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1、极限与连续知识点1极限1) 定义：lim a. =A =nsclim f (x) = A =x厂lim f(x)=A= JXo2) 存在性判定：左右极限：lim f(x)=Au夹逼TH : 单调有界TH : 3) 极限的性质：唯一性：局部有界性：局部保号性：4) 极限的计算方法与技巧四则运算：复合函数的极限：lim f(x) = f (lim (x)的条件： xoxo等价量替换：(记忆常用替换公式)L Hospital 法则：利用重要极限(记忆重要极限及变式)利用夹逼TH积分法一些技巧：通分、有理化、分子分母同除一个量、提因式、利用对数恒等式将指数拿下来)5) 无穷小量f(x )=o (1 芬
2、 f( x)(g (x)牛 f (x)与 g(x)同阶二 f(x)LI g(x)二 无穷小量的性质:2连续1) 定义f(X)在Xo处连续二2) 连续的判别左、右极限与f(Xo)的关系：初等函数的连续性：复合函数的连续性判别：反函数与原函数连续性的关系： 3) 间断点的判别：利用左、右极限与f(Xo)的关系4 )连续函数的性质f ( X戶C a, b匸最值TH : 介值TH : 零点存在TH : 题型1算法lim(n+耳n _ni1 2x 卜8) lim -) =n1 1 1nmu -尹1-評川(利二2x -1 X -2TX * X 1 X X、2x 7-3四仮-1二设 n 为正整数，(lnx)
3、n =： (cos ), (x 1)；2(、一 x -1)x 50 3x 1 二： (ln x)n), (xr 1)，则 n =若:若:(2x)X2La(x-1) b(x-1)2, (x 1)，则 a,b 为2x - x 亠 1lim( 2ax -b) = 0，则 a,b 为若:2x2 +ax +b limx z x 1=3，贝U a,b为；lim 1 xsin11 3x =X2判别极限存在性、连续性、间断sin ax,x 0设 f(x)= X，Xm0f(x)存在，则 a =x2,x 兰0sin ax 小,x ： 0x设 a,b 0,且 f (x)=2, x=0 在R上连续，则a,b为1(1
4、bx)X,x 0XXa -b设 a,b 0; a, b =1 , f (x)厂X 0，判断x = 0的类型i 0,x = 0找出间断点，并判别类型t X. . Xe f(xrt .叶 x；t 八-e -ef (x)二 lim( x _1)arctann_sc3证明1 )设 * 满足：0 ：2，xn+=族+2，证：匹Xn存在，并求值2)已知:f (X)二2x门x式0X ，判别lim f (x)， lim f (x)的存在性 X 屮I 1, x = 0113 )设 f (x) C0,1, f (0) = f(1)，证明:X。 0,，使 f(x。)= f(X。 一)22练习判别下列极限的存在性1)
5、l i m 1 1 ，zx011 ex1.1 sin , xx x2)lim4x 厂 1 2x:0求f(x)二1 -X, 0空x乞1的间断点，并判别类型 I1 _ X ,X 1 ln x3计算：limn2 2n -2n4 2nsin x4 设 f (x) =xe tanx，则 f (x)是(A无界函数，B单调函数，C在x :下的无穷大量)25 设 f (x) = sin x , f ( (x) = 1 -x，则(x)=，定义域为f (x)二xsin(x-1 2)在哪个区间内有界 x(x -1)(x -2)A ( -1，0) B ( 0，1) C(1, 2) D ( 0, 2)设 f (x) =
6、2x 3x -2，则当设x 0 时,f (x)与x的关系是(同阶，高阶，等价) 1l i mX 亠.讨x2 xx L :1ljmj x ex)xlim n 3 . n -n - . n =10下列各式正确的是1 xA lim(1) =1，B lim (1n八1 1YI YIV二 e， C ?m(1 - ) - -e， D ?m(1) 二 eS,n为奇数11设xn = n，则当nr 时，xn是1, n为偶数nA无穷大量， B无穷小量，C有界量，D 无界量12 lim f J1 +2 +H1 + n - J1 +2 +il 1 +(n -1) 二n_13曲线f (x)1=e arctan1 x x
7、2(X 1)(x_2)的渐进线条数为14lim x -x2x厂ln(1 +丄)=x哩口一(衣一a2)ln(1 +ax)j=2(1 -16 lim |ntan=n：、 n19 设 a-，则 lim ln n 一2na2 F J n(1_2a) /1 1 120设f (x)=丄+ 一 -一一，判别间断点x = 1的类型兀x sin jtx 兀(1 x)221 lim h +1 n(1 +x) A =X jsin x22 若 lim (cosxb)=5，贝V a,b=e az21 cos x23 lim -2xT ,sin x x2xl i mx s in 2x 厂 1 x224设f (x)有连续的
8、导数，且 f (0)二b , F (x)(x) asin x,x = 0xA, x = 0在x = 0连续，贝y f(0) =； a=1亠X25设f(x) =lim 厂，判断其间断点的类型nY1 +x26设f (x) Ca,b，且f (a) 0, f (b) ： 0 ,则下列结论 错误的是A至少存在一点x (a,b)，使得f(x0厂f (a)B至少存在一点x (a,b)，使得f(x0) f(b)C至少存在一点x (a,b)，使得f (x) =0D至少存在一点x (a,b)，使得f %) =0练习答案均不存在；2x=1跳跃；3arcsin(1- x2) , 0, ,2；同阶;2 8 e ,1 ；2 ； 10A ； 11 D； 12； 1321B ； 14 -215a216e3 ；17 lna ； 18 D；2；20可去间断点；21 e2 ；1 -2a跳跃；26 D1922 a =1,b - -42324 0，b+a； 25 x =1117 设 f (x) =ax(a0,aH1)，则 lim 右f (1)f (2)川 f (n) =18 设：(x)乞 f (x) Eg(x)，且 lim (x) - g(x) =0，则 lim f (x)A存在且为0，B存在但不一定为 0， C不存在， D不一定存在