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1、因式分解【知识梳理】因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。 一 一111即：多项式几个整式的积例：-ax- bx-x(ab)333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。(1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式；(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘；(3)因式分解的最后结果应当是“积”的形式。【例题】判断下面哪项是因式分解：因式分解的方法提公因式法：定义：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，从而将多项式化成 因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以
2、是一个数字或字母，也可以是一个单 项式或多项式。【例题】12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2的公因式是.【解析】从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2；字母部分a3b3c, a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c ,故多项式的公因式是 2a3b2c . 小结提公因式的步骤：第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提 公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有 负号的，要先提取符号。【基础练习】1 . ax、
3、ay、一ax的公因式是 ； 6mA、一 2n2n3、4mn的公因式是 .2 .下列各式变形中，是因式分解的是()A.a22ab+b21=(ab)21B.2x22x2x2(11)xC. (x+2) (x 2) =X24D. x4- 1 = (x2+1) (x+1) (x1)2A. 3xyB. 3x yC. 3x2y2D. 3x3y33 .将多项式一6x3y2 +3x2y212x2y3分解因式时，应提取的公因式是（）4 .多项式ana3n+an+2分解因式的结果是（）A. a (1 -a+a)B. an ( a2n+ a2)C. an (1 a2n+a2)D. an (a3+an)5.把下列各式因
4、式分解：5x2y + 10xy2 15xyy (x-y) 2 (y-x)3x (m- n) +2 (m- n)3(x3) 2 6 (3x)-2x2n - 4x nx (a b)，xy (ba) 2n+16 .应用简便方法计算：(1) 2012201(2) X + X-X(3)说明32004X 3 199+ 10X 3侬能被7整除.【提高练习】1 .把下列各式因式分解：(1) - 16a2b-8ab=；(2) x3 (x-y) 2-x2 (y-x) 2=.2 .在空白处填出适当的式子：(1) x (y1) () = ( y1) (x+1)；(2) -8-ab2 4b3c () (2a+3bc).
5、2793 .如果多项式x2+mx+ n可因式分解为(x + 1) (x 2),则m n的值为()A. m= 1, n= 2 B.m= -1, n = 2 C.m= 1, n=2 D.m= - 1, n =4 . (-2) 10+ ( 2)11 等于()A. 210B. 211C. 210D. -2,一 2x y 6, .23 .5 .已知 x, y 满足求 7y (x3y) - 2 (3yx) 的值.x 3y 1,一乙一12,、，、2 ,6 .已知 x+y = 2, xy 一,求 x(x+ y) (1y)x(y+x) 的值 27 .因式分解：(1) ax+ay+ bx+by；(2) 2ax+3
6、am- 10bx15bm运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运 用公式法。平方差公式 式子： a2 b2 (a b)(a b)这个公式就是平方差公式。语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。【例题1】在括号内写出适当的式子:一 一 4,0. 25m=()2；4 2n3y121a2b6 =【例题2】因式分解：（1） x2y2=（);(2)m2- 16=(，一、 一 2(3) 49a -4 =）；(4).22b 2=().【基础练习】1.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是A. y2 - 49x22.下列因式分解错误的是
7、B.49: )C.-m4- nD.q)2A. 1-16a2= ( 1 + 4a)(14a)B.x3 x=x (x21)C. a2 - b2c2= ( a+bc)(a bc)D.20.0ln(0.ln22-m)(- m330.ln)3.把下列各式因式分解:(a+b) 2644m一81n4(2a3b) 2(b+ a) 24.利用公式简算：（1） 2008+2008220092;(2) X 512-X 49 2.5.已知 x+2y= 3, x2-4y2=- 15, (1)求 x 2y 的值;（2）求x和y的值.【提高练习】1.因式分解下列各式:(1) m3 m =16(2)x4- 16 =/ m m
8、 1 m 1(3) a a(4)x (x2 1 ) x2+1 =2 .把(3m 2n) 2 ( 3m 2n)2分解因式,结果是（A. 0B.16n2C.236mD. 24mn3.下列因式分解正确的是（A. a2+9b2= (2a+3b)(2a3b)B. a5-81ab4=a (a2+9b2) (a29bj1 c 1C. 1 2a2 -(1 2a)(1 2a)22D. x2 4y2 3x 6y = (x2y) ( x+ 2y 3)4.把下列各式因式分解:rm (x-y) + n2 (y-x)(x + y) 227(3mi-n2)2- (M3n2) 2222522 5.已知 x 22,y 三，求(
9、x + y) (x-y)的值.75446.分别根据所给条件求出自然数x和y的值:2(1) X、y满足 x +xy=35;(2) x、y 满足 x2y2 = 45.完全平方公式2 a (1)式子：2 a2ab2abb2 (ab2 (ab) b)拓展:3. 3ab33ab22(a b)(a ab b )(a b)(a2 ab b2)【例题】分解因式:2x2a14x49 x24a 4 a222 7 x 722 2 a 22(x 7)2(a 2)2【变式练习】1.分解因式：4x22xa2 14a49 =2.因式分解4 4aa2,正确的是（）A. 4(1 a) a2B. (2 a)2C. (2a)(2
10、a)D. (2 a)2【注意】公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。【例】(m n)2 6(m n) 9，、-2(m n) 3当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式，然后再进一步分解因式。【例】2x3 8x 2x(x2 4)2x(x2 22) 2x(x 2)(x 2)【变式练习】1 .分解因式：2x2 20x 50 .2 .分解因式： 4 12(x y) 9(x y)2 .3 .分解因式：8x2y 8xy 2y _4 . 分解因式： (a+b)34(a+b)=5 . 分解因式： 3n(2x-y)2- 3min=6 .因式分解：x2(y2 1) 2x(y2 1) (y2 1
11、)【基础练习】1 .在括号中填入适当的式子，使等式成立:(1) x2+6x+ ()2； (2) x2-()+ 4y2=(3) a25a+ ()2; (4) 4nm- 12mnH-(2 .若 4x2mxy+ 25y2= ( 2x+ 5y) 2,贝U m=3 .将a2+24a+144因式分解，结果为（A. (a+18)(a+ 8)B. (a+12) (a12)C. (a+12) 2D. (a12)4.下列各式中,能用完全平方公式分解因式的有（ 9 a21；x2+4x + 4；m24mn n2； 一a2b2+2ab； m2 2mn31 2_-n ；(xy)926z (x+y)9z2.A. 2个B.
12、3个C. 4个D. 5个5.下列因式分解正确的是（A. 4 (m- n) 24 (m- n)，一 一、21 = ( 2m- 2n +1)B.18x-9x2-9=- 9 (x+ 1) 2C. 4 (m- n) 24 (n m，一 一、21= (2m- 2n+1)D.一 a 一 2ab一 b = (一 a一 b)6.把下列各式因式分解:a - 16a+ 64-x2-4y2+4xy.,2,(ab) 2 (ab).2(a+ b) + ( a+ b)4x3+ 4x2+ x(2)7 .计算：（1） 29728 .若 a2+2a+1+b26b+9= 0,求 a2 b2的值.【提高练习】1.把下列各式因式分解
13、:(1)225 (p+q) +10 (p+q) +1 =(2)an+1 + a1-2an =2.如果 x + kxy+9y 是一个完全平方公式，那么k是（）A.6B. - 6C. 6D.183.如果a2ab4m是一个完全平方公式，那么m是（）A.1 2 bB.-b2C. 1b2D.1 h2-b1616884.如果x + 2ax+ b zfr个完全平方公式，那么a与b满足的关系是（)A.b= aB. a = 2bC. b=2aD.b= a2(3)(a+ 1) (a+ 5) + 4 =5.把下列各式因式分解:x2- 2xy+ y2 2x+ 2y+ 1x3-y3= (xy) (x2+xy+y2)称为
14、立方2m)2 4 mx什 2myx3y+ 2x2y2 + xy3(n2+n2) 2-4n2n2x2+2x+1-y2(a+1) 2 (2a3) - 2 (a+1) (32a) + 2a-341c 16 .若x 3,求x2 -2的值. xx7,若 a4+b4+a2b2= 5, ab=2,求 a2+b2的值.8.已知x3+y3= (x+y) (x2xy + y2)称为立方和公式,差公式，据此，试将下列各式因式分解：(1) a3+8(2) 27a3- 1分组分解法(拓展)将多项式分组后能提公因式进行因式分解：(二二分项)形式：am an bm bn、 a2 b2 a b 等步骤：1 .分组 2.提取公
15、因式【例题1】把多项式ab a b 1分解因式解：ab a b 1 =(ab a) (b 1) = a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1)【变式练习】 因式分解：a2 ab ac bc将多项式分组后能运用公式进行因式分解.(三一分项)形式：a2 2ab b2 c2【例题2】将多项式a2 2ab 1 b2因式分解解：a2 2ab 1 b2 = (a2 2ab b2) 1 (a b)2 1 (a b 1)(a b 1)【变式练习】 因式分解：x2 25 y2 2xyx2 6xy 9y2 1十字相乘法(拓展)形式：x2 (p q)x pq (x p)(x q)(二次项系数为 1)分析：常数项
16、拆成两个因数p和q,这两数的和p q为一次项系数。【例题1】分解因式：x2 2x 3一.一2_ 一.因式分解：x 5x 6形式：2axbxc (a1xc1 )(a2x c2). ( 拓展 )分析：a2 ；c= c1c2 ， b a1 c2a2 c1形式如ax2bxc 的式子要进行因式分解，确定其中的a1, a2 ,c1, c2 是一个尝试的过程。2】 分解因式 2x2x3所以2x2 x 3 (2x3)(x 1)【基础练习】1 将下列各式因式分解：11) x2 5x + 6 =2）(3) x2+5x + 6 =4）x2+ 5x 6=2将a2 10a16 因式分解，结果是（A （ a 2 ） （
17、a 8 ）B （ a 2） （ a 8）Ca 2 ) ( a 8)D （ a 2） （ a 8）3 因式分解的结果是（ x 3 ） （ x 4 ）的多项式是（A x2 7x 122B x2 7x 12Cx2 7x 12D x2 7x 124.如果 x2px+q= (x+a)x b） ，那么 p 等于（A abB a bC abDa b5.若 x2+kx 36= ( x12)x 3 ） ，则 k 的值为（A9B 15C15D 96 把下列各式因式分解2m 12m 20x2 xy 6y210xy 9y2x 1 ) ( x 4 )362ma 18ma 40mx3 5x2y 24xy27.已知 x+y
18、 = 0, x+3y=1,3x2+ 12xy+ 13y2 的值.【提高练习】1 多项式x2 3xy ay2 可分解为（x 5y ） （ x by） ，则a、 b 的值为（A. a= 10, b= 2B. a = 10, b= 2C. a=10b=2D. a= - 10, b= 22.若 x2+ ( a+b) x+ab= x2-x-30,且 bva,则 b 的值为(A 5B6C5D3 将（ x y ） 2 5 （ x y） 6 因式分解的结果是（A ( x y 2 ) ( x y 3 )B ( x y 2 ) ( x y 3)C. (x+y 6) (x+y+1)D. (x+y+6) (x+y1)
19、4.观察下列各式：1X2X3X4+ 1=52; 2X3X4X5+ 1 = 112; 3X4X5X6+ 1=192;判断是否任意 四个连续正整数之积与1的和都是某个正整数的平方，并说明理由.【全章巩固练习】1 .把(xy) 2(y x)分解因式为()A(x-y)(x-y- 1)B.(y-x)(x-y- 1)C.(y-x)(y-x- 1)D.(y-x)(y-x+ 1)2 .若 a+b=4,则 a2+2ab+b2 的值是()A. 8B. 16C. 2 D. 43 . ( 8 ) 2006 ( 8)2005能被下列数整除的是()A. 3 B. 5C. 7 D. 94 .下列分解因式结果正确的是()32
20、2A. 6(x 2)+x(2 x)=( x2)(6+x)B, x +2x +x=x(x +2x)C. a(ab)2+ab( ab)= a(ab)D. 3xn+1+6xn=3xn( x+2)5 .如果 ba= 6, ab=7,那么 a2bab2的值是()A 42B. 42C. 13D. 136 .已知x27xy+12y2=0,那么x与y的关系是7 .利用因式分解简便计算57 99 44 99A. 99 （57 44） 99 101 9999C. 99 （57 44 1） 99 102 100988 .从边长为a的大正方形纸板中挖4-个边长为b的小正方形后，将其裁成四个相同的等 腰梯形（如图甲），
21、然后拼成一个平行四边形（如图乙）.那么通过计算阴影部分的面积可以99正确的是()B. 99 (57 44 1) 99 100 9900D. 99 (57 44 99) 99 2 198M-甲乙验证公式.9.在边长为 a的止方形中挖土-个边长为b的小正方形（a b）,再沿虚线剪开，如图（1）,然后拼成一个梯形，如图（2）.根据这两个图形的面积关系，表明*（1）imi耻上(2)卜列式子成立的是()22A. ab(a b)(a b)C. (a b)2 a2 2ab b222_2B. (a b)a 2ab b222D. a b (a b)10 .利用简便方法计算：(2) X+X+X( 20)2(2)8
22、1(a+b) -4(a-b)(3) x(x-y) -y(y-(1)23 X+59X +18X ;x)(4) 12x3+12x2y 3xy211 .分解多项式：(1)16 x2y2z29(5)( x+y)2+m*my(6)a(xa)( x+y) 2b(xa) 2( x+y)200822 已知a-b= 2005，ab=丽,求abab的值。13 .已知(4x2y1)2+、，xy 2=0,求 4x2y4x2y2+xy2的值.14 .求证：无论x、y为何值，4x2 12x 9y2 30y 35的值恒为正。15 .用分解因式说明：257 512能被60整除。16 .已知a、b、c是 ABC勺三边的长，且满
23、足a2 2b2 c2 2b(a c) 0 ,试判断此三角形的形状.17 .观察下列各式：12+(1 X2) 2+22=9=3222+(2 X 3) 2+32=49=7232+(3 X 4) 2+42=169=132你发现了什么规律请用含有n (n为正整数)的等式表示出来，并说明其中的道理.18 .阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1 + x)1+ x+x(x+1)=(1+ x)2(1 + x)=(1+ x)3(1)上述分解因式的方法是 法，共应用了、次。(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x (x+1 ) 2007,则需要应用上
24、述方法 次，分解因式后的2士里旦口 不 o(3)请用以上的方法分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1) 2+-+ x(x+1) n( n为正整数)，必须有简要的过程。解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+ x (x+1)n19 .阅读下列计算过程:99X99+199=99 2+2X99+1=(99+1) 2=100 2=10 4计算：999X999+1999=;9999X 9999+19999=(2)猜想99X99+等于多少 写出计算过程。20 .如图，边长为 a b的矩形，它的周长为 14,面积为10,求a2b ab2的值。21 .如图，有三种卡片，其中边长为 a的正方形卡片1张，边长分别为 a ,/b的矩形卡片6张，边长为b的正方形卡片9张.用这16张卡片拼成一个!正方形，则这个正方形的边长是多少r