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1、一、填空题（本题15分，每空1分）1、不同情况进行分类，振动（系统）大致可分成，（）和非线性振动；确定振动和（）;（）和强迫振动；周期振动和（）；（）和离散系统。2、在离散系统中，弹性元件储存 （），惯性元件储存（），（）元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）的振动性质的基础。5、系统的固有频率是系统（）的频率，它只与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分）2、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分）3、共振具体指的
2、是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？ （10分）4、多自由系统振动的振型指的是什么？ （10分）三、计算题（本题30分）1、求图1系统固有频率。（10分）图12、图2所示为3自由度无阻尼振动系统。（1）列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）；（2）设 kti=kt2=kt3=K4=k, I1 =I2/5 = I3 =I ,求系统固有频率（10 分）。2KK2解：1）以静平衡位置为原点，设I1,I2,I3的位移。1,82,83为广义坐标，画出I1,I2，I3隔离体,根据牛顿第二定律得到运动微分方程：黑 k3 K2G1 T） =0a2 kt2巳T）嗫）=03% K
3、Q -)KN =0I100100M =0I20 =I050所以:kt1 +kt2kt20 1一2-1Ik =- kt2kt2 +kt3- kt3=k 一120kt3kt3 + kt4 11 J-101-12曲i、阳系统运动微分方程可写为：m 他J + Ik】cosot，代入（a）可得:g. lu3.(k -C02 M ) = 0 (b)&3,-k02k -52I -k =0_2-k 2k-o I2k -o2I得到频率方程：L (2)=-k0U 2-224_2_2( ) =(2k- I)(5I -12kI 2k ) = 0=2k I解得：2=（T2所以:(将（c）代入（b）可得:6 - 26 k
4、 )15 I(c)四、2k-(12k-2-k-kk2k -2 5II-k2k -()-k5I-knu2 = 0-k2k 一2氐I解得： u11 : u21 : U31 %1:1.82 :1 ；u12: u22 : u32 定一1: 0:1 ;U13 ： U23 ： U33 1： -0.22:1令u3 =1 ,得到系统的三阶振型如图:证明题(本题15分)对振动系统的任一位移xU321T小-0.22Rayleigh 商 R(x)=xTKxxTM x122MR(x) n o这里，K和M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，1和6n分别是系统的最低和最tWj固有频率。(提示:用展开定理x =YiU1 +y2
5、U2)+YnUn)证明：对系统的任一位移x, Rayleigh商R(x)_xTKxxTMx满足2 MR(x)E ：这里，K和M分别是系统的刚度矩阵和质量矩阵，01和COn分别为系统的最低和最高固有频率。证明：对振动系统的任意位移 x,由展开定理，x可按n个彼此正交的正规化固有振型展开:nx八 yiu(i) =uyi 1其中：u为振型矩阵，c为展开系数构成的列向量:y =y1,y2,ynT所以：xTKxyTuTK uyR(x)TT TxTM xyTuTMuy一1001T-u M u = 0,0由于:01co21 00T-uKu= 00cc2008n因此:R(x)=yTuTKuyyTuTM uy仔
6、 2100yT0.0y_2008n100yT 0 工 0 yP 0 12 22 22 2y1 1y2 ,2. yn 二222y1 y2. yn由于：12 , ；三E nnr y2r y2所以： ni- R(x) - ni - y2、y2i 1i 1即：2 R(x) 2证毕。、填空题（本题15分，1空1分）1、机械振动是指机械或结构在（静平衡）附近的（弹性往复）运动。2、按不同情况进行分类，振动系统大致可分成，线性振动和（非线性振动）；确定性振动和随机振动；自由振动和和（强迫振动） ；周期振动和（非周期振动）；（连续系统）和离 散系统。3、（惯性）元件、（弹性）元件、（阻尼）元件是离散振动系统的
7、三个最基本元素。4、叠加原理是分析（线性振动系统）的振动性质的基础。5、研究随机振动的方法是 （统计方法），工程上常见的随机过程的数字特征有：（均值），（方差），（自相关）和互相关函数。6、系统的无阻尼固有频率只与系统的（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无 关。二、简答题（本题 40分，每小题5分）1、简述确定性振动和随机振动的区别，并举例说明。答：确定性振动的物理描述量可以预测；随机振动的物理描述量不能预测。比如： 单摆振动是确定性振动，汽车在路面行驶时的上下振动是随机振动。2、简述简谐振动周期、频率和角频率（圆频率）之间的关系。2二 1一答：T =一，其中T是周期、0是角频率（圆频率
8、），f是频率。 f3、简述无阻尼固有频率和阻尼固有频率的联系，最好用关系式说明。答：0d =3小口2 ,其中0d是阻尼固有频率，0n是无阻尼固有频率，之是阻尼比。4、简述非周期强迫振动的处理方法。答：1）先求系统的脉冲响应函数，然后采用卷积积分方法， 求得系统在外加激励下的响应；2）如果系统的激励满足傅里叶变换条件，且初始条件为0,可以采用傅里叶变换的方法，求得系统的频响函数，求得系统在频域的响应，然后再做傅里叶逆 变换，求得系统的时域响应；3）如果系统的激励满足拉普拉斯变换条件，且初始条件不为0,可以采用拉普拉斯变换的方法，求得系统的频响函数， 求得系统在频域的响应， 然后再做拉 普拉斯逆变
9、换，求得系统的时域响应；5、什么是共振，并从能量角度简述共振的形成过程。答：当系统的外加激励与系统的固有频率接近时候，系统发生共振；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。6、简述刚度矩阵K的元素ki/的意义。答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是 kij。7、简述线性变换U矩阵的意义，并说明振型和 U的关系。答：线T变换U矩阵是系统解藕白变换矩阵；U矩阵的每列是对应阶的振型。8、简述线性系统在振动过程中动能和势能之间的关系。答：线性系统在振动过程
10、中动能和势能相互转换，如果没有阻尼，系统的动能和势能之和为常数。三、计算题（本题45分）1、设有两个刚度分别为 ki, k2的线性弹簧如图1,计算它们并联时和串联时的总刚度 keq。（5 分）图1图2图32、一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k约束，如图2所示，求系统的固有频率。（15分）3、求如图3所示的三自由度弹 簧质量 系统的固 有频率 和振型。（25分）（设rTi1 m3 m; m2 2m; k1 = k4k; k2 k3 2k; k k6 3k;）1.解：1）对系统施加力P,则两个弹簧的变形相同为x,但受力不同，分别为：F2 = k2x由力的平衡有：P =
11、PT F2 =（K k2）x，、, P ,故等效刚度为：keq = =k1 k2x2）对系统施加力P,则两个弹簧的变形为：一 Px1 =丁 k1 11,弹簧的总变形为：x = x1+x2 = P（ + 2）_ Pk1 k2x2 一k2Pkk11故等效刚度为： keq = - = = 一 ,x k2 kl k1 k22 .解：取圆柱体的转角9为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0 =0,则当m有&转角时, 系统有：Et1I Y 1m(ur)2 = 1(I mr2)J 222U -1k(-r)2由 d(ET +U) =0 可知：(I +mr2) +kr2e =0即：n ijkr2/ (I mr2) (
12、rad/s )3 .解：以静平衡位置为原点，设mnmm3的位移x，x2,x3为广义坐标，系统的动能和势能分别为Et = 1miXi21m2x221m3x322221212121212U = 2k1x12k2(x1 - x2)2k3(x2 - x3)2 k4x32 (k5k6)x21八 (k12212k2)x-(k2k3 k5k6 )x212-(k3k4)x3一k2x1x2 -3x2x3求偏导得到:F00 1一1IM = 0 m20 =m 000 m3/k + k2-k2IK = -k2k2 +k3 +k5 +0一k30 02 0 ;0 103-2k6-k3=k 2 10k3+k40-201-2
13、3u/I 1得到系统的广义特征值问题方程：(I.K , 2 I.M ) U2 =0IJ3.和频率方程：20-2 k=023k 一8 m3k m 2kLl(4)=-2k10k-262m0-2 k即：U ( 2) =(3k- 2m)(2m2 4 -16km 2 22k2) =0解得：2 = (4 二,、- 5) k 和2 = 3 mm所以：1 = 一（4 一、. 5） .：2 = . 3.:3 = , （4 ,工 5）m , m .m将频率代入广义特征值问题方程解得：u11 : u21 : u31 上1: 0.618:1 ;u12: u22: u32 定 一1： 0:1 ；u13:u23:u33
14、%-0.618:1: 0.618；（三）一、填空题（本题15分，每空1分）1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。2、在离散系统中，弹性元件储存 （），惯性元件储存（），（）元件耗散能量。3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。4、叠加原理是分析（）系统的基础。5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯 变换对。7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（）运动。答案：1、线性振动；随机振动；自由振动；2、势能；动能；阻尼3、简谐运动；
15、正弦；余弦4、线性5、刚度；质量6、频响函数；传递函数7、往复弹性二、简答题（本题40分，每小题10分）1、简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10 分）答：实际阻尼是度量系统消耗能量白能力的物理量，阻尼系数 C是度量阻尼的量； 临界阻尼是ce =2m&n ；阻尼比是C =c/ce2、共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10 分）答：共振是指系统的外加激励与系统的固有频率接近时发生的振动；共振过程中，外加激励的能量被系统吸收，系统的振幅逐渐加大。3、简述刚度矩阵K中元素kj的意义。（10 分）答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移，
16、其余各个自由度的位移保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是均。4、简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。（10 分）答：随机振动的振动规律只能用概率统计方法描述，因此，只能通过统计的方法了解 激励和响应统计值之间的关系 。而周期振动可以通过方程的求解，由初始条件确定未来任意时刻系统的状态。三、计算题（45分）门 mi Ii m2 I23.1、 （14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴Oi, O20102r2转动，无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为口、mI/ .|1和七、m2、12。轮2的轮缘上连接一刚度
17、为 k的弹簧，轮1的轮缘上有软绳悬挂质量为 m的物体，求：1）系统微振的固有频率；（10分）2）系统微振的周期；（4分）。3.2、 （16分）如图所示扭转系统。设转动惯量 I 刚度 K1 = Kr2。1）写出系统的动能函数和势能函数；（4分）2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵；（4分）3）求出系统的固有频率；（4分）4）求出系统振型矩阵，画出振型图。（4分）3.3、 （15分）根据如图所示微振系统，1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；2）求出固有频率；图2（5分）（5分）（5分）3）求系统的振型，并做图。3.4、 （ 1 ）系统微振的固有频率；（10分）；（2）系统微振的周期；（4分）。选
18、取广义坐标x或0 ;确定m的位移与摩擦轮转角的关系，（质量m的位移与摩擦轮转动的弧长及弹簧的变形量相 等）写出系统得动能函数 Et、势能函数U;令d（Et+U）=0 .求出广义质量和刚度k求出0n = I11，进一步求出 T何生之1r23.5、 （1）写出系统的动能函数和势能函数（4分）；（2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵（4分）；求出系统振型矩阵，画出振型图（4分）。（3）求出系统的固有频率（4分）；（4）令 I1 = 1 2 = 1 ,kr1 = kr2 = kr1)2)2-1卜113)3 - 5 kr2n24)振型矩阵:U1=振型图（略）0.6181-0.6183.3（1）求系统的质量矩
19、阵和刚度矩阵和频率方程（3）求系统的振型，并做图（5分）分）；（2）求出固有频率（5分）；频率方程:即:固有频率:12振型矩阵:振型图（略）、填空题-1c c 2 m2 -2 一 k-1(3- -2m)2(2- 2m) -2(3kk=(2-、.2)k mr2 -1-11 10,414-0.414(四)（本题15分，每空1分）3-k=(2 - 2)一 m1 1 -0.4141、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）:（自由振动）和强迫振动。2、周期运动的最简单形式是（ 简谐运动）,它是时间的单一（正芨）或（金宦）函数。3、单自由度系统无阻尼自由振动
20、的频率只与（ 厦黄）和（皿）有关，与系统受到的 激励无关。4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。5、工程上分析随机振动用（ 数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括 均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（ 频响函数）函数是一对傅里叶 变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。二、简答题（本题40分）1、什么是机械振动？振动发生的内在原因是什么？外在原因是什么？（7分）答：机械振动是指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。（3分）振动发生的内在原因是机械或结构具有在振动时储存动能和势
21、能，而且释放动能和势能并能使动能和势能相互转换的能力。（2分）外在原因是由于外界对系统的激励或者作用。（2分）2、从能量、运动、共振等角度简述阻尼对单自由度系统振动的影响。（12 分）答：从能量角度看，阻尼消耗系统的能力，使得单自由度系统的总机械能越来越小；（2分）从运动角度看，当阻尼比大于等于1时，系统不会产生振动，其中阻尼比为1的时候振幅衰减最快（4分）；当阻尼比小于1时，阻尼使得单自由度系统的振幅越来越小，固有频率降低，阻尼固有频率 Sd =8nj1* ； q分）共振的角度看，随着系统能力的增加、增幅和速度增加，阻尼消耗的能量也增加，当阻尼消耗能力与系统输入能量平衡时，系统的振幅不会再增
22、加，因此在有阻尼系统的振幅并 不会无限增加。（4分）3、简述无阻尼多自由度系统振型的正交性。（7分）答：属于不同固有频率的振型彼此以系统的质量和刚度矩阵为权正交。其数学表达为：-T 一_ _Us MUr=0 J如果当r * s时，8 r l 8 s则必然有lus Kur = 0 04、用数学变换方法求解振动问题的方法包括哪几种？有什么区别？（7分）答：有傅里叶变换方法和拉普拉斯变换方法两种。（3分）前者要求系统初始时刻是静止的，即初始条件为零；后者则可以计入初始条件。（4分）5、简述刚度矩阵K中元素kj的意义。（7分）答：如果系统的第j个自由度沿其坐标正方向有一个单位位移， 其余各个自由度的位
23、移 保持为零，为保持系统这种变形状态需要在各个自由度施加外力，其中在第i个自由度上施加的外力就是kij 。三、计算题（45分）3.1、 （12分）如图1所示的扭转系统。系统由转动惯量I、扭转刚度由KK2、K3组成。1）求串联刚度K1与K2的总刚度（3分）2）求扭转系统的总刚度（3分）3）求扭转系统的固有频率（6分）。图13.2、 （14分）如图所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴的转动惯量为 I,轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体，绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。半径 与a均已知。1)2)2)写出系统的动能函数和势能函数;求系统的运动方程；求出系统的固有频率。（4分）（5分）
24、图2（5分）3.3、 （19分）图2所示为3自由度无阻尼振动系统，kt1 =kt2 = R3 =kt4 =k ,I1 = I2/5 = I3 = I。1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程；（6分）2）求出固有频率；（7分）3）求系统的振型，并做图。（6分）3.1 解：1）串联刚度K1与&的总刚度:K 12K1K2K1 K22）系统总刚度:KKK33）系统固有频率:（也可用能量法，求得系统运动方程，即可得其固有频率3.2解：取轮的转角e为坐标，顺时针为正，系统平衡时e=0,则当轮子有e转角时，系统有:eT Ji 才 1p（iR）2 J（i PR2尸2 I22 g2g1. 2U =和甸2由任丁
25、 乜0=0可知：（I +PR2财 +ka2e =0g2o j PR2,、即： f ka (rad/s )，故 T _空 _2“Jg (s)iPR73.3解：1）以静平衡位置为原点，设g gIlj2/3的位移仇,仇,仇为广义坐标，画出Il1213隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程:曲Ku 电(4一方)=0I! ,力 kt 2( t2 - n) kt3 (T2 -飞)=0 购 kt3(N - ) - kt4飞=0所以:-Ii0Im = 0 I20 0kt1 +%k = kt2. 001000 =I 0 4 0I3 j J0 0 1j-kt2kt 2kt 30 一2kt3= k1*3kt3+k
26、t4_0峋系统运动微分方程可写为：im h2dq 1=0眄 MJ(a)或者采用能量法：系统的动能和势能分别为EtMA21.21.Ukt1 F二 kt 2( X22-W)2 +；kt3(0 -a)2 +2kt48321. 21, 212= 2(廿12(kt2K3尸2/3飞4尸3-52 -旧3求偏导也可以得到 M K卜r； Iiu修,1.u1 .，代入(a)可得:丑=U2 COS tNU32）设系统固有振动的解为：Ui(b)1 I(K I-.：2 |M ) U2=0u3得到频率方程：L g2）=2k f 21_k0_k一.2 .2k _4 . I-k0_k2k _ .2I二0即:LI解得:所以:5 -17 kk)I2 ,2m、,二3 f5+17x k)I(c)将（c）代入（b）可得:2k-(I-k5 _ .1742k -(-k-k2k -(一44 I川U32k-k-k2k4I-k2k 一4uu1u2 =0U32224_2_2_(.) =(2k - 2I)(4I2 4 -10kI .2k2) =0解得:之1:1.78:1 ；U11:U21:u”1:江：1) 4U12 ： U22 ： u32 & -1： 0:1 ;Ui3 ： U23 ： U33 fc1： -0.28:1 ；(或 or U1 - 1:江：1)系统的三阶振型如图:1.78