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1、第三章 向量组的线性相关性与线性方程组一. 单项选择题1.向量组线性无关的充分必要条件为( )A. 均不为零向量;B. 中任意两个向量的分量不成比例;C. 中任意一个向量均不能由其余n-1个向量线性表示;D. 中有一部分向量线性无关.解: C.2.均为n维向量,则下列结论正确的是( )A. 若则线性无关;B. 若对任意一组不全为零的数,都有则线性无关;C. 若线性相关,则对任意一组不全为零的数,都有D. 若,则线性无关.解: B.3.线性无关,则以下线性无关的是( )A. B. C. D. 解: C.对A中向量有,对B中向量有,对D中向量有对C中向量有所以选择C.4.是两向量组,若存在两组不全
2、为零的实数使得,则( ) A. 都线性相关; B. 都线性无关; C. 线性相关; D. 线性无关.解: D.将已知等式变形得 .5.设线性无关, 线性相关,则( ) A. B. C. D. 解: C.由已知得从而6.设可由向量组线性表示,但不能由() 线性表示,记() ,则( )A.不能由()及()线性表示; B.不能由()线性表示,但可由()线性表示;C.可由()及()线性表示; D.可由 ()线性表示,但不能由()线性表示.解: B.设 (*)则必有,否则与不能由线性表示矛盾.对(*)式变形即得可由()线性表示.7.向量组线性无关, 也线性无关,则( ) A., B. , C. , D.
3、 解: D.,线性无关,故选(D)8.设均为n阶非零矩阵,且,则和的秩 ( )A.必有一个等于零; B. 都小于n;C.一个小于n,一个等于n; D.都等于n.解: B.由和得: 方程组有非零解,所以,同理可得: 故选B.9. 设矩阵的秩为为m阶单位阵,下述结论正确的是( )A.矩阵的任意m个列向量必线性无关;B.矩阵的任意一个m阶子式不等于零;C.若矩阵满足,则;D.矩阵通过初等行变换,必可化为的形式.解: C.若,则即:的列向量均为方程组的解.而即: 为列满秩矩阵,所以, 方程组仅有零解.亦即: 10.设有向量组则该向量组的极大线性无关组是 ( )A. ; B. ; C. ; D. 解:
4、B.以该向量组为列构造矩阵,对施行初等行变换:,初等行变换不改变列向量组间的线性关系.所以, 为向量组的一个极大无关组.11.设非齐次线性方程组中,则下列结论成立的为( ) A.r=m时,方程组有解; B.r=n时,方程组有唯一解; C.m=n时,方程组有唯一解; D.rn时,方程组有无穷解.解: A.r=m时,系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩.12.设为mn矩阵,B为n维列向量,则下列结论成立的是( )A. 若仅有零解,则有唯一解;B. 若有非零解,则有无穷解;C. 若有无穷解,则仅有零解;D. 若有无穷解,则有非零解.解: D.若有无穷解,则,故有非零解.13.设为n阶实矩阵,是的转置矩阵,则
5、对于线性方程组(I): 和(II) ,必有 ( )A.(II)的解是(I)的解,(I)的解也是(II)的解;B.(II)的解是(I)的解,但(I)的解不是(II)的解;C.(I)的解不是(II)的解,(II)的解也不是(II)的解;D.(I)的解是(II)的解,但(II)的解不是(I)的解.解: A.设 则所以,(I)的解是(II)的解;反之,设 则为一个列向量,所以必有: .亦即: (II)的解是(I)的解.因此,选A.14.是非齐次线性方程组的两个不同解,是对应导出组的基础解系.为任意常数,则的通解为( ) A. B. C. D. 解: B.线性无关,并且是导出组的解,所以为导出组的一个基
6、础解系; 为的特解,故选(B).15.设为四元线性方程组的三个解向量,且, ,c为任意常数,则的通解为( ) A. B. C. D. 解: C.为的一个特解.其导出组的基础解系仅含一个向量,且为导出组的一个非零解,故的通解为.16.齐次线性方程组=若存在三阶非零方阵满足,则( ) A.=-2,且|=0; B. =-2,且|0; C. =1,且|=0; D. =1,且|0.解: C.的三个列向量均为的解向量,即方程组有非零解,故|=-(=0,从而=1;当=1时,r()=1,故基础解系包含两个向量,矩阵的三个列向量必线性相关,所以|=0.17.若均为方程组的解,则为( ) A., B. , C.
7、, D. 解: A.解一:线性无关,故基础解系的秩2,从而r()=1,答案为(A);解二:令,一一验证可得(A)中矩阵满足,故选(A).18.已知为三阶非零阵,且则( ) A.的秩必为1; B. 的秩必为2; C. 的秩必为1; D. 的秩必为2. 解: C.若,则必有小于或等于方程组的基础解系所包含向量个数.从而 又因为为三阶非零阵, 所以若则此时必有即必有若则此时必有即必有或所以应选C.19.设则三直线其中交于一点的充分必要条件为( ) A. 线性相关; B. 线性无关; C. D. 线性相关; 线性无关.解: D.解一:三直线有一交点,说明线性无关, 可由线性表示.故选(D);解二:方程
8、组存在唯一解的充要条件为系数矩阵与增广矩阵的秩相等,等于2,故选(D);解三:设交点为,则即可由唯一线性表示.故选(D).20.矩阵是满秩的,则( )直线 A.交于一点; B.重合; C.平行不重合; D.异面解: A.解一:矩阵分块为为A的行向量, 线性无关.而又线性无关,二直线不平行.又由这说明三个向量共面.所以二直线相交.解二:记,则线性无关.因此二直线共面又不平行.故选(A).解三:引入参数方程,令令一个参数为,则得方程组如下方程组有唯一解的充要条件为线性无关,因此二向量与线性无关,故二直线交于一点.解四:用纯粹空间几何方法:将视为向径,即为三个点,有r()=3知此三点不共线.因此决定
9、一平面.而二直线一是过与平行;一是过与平行,此二直线均在上且不平行,故相交.解五:取特殊情况,代入可得二直线相交.二.填空题1.若线性方程组有解,则常数应满足关系式为 .解: 线性方程组有解系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等,对增广矩阵施行初等行变换: 所以应有 .2.设及均为非齐次线性方程组的解向量,则 解: 将代入方程组得即从而即.3.若向量组线性无关,(1) 线性；() 线性解: (1) 相关;(2)无关对(1)中向量有 ,线性无关,故(1)相关;类似可得(2)无关.4.向量组的秩为2,则= 解: =3.解一:用行列式为0. 得=3解二:用矩阵的初等变换得 =3.5.n阶矩阵各行元素和为0,
10、且r()=n-1,则方程组的通解为 解: k(1,1,1),k为任意常数.(1,1,1)满足方程,方程基础解系仅含一个向量,故通解为k(1,1,1),k为任意常数.6.设,则方程组的解为 .解: (1,0,0,0)T.|为范得蒙行列式,故|0,方程组有唯一解.矩阵方程对应的线性方程组为 由观察可知 (1,0,0,0)T为方程组的解.7.设,为三阶非零矩阵,且,则 .解: 若,则的列向量为齐次线性方程组的解.为三阶非零矩阵,所以齐次线性方程组有非零解.从而有解得.三.计算题 1.设向量组线性无关, 讨论的线性关系.解:设,整理得:,由线性无关得,线性方程组对应的系数行列式为所以,(1)当s为奇数
11、时,D=20,方程组仅有零解, 线性无关; (2) 当s为偶数时,D=0,方程组有非零解, 线性相关.2.设为矩阵,为矩阵,为n阶单位阵(.已知,试判断的列向量组是否线性相关?为什么?解: 因为 另一方面, 显然成立,所以必有 从而的列向量组线性无关.3. 设向量组线性相关,向量组线性无关,问: (1) 能否用线性表示? (2) 能否用线性表示?解: (1) 由向量组线性无关可知线性无关,而线性相关,故必有可用线性表示.(2) 若能由线性表示,由(1)结果知应能由线性表示,这与线性无关矛盾.所以不能由线性表示.4.设是n 维实向量,且线性无关.已知是线性方程组的非零解向量,试判断向量组的线性关
12、系.解: 设有一组数使得 成立.因为是线性方程组的解,且,所以有: 即: 因此,在两侧同乘得,即:.但,故必有.从而由得 .线性无关,所以有: .因此, 向量组的线性无关.5.设有向量组,(1) 为何值时,向量组线性无关,并将用该向量组线性表示;(2) 为何值时,向量组线性相关,求向量组的秩和一个极大无关组.解(1)用矩阵的初等行变换.将按列构造矩阵如下故2时,向量组线性无关.若设,对以上阶梯形矩阵对应线性方程组求解得 (2) =2时,向量组线性相关.因为即线性无关,所以为一极大无关组.6.设(1) 为何值时,不能由线性表示;(2) 为何值时,能由唯一线性表示,写出线性表示式.解:对矩阵施行初
13、等变换:(1) =-1,0时,r()=2r()=3, 不能由线性表示;(2) -1时, r()=r()=4, 能由唯一线性表示,进一步计算得线性表示式为 7.设向量试问满足什么条件时,(1)可由线性表示,且表示唯一?(2) 不能由线性表示?(3) 可由线性表示,但表示不唯一?并求出一般表示式.解: 设有一组数,使得,其对应的线性方程组为 该方程组的系数行列式为 (1)当时,方程组有唯一解, 可由线性表示,且表示唯一.(2)当时,对增广矩阵进行初等变换: 若则方程组无解, 不能由线性表示.(3)当且时, 方程组有无穷多解.可由线性表示,但表示不唯一.进一步求解得: 为任意常数).所以,有 从而也
14、是该方程组的一个基础解系.8.对于线性方程组 讨论取何值时,方程组无解,有唯一解和有无穷多解.在方程组有无穷多解时,试用其导出组的基础解系表示全部解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换:所以:(1) 当时, 方程组有唯一解;(2) 当时,方程组无解;(3) 当时, 方程组有无穷解;这时,增广矩阵化为 ,对应的线性方程组为: ,令得方程组的一个特解为: 导出组对应的线性方程组为: ,分别令得导出组的一个基础解系为: 所以,方程组的全部解为: 为任意常数).9.已知线性方程组 ,讨论取何值时,方程组有解,无解;有解时,试用其导出组的基础解系表示通解.解: 对方程组的增广矩阵施行初等行变换: 所
15、以,(1) 当时,方程组无解;(2) 当时,方程组有解;若得方程组的通解为 为任意常数).若得方程组的通解为 为任意常数).10.设有方程组(1) 满足何关系时,方程组仅有零解;(2) 满足何关系时,方程组有无穷解,并用基础解系表示全部解.解: (1) 互不相等时,r()=n=3,方程组有唯一零解;(2) 时,通解为 k(1,0,-1); 时,通解为 k(1,-1,0); 时,通解为 k(0,1,-1).11.设为三阶非零矩阵,其行向量满足方程组,(1) 求;(2)证明|=0.解:由题意得方程组有非零解,故系数行列式为零,即解得 . 另一方面,当时,r()=2,线性方程组基础解系包含一个向量,
16、所以,r()=1,从而|=0.12.设有方程组(1) 若两两不等,则方程组无解;(2) 若为方程组的解,求其通解.解(1)增广矩阵行列式为范得蒙行列式,故增广矩阵的秩为4,而系数矩阵的秩3,所以,方程组无解. (2)若 原方程等价于方程组 系数矩阵的秩为2,故导出组基础解系仅含一个向量为取方程组的特解为方程组的通解为: 为任意常数).13.设有两方程组(1) 求方程(I)的通解;(2) 为何值时,(II)与(I)同解.解: (1)对(I)的增广矩阵初等行变换:得通解为 (2)将(I)的通解代入(II)中各方程:代入第一个方程得: ,k为任意实数,故=2.类似可得: =4,=6.将=2, =4,
17、 =6代入方程(II),得方程组对增广矩阵初等行变换: 与(I)的增广矩阵变化结果一样,所以,(I)与(II)同解.14.设有四元线性方程组(I),另有方程组(II)的通解为 ,(1) 求(I)的基础解系;(2) 判断(I)和(II)有无公共非零解,若有,求其公共非零解.解:(1) 方程组(I)的系数的秩为2,自由未知量有两个为,令代入方程得基础解系为: (-1,1,0,1)和(0,0,1,0).(2)将两方程组基础解系以列排成矩阵,进行初等行变换: ,从而,.即: ,其中为(I)的解,为(II)的解,所以,两方程组有公共非零解,全部公共解为k()=k(-1,1,1,1).(k为任意常数).1
18、5.设线性方程组(I) 的一个基础解系为 ,写出(II) 的通解.解: 为方程(I)的一个基础解系,故满足方程组,代入(I)得:,这表明为方程组(II)的解.方程(I)的一个基础解系包含n个向量,所以(I)的系数矩阵的秩为n,从而线性无关.另一方面, 方程(II)的的系数矩阵的秩为n,故(II)的基础解系应包含n个向量,所以 为(II)的一个基础解系.方程组(II)的通解为为任意常数.四.证明题1. 设是矩阵,是矩阵,其中,若,证明的列向量组线性无关.证明: 另一方面, 是矩阵,所以综合即有 因此的n个列向量线性无关,亦即的列向量组线性无关.2. 设是n维向量,证明: (1) (2)当时,不可
19、逆.证明: (1) 由得 =所以必有 即 (2) 由(1)得当时, .若可逆,则即从而必有 亦即又因为,所以必有,与矛盾.因此应有不可逆.3. 证明n维列向量组线性无关的充要条件为: 证明: 设则线性无关的充要条件为另一方面, 从而,的充要条件为所以应有 线性无关的充要条件为.4. 设有向量组(I) ,(II) (III) 且r(I)=r(II)=3,r(III)=4,证明: 线性无关.证明: 设由r(I)=r(II)=3得可由唯一线性表示,设为 ,代入得 因为线性无关,所以 从而,得证.5.对n 阶方阵,若存在正整数使得,且.证明向量组线性无关.证明: 设上式两侧同乘以:即 由得 所以应有 而,从而必有.因此有 同理上式两侧同乘以得 .类似可得 所以向量组线性无关性得证.6.设为齐次线性方程组的一个基础解系.证明: 也是该方程组的一个基础解系.证明: 因为,所以, .即: 为方程组的一个解.同理可得: 也是方程组的解.以下只需证明的线性无关性.设,整理得:因为线性无关,所以必有 解得: 即: 线性无关.7.设是齐次线性方程组的一个基础解系,.证明线性无关.证明: 设其中)为任意实数.则 (*)上式两侧同乘以得 因为是齐次线性方程组的一个基础解系,所以应有.从而 而,所以必有 代入(*)得 由线性无关得 又由得 所以必有线性无关.22