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1、第八章层次分析法层次分析法(Analytic Hierarchy Process ,简称AHP)是对一些较为复杂、较为模 糊的问题作出决策的简易方法,它特别适用于那些难于完全定量分析的问题.它是美 国运筹学家T. L. Saaty教授于70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准那么 决策方法. 1层次分析法的根本原理与步骤人们在进行社会的、经济的以及科学治理领域问题的系统分析中,面临的常常是 一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统.层次 分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法.运用层次分析法建模,大体上可按下面四个步骤进行：(i)建立
2、递阶层次结构模型；(ii)构造出各层次中的所有判断矩阵；(iii)层次单排序及一致性检验；(iv)层次总排序及一致性检验.下面分别说明这四个步骤的实现过程.1.1递阶层次结构的建立与特点应用AHP分析决策问题时,首先要把问题条理化、层次化,构造出一个有层次 的结构模型.在这个模型下,复杂问题被分解为元素的组成局部.这些元素又按其属 性及关系形成假设干层次.上一层次的元素作为准那么对下一层次有关元素起支配作用. 这些层次可以分为三类：(i)最高层：这一层次中只有一个元素,一般它是分析问题的预定目标或理想结 果,因此也称为目标层.(ii)中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节,它可以由
3、假设干 个层次组成,包括所需考虑的准那么、子准那么,因此也称为准那么层.(iii)最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种举措、决策方案等, 因此也称为举措层或方案层.递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关,一般地层次数不受限制.每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个.这是由于支配的元素过多会给两两比拟判断带来困难.下面结合一个实例来说明递阶层次结构的建立.例1假期旅游有R、P2、P3 3个旅游胜地供你选择,试确定一个最正确地点.在此问题中,你会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等一些准那么去反 复比拟3个侯选地点.可以建立如下的层次结构模型.层次结构
4、反映了因素之间的关系,但准那么层中的各准那么在目标衡量中所占的比重 并不一定相同,在决策者的心目中,它们各占有一定的比例.在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时,遇到的主要困难是这些比 重常常不易定量化.此外,当影响某因素的因子较多时,直接考虑各因子对该因素有 多大程度的影响时,常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的 重要性程度不相一致的数据,甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据.为看清这一点, 可作如下假设：将一块重为1千克的石块砸成n小块,你可以精确称出它们的重量,设为W1, , Wn,现在,请人估计这 n小块的重量占总重量的比例不能让他知道各 小石块的重量,此人不仅
5、很难给出精确的比值,而且完全可能因顾此失彼而提供彼 此矛盾的数据.设现在要比拟n个因子X xi, ,xn对某因素Z的影响大小,怎样比拟才能提 供可信的数据呢 Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比拟建立成比照拟矩阵的 方法.即每次取两个因子 Xi和Xj ,以aj表示Xi和xj xZ的影响大小之比, 全部比拟 结果用矩阵A a.,n表示,称A为Z X之间的成比照拟判断矩阵简称判断矩 阵.容易看出,假设 Xj与Xj对Z的影响之比为aj,那么Xj与xi对Z的影响之比应为1 a ji.aij定义1假设矩阵A ajnn满足1|aj 0 ,iiaji i, j 1,2, ,n aij那么称之为正互反矩
6、阵易见a.1, i 1, ,no关于如何确定aj的值,Saaty等建议引用数字19及其倒数作为标度.下表列出 了 19标度的含义：标度含义135792, 4, 6, 8表示两个因素相比,具有相同重要性 表示两个因素相比,前者比后者稍重要 表示两个因素相比,前者比后者明显重要 表示两个因素相比,前者比后者强烈重要 表示两个因素相比,前者比后者极端重要 表示上述相邻判断的中间值倒数假设因素i与因素j的重要性之比为aj ,那么因素j与因素i重要性1之比为aji.a aij从心理学观点来看,分级太多会超越人们的判断水平,既增加了作判断的难度, 又容易因此而提供虚假数据.Saaty等人还用实验方法比拟了
7、在各种不同标度下人们判 断结果的正确性,实验结果也说明,采用19标度最为适宜.最后,应该指出,一般地作 n(n 1)次两两判断是必要的.有人认为把所有元素2都和某个元素比拟,即只作n 1个比拟就可以了.这种作法的弊病在于,任何一个判 断的失误均可导致不合理的排序,而个别判断的失误对于难以定量的系统往往是难以防止的.进行n(n 0次比拟可以提供更多的信息,通过各种不同角度的反复比拟,2从而导出一个合理的排序.1.3层次单排序及一致性检验判断矩阵A对应于最大特征值max的特征向量 W,经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序.上述构造成比照拟判断
8、矩阵的方法虽能减少其它因素的干扰,较客观地反映出一对因子影响力的差异.但综合全部比拟结果时,其中难免包含一定程度的非一致性.如果比拟结果是前后完全一致的,那么矩阵A的元素还应当满足：aijajkaik, i, j,k 1,2, ,n(1)定义2满足关系式(1)的正互反矩阵称为一致矩阵.需要检验构造出来的(正互反)判断矩阵A是否严重地非一致,以便确定是否接受A.定理1正互反矩阵 A的最大特征根 max必为正实数,其对应特征向量的所有分量均为正实数.A的其余特征值的模均严格小于max.m ax定理2假设A为一致矩阵,那么(i) A必为正互反矩阵.(ii) A的转置矩阵AT也是一致矩阵.(iii)
9、A的任意两行成比例,比例因子大于零,从而 rank(A) 1 (同样,A的 任意两列也成比例).(iv) A的最大特征值max n,其中n为矩阵A的阶.A的其余特征根均为零.i,j 1,2,n,即定理3W1W1W1W1W2WnW2W2W2AW1W2WnWnWnWnW1W2Wnn阶正互反矩阵 AM致矩阵当且仅当其最大特征根max n ,且当正互反矩阵A非一致时,必有 max n .(v)假设A的最大特征值max对应的特征向量为 W (w1, ,wn)T,那么a.wiWj根据定理3,我们可以由max是否等于n来检验判断矩阵 A是否为一致矩阵.由于特征根连续地依赖于aj ,故m ax比n大得越多,A
10、的非一致性程度也就越严重,max对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X Xi, , Xn在对因素Z的影响中所占的比重.因此,对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验,以 决定是否能接受它.对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：i计算一致性指标 CICIax_n 1ii查找相应的平均随机一致性指标RI.对n 1, ,9 , Saaty给出了 RI的值,如下表所示：n123456789RI00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45RI的值是这样得到的,用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从 19及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵,求得最大特征根的平均值max,
11、并定义RI max n.n 1(iii)计算一致性比例 CRCICR 当CR正.RI1.4层次总排序及一致性检验0.10时,认为判断矩阵的一致性是可以接受的,否那么应对判断矩阵作适当修上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量.我们最终要得到各 元素,特别是最低层中各方案对于目标的排序权重,从而进行方案选择.总排序权重 要自上而下地将单准那么下的权重进行合成.设上一层次A层包含A1, ,Am共m个因素,它们的层次总排序权重分别为a1, ,am.又设其后的下一层次B层包含n个因素B1, , Bn ,它们关于Aj的层 次单排序权重分别为bj, ,bnj 当Bi与Aj无关联时,bj0.现求
12、B层中各因素关于总目标的权重,即求 B层各因素的层次总排序权重 b1, ,bn,计算按下表所示方 m式进行,即 bbijaj , i 1, ,n.j 1产AX4Aja4eB将翦徘序权值身An如X瓦网 m瓯如%7-I*nV ff I-1玛%对层次总排序也需作一致性检验,检验仍象层次总排序那样由高层到低层逐层进 行.这是由于虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验,各成比照拟判断矩阵都 已具有较为满意的一致性.但当综合考察时,各层次的非一致性仍有可能积累起来, 引起最终分析结果较严重的非一致性.设B层中与Aj相关的因素的成比照拟判断矩阵在单排序中经一致性检验,求得单排序一致性指标为 CI (j)
13、, ( j 1, ,m),相应的平均随机一致性指标为RI(j)(CI (j)、RI(j)已在层次单排序时求得),那么B层总排序随机一致性比例为mCI(j)ajCR RI(j)aj j i当CR 0.10时,认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果. 2层次分析法的应用在应用层次分析法研究问题时,遇到的主要困难有两个：(i)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构；(ii)如何将某些定性的量作比拟接近实际定量化处理.层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理,提出了一套系统分析问题的方法,为 科学治理和决策提供了较有说服力的依据.但层次分析法也有其局限性,主要表现在:(i)它在很大程度
14、上依赖于人们的经验,主观因素的影响很大,它至多只能排除思维过程中的严重非一致性,却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性.(ii)比拟、判断过程较为粗糙,不能用于精度要求较高的决策问题. AHP至多只能算是一种半定 量(或定性与定量结合)的方法.AHP方法经过几十年的开展,许多学者针对AHP的缺点进行了改良和完善,形成了一些新理论和新方法,像群组决策、模糊决策和反应系统理论近几年成为该领域 的一个新热点.在应用层次分析法时, 建立层次结构模型是十分关键的一步.现再分析一个实例,以便说明如何从实际问题中抽象出相应的层次结构.例2挑选适宜的工作.经双方恳谈,已有三个单位表示愿意录用某毕业生.该 生
15、根据已有信息建立了一个层次结构模型,如下列图所示.目标层只发陵由西地理?单位名气A BiB2B3B4B5B6BiB2111411/2112411/2工作满苣程度B31 1/2153 1/2B41/41/4 1/511/31/3B5111/3 3 11Be222331(方案层)B1C1C2C3C11 1/41/2C2 413C3 2 1/31B2C1 C2 C3C1 11/41/5C2 411/2C3521B3C1C2 C3B4C1C2C3C1131/3C111/35C2 1/317C2 317C331/71C31/5 1/71B5C1 C2 C3BeC1C2 C3C1117C1179C2 11
16、7C21/7 11C3 1/7 1/71C31/9 11层次总排序如卜表所不.研究开展待遇同事地理单位总排序课题前途情况位置 名气叔佰准那么层权值0.1507 0.1792 0.1886 0.04720.14640.2879txIM方案层工作10.1365 0.0974 0.2426 0.27900.46670.79860.3952单排序工作20.6250 0.3331 0.0879 0.64910.46670.10490.2996权值工作30.2385 0.5695 0.6694 0.07190.06670.09650.3052根据层次总排序权值,该生最满意的工作为工作 1.计算程序如下：c
17、lca=1,1,1,4,1,1/21,1,2,4,1,1/21,1/2,1,5,3,1/21/4,1/4,1/5,1,1/3,1/31,1,1/3,3,1,12,2,2,3,3,1;x,y=eig(a);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci1=(lamda-6)/5;cr1=ci1/1.24w1=x(:,1)/sum(x(:,1)b1=1,1/4,1/2;4,1,3;2,1/3,1;x,y=eig(b1);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci21=(lamda-3)/2;cr21=ci21/0.58 w
18、21=x(:,1)/sum(x(:,1) b2=1 1/4 1/5;4 1 1/2;5 2 1;x,y=eig(b2);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci22=(lamda-3)/2;cr22=ci22/0.58w22=x(:,1)/sum(x(:,1)b3=1 3 1/3;1/3 1 1/7;3 7 1;x,y=eig(b3);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci23=(lamda-3)/2;cr23=ci23/0.58w23=x(:,1)/sum(x(:,1)b4=1 1/3 5;3 1 7;1/
19、5 1/7 1;x,y=eig(b4);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci24=(lamda-3)/2;cr24=ci24/0.58w24=x(:,1)/sum(x(:,1)b5=1 1 7;1 1 7;1/7 1/7 1;x,y=eig(b5);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(2);ci25=(lamda-3)/2;cr25=ci25/0.58w25=x(:,2)/sum(x(:,2)b6=1 7 9;1/7 1 1 ;1/9 1 1;x,y=eig(b6);eigenvalue=diag(y);lamda=eigenvalue(1);ci26=(lamda-3)/2;cr26=ci26/0.58w26=x(:,1)/sum(x(:,1)w_sum=w21,w22,w23,w24,w25,w26*w1 ci=ci21,ci22,ci23,ci24,ci25,ci26;cr=ci*w1/sum(0.58*w1)习题八1 .假设发现一成比照拟矩阵A的非一致性较为严重,应如何寻找引起非一致性的元素例如,设已构造了成比照拟矩阵1 1 5 A 5 1 1 13 6(i )对A作一致性检验.(ii )如A的非一致性较严重,应如何作修正.