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1、第 23 讲 不会输的游戏【专题简析】小朋友都很喜欢做游戏，数学中也有很多游戏。通过数学游戏， 不仅能培养我们把实际问题数学化的能力，而且还能培养我们学习数学的兴趣。在这些游戏中，想要使拿到最后一个者获胜，首先要决定谁先拿，如果把物品总数除以每次取物品个数的和，没有余数，就让对方先拿，自己拿的个数必须和对方拿的个数合起来是两人每次的和。【例题1】桌上有21 根火柴，小邱和小红轮流取，每人每次取1 根或 2 根，谁取到最后一根谁就获胜。小红该怎样取才能保证获胜？思路导航：因为每人每次只能拿1 根或 2 根，所以只要小邱先拿，小红就一定能拿到第三根，即小邱拿1 根，小红就拿 2 根，小邱拿2 根，
2、小红就拿1 根，如此拿下去小红就能把3、 6、 9、 12、 15、 18、 21 这些 “制高点 ”掌握在手，从而获胜。因此只要把火柴总数除以二人每次取火柴的和，如果没有余数，就让双方先拿。解：小红让小邱先拿，并且每次自己拿的个数和小邱拿的根数合起来是3，则小红保证能获胜。练习 11 .小明和小刚一起做游戏，他们把18 粒棋子放在桌上，然后轮流拿，每人每次只能拿1 粒或者 2 粒，谁拿到最后一粒谁就获胜，你能让小明保证获胜吗？2 .桌上放着一堆火柴，共56 根。由甲乙两人轮流拿，每人每次拿1 至 3 根，拿到最后一根的人获胜，问该怎样拿才能保证获胜？73 .桌上有 20 颗彩珠，小丽和小兰轮
3、流拿，每人每次只能拿1 颗或 2颗，谁拿到最后五颗，谁就获胜，小兰该怎样拿才能保证获胜呢？【例题2】甲、乙两名同学从1 到 30 轮流连续报数，谁先报到 30 这个数，谁就获胜，规定：每人每次最多报三个数，最少一个数。如甲报1，乙可报 2 或 2， 3 或报 2， 3， 4；接着甲可报乙报的数后面的 1 个数或 2 个数或 3 个数。问：有没有必胜的报数策略？思路导航：要想必胜，就要抢到30。要抢到30 ，只要捡到26 ，这时如果对方报27，你就报28， 29， 30 ；如果对方报27， 28 ，你就报 29， 30；对方报27 ， 28， 29，你就报 30。同理，要抢到26，只要抢到22
4、。要抢到 22 ，只要抢到18。同理只要抢以14, 10, 6, 2即可。也就是从 30继续减去4 （30F=72 ,余数是几，就必须先抢到几） 。策略是自己先报，且先报到 2，这样就能确保抢到 6 。解：你先报到 2，对方报3 ，你就报4， 5， 6；对方报3， 4，你就报5， 6；对方报3， 4， 5，你就报6；同理可以确保抢到10， 14， 18， 22， 26， 30。练习 21 .小东和小华做游戏，他们把 19 粒棋子放在桌上， 然后轮流拿， 每人每次能拿1 粒或者 2 粒，谁拿到最后一粒，谁就获胜。这次小东该怎样拿才能保证获胜呢？2 .桌上有 22 根火柴，小明和小红轮流取，每人每
5、次只能取1 根或 2 根，谁取到最后一根谁获胜。这次小红该怎样取才能保证获胜？3 .报80,两人轮流报，从1开始，每人每次报15个连续数，如果一人报1,另一个人可报2 或2, 3或2,3, 4,或2,3,4, 5,或2,3,4,5,6;如果一人报1、2、3、另一人可报4或4, 5或4, 5, 6或4, 5, 6, 7或4, 5, 6, 7, 8,谁先报到80谁就获胜。问怎样报才 能取胜？【例题3】有两堆枚数相等的棋子，甲、乙两人轮流在其中任意一堆里取，多取不限，但不有不取。谁 取到了最后一枚棋子为胜，如果甲后取，他一定能取胜吗？ 思路导航：由于两堆棋子的枚数相等，例如都有 5枚，如图：OOOO
6、O OOOOO如果乙先在左边取 2枚，甲在右边取 2枚，这时两边都还有 3枚：OOO OOO乙先在哪一边取几枚，甲就在另一边取几枚，甲一定取走最后一枚棋子。甲后取，一定能获胜，不论乙先 在其中哪一堆里取多少枚棋子，甲总可以在另一堆里取相同枚数的棋子，因此甲一定能获胜，如果两堆棋 子数不相等，只要甲先取出较多一堆里比另一堆多的枚数，使得两堆棋子枚数相等，就可以转化为例题中 的情形。解：见思路导航练习31 .左边有10枚棋子，右边有12棋子，两人轮流去取，取到最后一枚的得胜，先取好还是后 取好？怎样取才能获胜？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO2.有三行棋子如下图，两人轮流取，每人每次只
7、能在同一行中至少取走1枚或2枚，谁最后取完为胜，问：要想获胜是先取还是后取？OO OOO【例题4】小东和小华玩25根小棒轮流取的游戏，每人每次可取1根或2根，谁取到最后一根谁就获胜。小东先取了 2根，小华怎样取才能获胜？思路导航：25根小棒小东先取走了 2根，还有252=23 （根），233=72，小华也跟着取 2根，然后不管小东取几根，只要小华每次取的和小东每次取的根数合起来是3,小华就一定能获胜。解：见思路导航练习41 .小华和小东做游戏，桌上有45粒棋子，每人每次可取1粒或2粒，谁取到最后一粒谁获胜, 小华先拿走了 1粒，问小东怎样取才能获胜？2 .小军和小明在做游戏，他们在桌上放 50
8、根火柴棒，规定每人每次可取1根至3根，谁拿到最后一根，谁获胜，小军先拿了 3根，问小明怎样取才能获胜？3 .两堆糖，两人轮流拿，一次只能在其中一堆拿，拿几根不限，最后一个把糖拿走的人算输, 怎样拿会输？【例题5】12枚棋子摆成一圈，小华和小东轮流从中取走一枚或两枚， 如果取走2枚，这两枚必须相邻 谁取走最后一枚谁就获胜，小华应采取什么样的策略才能获胜？思路导航：小华可以这样做：(1)让小东先取走一枚或两枚之后，圆圈的某一位置将出现单独的空当。于是小华从圆圈中与这个空当相对的一侧取走一枚或两枚，使得余下的棋子被两个空当分成数目相等的两部分。C 12 C。101 2匚)C 93。O8 75 4cl
9、C7(6； b(2)从这以后，小东从哪一部分中取走一枚或两枚，小华就从另一部分中取走相同数量的棋子，这样小 华就能取走最后一枚而获胜。解：如右图：(数字是图中棋子的编号)小东在一侧 取一枚或几枚棋子，小华就在空当相对的另一侧取走 相同数量的棋子，小华获胜。练习51 .桌子上摆成一圈放着10枚棋子，甲、乙两人轮流从中取，每次取一枚或取相邻的两枚，如 果2枚棋子之间已有棋子被取走，它们不算相邻的，谁取到最后一枚就算胜利，你看是先取 有利还是后取有利？有没有必胜的方法？2 .桌上摆成一圈放着8根小棒，每次只能取一根或相邻的两根(如果两根小棒之间有小棒被 取走，就不算相邻)，小芳先取，乐乐后取，谁能取
10、到最后一根就算胜利，乐乐要想取胜应怎 样取？3 .有11根火柴，A、B两个比赛，规定每个人每次可以拿 13根火柴，但不能连续再次拿去 相同数目的火柴，谁拿到最后一根火柴，谁就得胜，如果 A先开始拿，是否有必胜的方法？练习题答案练习 11.让小刚先拿，小明 每次拿的个数与小刚拿的个数合起来是3，小刚保证能获胜。2.56 4= 14没有余数，若甲先拿，刚乙只要每次拿的火柴数和甲的合起来是4,乙就会拿到最后一根而获胜。3.小兰必须先拿两颗，然后按小丽1 颗，小兰 2 颗；或小丽2颗，小兰 1 颗的方法继续拿下去，小兰才能保证获胜。练习 21.19 3= 61,余数是1,小东就先拿1粒，然后不管小华拿
11、几粒，他都能保证拿到第4,第7最后获胜。2.22 3= 71 ,除下来有余数，小红应先把这个1根拿下，然后不管小明几根，只要小红每次拿的火柴根数和小明拿的火柴根数合起来是3，小红就能获胜。3.80 6= 132,除下来有余数，先报者应先报两个数，然后不管后报者报几个数，只要先报者每次报数的个数和后者合起来是6，先报者就会报到80，从而获胜。练习 31 .要想取胜，要先取右边的 2 枚，然后对方取几枚，你就在另一堆也取几枚。2 .应先取。甲先在第二行取一枚棋子，如甲乙在第一行（或第二行）取1 枚棋子，甲只需在第三行取 2 枚棋子，则剩下第三行一枚棋子和第二行（或第一行）一枚棋子，甲必胜；甲先在第
12、二行取一枚棋子，如果乙在第三行取一枚棋子，则甲只需在第三行取剩下的棋子，这时在第一行和第二行分别剩下一枚棋子，甲必胜；甲先在第二行取一枚棋子，如果乙在第三行取 2 枚棋子，则甲只需在任一行取一枚棋子，这时在剩余的两行分别剩下一枚，甲必胜。练习 41.451 = = 44 （粒），443=142，小东拿2粒，然后不管小华拿几粒，只要小东每次取的和小华合起来是3，小东就一定取胜。2.503 = 47 （根），47M=113 ,小军先拿3根，小明也跟着拿3根，然后小军不管拿几根，只要小明每次拿的和小军合起来是4，小明就一定获胜。3.（ 1）如果两堆糖同样多，甲先拿几块，乙在另一堆也拿和甲同样多的块数
13、，这样拿下去，后拿的人一定得输。（ 2）如果两堆糖不一样多，可以先从多的一堆里取出比少的一堆多的块数，然后后拿的人拿几块，先拿的人也拿几块，这样下去，先拿的一定得输。练习 51 .后取者有利，有必胜的办法， 无论先取者取走1 枚或 2 枚棋子， 后者总是在 “缺口 ” 对面取走2 枚或 2 枚棋子，使余下的棋子变成数目相同的两段以后，无论先取者取走哪些棋子，后取者总在另一段相应的位置上取走同样多的棋子，这样可以必胜。3 .乐乐后取，要想取胜，可以这样想： 不论小芳先取1 根还是 2 根， 乐乐总在 “缺口 ”的对面取走 1 根或 2 根，使余下的小棒变成数目相同的两段以后，不论小芳取走哪些小棒，乐乐只要在另一段同样位置上取走同样多的小棒，这样可以必胜。4 .A 先拿，第一次拿3根，以后每次按规则拿后，使余下的根数为 8或4 或 0 根，即可取胜。