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1、自己编写的高一数学必修1数学知识点必修1数学知识点 第一章、集合与函数概念 ?1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 *3、 常见集合:正整数集合:或，整数集合:，有理数集合:，实数集合:. NQNZR，4、集合的表示方法:列举法、描述法. ?1.1.2、集合间的基本关系 A,B1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作. A,Bx,Bx,A2、 如果集合，但存在元素，且，则称集合A是集合B的真
2、子集.记作:AB. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:.并规定:空集合是任何集合的子集. ,n4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集.个 2?1.1.3、集合间的基本运算 AB:1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集.记作:. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集.记作:. AB:CAxxUxA,|,且3、全集、补集, U4、解决集合问题的基本思路: (1)理解集合元素的基本含义，(注意集合是数集、点集，有限集、还是无限集等)即明确集合元素是什么，是有限的还是无限的, 2)化简集合: (, ?若集合
3、元素是方程的解，则需解方程;若方程无解，则集合为;?若集合元素是不等式的解，则需解不等式，不等式的解集,也可以为;?若集合元素是两条曲线的交点，需解方程组求出交点坐标，方程组无解则解集为; ?若集合中含有“参数”，则必须对参数进行讨论 (3)熟记集合的运算性质，借助数轴并利用运算性质解决问题 “ABAAB:,”“”, ?如图所示 B BBBBB “ABABA:,”“”,?;?与任意集合A的交集是;?与任意集合A的并集是集合A ,?1.2.1、函数的概念 fx，1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有惟一确定的数fxfAB:,和它对应，那
4、么就称为集合A 到集合B的一个函数，记作:. yfxxA,， 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应法则、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. ?1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. 2、 函数解析式的求法:待定系数法、换元法、配凑法、方程组法等 。 3、 函数定义域的求法 (1)分式函数求定义域时:分母不等于0; (2)偶次根式函数:被开方数大于等于0; (3)对数函数:真数大于0(注意:有时底数含自变量，则底数大于0且不等于0) 1 ,yx,当时() (4)在幂函数x,0,0(5)当函数是由多个基本初等函数构成
5、时，必须使各个函数同时有意义 (6)抽象函数的定义域: ? 若f(x)的定义域为,a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式a?g(x)?b解出 ? 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于x?a,b时，求g(x)的值域。 ?3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般步骤和格式: 步骤: 取值作差变形判号定结论,格式:且，则:= xx,xxab,fxfx,，,1212122、函数单调性的判定方法: ( (1)定义法:某区间D内任意两个自变量，且 有: xx,x,x1212?若，则 在D内单调递增 ; yfx,()fxfx()(),12?若，则 在D内单调递
6、减。 yfx,()fxfx()(),12fxfx()(),12 ?若，则 在D内单调递增; yfx,(),0()()()0xxfxfx,1212,xx12fxfx()(),12 ?若，则 在D内单调递减。 yfx,(),0()()()0xxfxfx,1212xx,12(2)直接法:将已知函数的单调性迁移到其它函数上，一般地， 1 yfx,()与yfx,()的单调性相反;yfx,()与 单调性相反;与单调性相同;增函数+增函数,增函数，yfx,()y,yfx,()fx()减函数+减函数,减函数等等。 (3)根据函数图象判断。 4、复合函数的单调性 ?首先将原函数yfgx,()分解为基本函数:内函
7、数与外函数; tgx,()yft,()?分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性;?根据“同”增“异”减;来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意:外函数的定义域是内函数的值域。 y,f(u)u,g(x)函数最值(值域)求法很多:?分析法 ;?反函数法;?配方法 ;?分离常数法?判别式法 ;?利用函数单调性 ;?换元法 ;3.22xabab，sinxa?利用均值不等式 ; ?利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等);?利用函数有界性(、ab,22cosx等);此外还有导数法等 ?1.3.2、奇偶性 x1、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为偶函数.偶函数图
8、象关于轴yfxfxfx,fx，对称. ，xfx2、 一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么就称函数为奇函数.奇函数图象关于原fxfx,fx，点对称. 3、函数奇偶性的证明方法和步骤; (1)求函数的定义域，并观察定义域是否关于原点对称; 2 ; (2)计算fx(),(3)根据定义判定函数的奇偶性。 4.偶函数的性质: (1)图象关于轴对称; yfx(),(2) fxfxfxfx()()()()01,fx()(3)对称区间内单调性相反; (4)偶函数的“和、差、积、商”是偶函数。 4.奇函数的性质: (1)图象关于原点对称; fx(),(2) fxfxfxfx()()()()01,，
9、,fx()(3)对称区间内单调性相同; (4)奇函数的“和、差、”是奇函数;奇函数的“积、商”是偶函数。 (5)若函数为奇函数且在处有意义，则 yfx,()f(0)0,x,0(注意:奇函数与偶函数的“积、商”是奇函数，判断一个图象是否是所给函数的图象，首先从函数奇偶性上去判断) 第二章、基本初等函数 ?2.1.1、指数与指数幂的运算 n1、 一般地，如果xa,，那么叫做 的次方根。其中. xannnN,1,，nn、 当为奇数时，; 2aa,nnnaa,当为偶数时，. n3、 我们规定: nmnm*aa, ?分数指数幂; amnNm,0,1，1,nan, ?负指数幂0;(0的负指数幂无意义) ，
10、na4、 指数幂运算性质: rsrs， ?; aaaarsQ,0,，srrs?; aaarsQ,0,，rrr?. abababrQ,0,0,，5.根式的化简方法步骤: (1)转化为分数指数幂; (2)尽可能将底数化成素数的乘方或是写成几个素数的乘积; (3)利用指数幂运算性质求结果; (4)对于根式(或分数指数幂)的四则混合运算可采用“配方”、“分母(或分子)有理化”、“换元”等思想解决。 指数不等式的解法;关键是不等式两边化为同底，再用指数函 数的单调性解不等式(注意:解二次不等式时用数轴标根法) ?2.2.1、对数与对数运算 xlogNaa,aa,N,logN,x1、概念:;2、对数恒等式
11、:. a3 ，;4运算性质:当时: 3、log1,0loga,1a,0,a,1,M,0,N,0aaM,?;?; ，logMN,logM，logNlog,logM,logN,aaaaaaN,n?. logM,nlogMaalogbclogb,5、换底公式:. aaccb,0,1,0,1,0，alogac16、 . b,logaabb,0,1,0,1，aalogb6.对数式的化简需注意 x (1)充分利用对数的概念 ; aNNx,loga(2)死记对数恒等式以及对数运算性质; (3)利用对数化简的“分”与“合”思想: “分”就将对数的真数分解成质数的“积”“商”“乘方”，然后用对数运算性质将对数写
12、成同底对数的“和”与“差”。 “合”就是将同底的两对数的和(差)合成积(商)的对数。 (4) 充分利用“lg5+lg2=1”. (5) 有多重对数符号的对数，应从内向外逐层化简求值，同时充分运用“1”的对数等于0、底数的对数等于“1”等对数的运算性质. (6) 不同底的对数可利用换底公式化为同底对数，主要是化为常用对数. 对数不等式的解法:关键是不等式两边化为同底，再用对数函数的单调性解不等式(注意:?对数式真数永远大于0;?化成同底的过程中，经常用到如下几个公式，:logNaaa,对数恒等式:，。 0log1,1log,aaa常见的基本初等函数的图象和性质 1、一次函数:，图象是直线。 yk
13、xbk,，,(0)k,0k,0(1)定义域、值域都是R，(2)单调性:时函数递增。函数递减; b,0(3)奇偶性:时，函数为奇函数。 2yaxbxca,，,(0)2、二次函数: 2bacb4,b(,),x,(1)图象:抛物线，对称軕:，顶点，画图时注意配方和找零点; 2a24aa(2)定义域R，值域用配方法求解; a,0a,0(3)单调性:时，函数在对称轴两侧先减后增。函数在对称轴两侧先增后减; b,0(4)奇偶性:时，函数为偶函数。 kyk,(0)3、反比例函数: xk,0k,0(1)图象:双曲线，坐标軕为渐近线，对称中心(0，0)，图象在一、三象限;时，图象在二、四象限; (,0)(0,)
14、,，,:(,0)(0,),，,:(2)定义域，值域; k,0k,0(3)单调性:(,0)(0,),，,和(,0)(0,),，,和时，函数在内递减函数在内递增; (4)奇偶性:函数为奇函数。 4 cxdb， 4、反比例型函数:yax,(0,)axba，bcbc(1)图象:双曲线，对称中心为，渐近线为，通过分离常数可得到它的母函数; (,),xy,aaaabbcc(2)定义域，值域; (,)(,),，,:(,)(,),，,:aaaa(3)单调性:由母函数决定; (4)奇偶性:一般不具备奇偶性。 b5、对勾函数: yaxab,，,(0,0)x(1)图象: (2)定义域:(,0)(0,),，,:bx,
15、0x, 值域:当时，函数有最小值， a bx,0x, 当时，函数有最大值。 a bbbb (,)(,),，,和),，0和(0，(3)单调性:函数在内递增; 函数在内递减。 aaaa(4)奇偶性:是奇函数。 x、指数函数及其性质 6yaaa,(01)且(1)图象 y o0a1 x(0，+,)(2)定义域:R，值域: 01,aa,1(3)单调性:当时，函数在R上递减;当时函数在R上递增。 01,ax,0x,0a,1x,0x,0(4)函数值变化情况:当时，若，则，若，;当时，若，则，若，。 01,yy,1y,101,yfx()7、形如的函数 ya,fx()1)定义域:与内函数(的定义域相同; 三三角
16、函数的计算xy随f(x)的变化而变化fx()(2)值域:，因此需先求出的值域，再由函数的单调性求原函数的值域。 ya,三角形内心的性质:三角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图)tyfx,()(3)单调性:属于复合函数单调性的范畴，由外函数、内函数的单调性决定(注意:原函数的定义域) ya,2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。|x(4)注意函数的图象，从图上看是偶函数。 ya,弦和直径： 弦：连接圆上任意两点
17、的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。8、对数函数 yxaa,log0,1， a(1)图象 (0,)，,(2)定义域:; 5 时，函数在递减; 当时，函数在递增。 (3)单调性:当a,1(0,)，,(0,)，,01,a(x,1a,1x,14)函数值变化情况:当时，若，则，若01,x，;当时，若，则，若01,x，。 y,0y,0y,0y,001,a三、教学内容及教材分析：,9、幂函数图象 yx,点在圆上 d=r;x-110、反函数:y=a与y=logx互为反函数,互为反函数的两函数图象关于直线y=x对称,函数y=f(x)过点,a,b,则它的反函数y=f(x)a-1过点,b,a,;求反函数的
18、步骤?求原函数的值域;?反解x;?对换x,y得y=f(x),?标明反函数的定义域。 第三章、函数的应用 圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧。?3.1.1、方程的根与函数的零点:方程有实根 函数的图象与轴有交点 函数有零点. x,fx,0yfx,yfx,，2、 零点存在性定理:如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数yfx,ab,fafb,0，,在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根. cyfx,cab,fc,0fx,0ab,，?3.1.2、用二分法求方程的近似解:掌握利用二分法求函数零点或方程的近似解 (6)直角三角形的外接圆半径?3.2.1、几类不同增长的函数模型。 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。?3.2.2、函数模型的应用举例 解决问题的常规方法:先画散点图，再用适当的函数拟合，最后检验. 6 dr 直线L和O相离.7