证：关于x的方程x2- (k+4) x+k+ 1 = 0有两个不相等的实数根.分析：利用“A”证明方程根的情况，首先应把方程化成一般形式，写出根的判别式 的代数式，然后利用因式分解法或配方.法来确定判别式的符号
8、，进而得出结论，本题只需证明对于任意的实数 k都有A 0即可.分析完毕，学生板书、笔答，.评价.三、课堂小结：1.本节课复习的主要内容定义：一般形式(直接开平方法一元二次方程用法，黑因式分解法根的判别式2通过本节课的学习，能选择恰当的方法解一元二次方程，更进一步锻炼学生快速准确的计算能力及推理论证能力，更进一步深刻体会“转化”及“配方”的思想方法四、作业：1、同步测试2、(1)已知：关于x的方程kx2+2 (k-3 )x+k+2=0有两个实数根，求k的取值范围.(2) 已知：a, b, c为一个三角形的三条边，且方程 b (x2-1) -2ax+c (x2+1) = 0有两个相等 的实数根，求证这个三角形是直角三角形- 5 -