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1、2017年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.2 极值点知识导航 苏教版选修2-2.doc1.3.2 极值点 知识梳理 1.设函数f(x)在x附近有定义,_，则称f(x)是f(x)的一个极大值;如果对于00x附近的所有的点,都有_,就说f(x)是f(x)的一个_. 002.函数f(x)在x点处的导数为0,是f(x)在x处取得极值的_条件. 00.当函数f(x)在x处可导,判断f(x)为极值的方法是_;_. 3004.若x为f(x)的极小值点,则_,导数为零的点_为极值点. 0知识导学 1.函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解.y=f(x)的导数存在时,
2、f(x)=0是y=f(x)在x=x处有极值的必要条件,如果再加之x两000侧附近的导数的符号相反,才能确定在x=x处取得极值;y=f(x)在x=x处没有导数时,x=x也000可能是y=f(x)的极值点,确定y=f(x)的疑点(可能是极值点)应分为f(x)=0,f(x)不存在两类. 2.判断可导函数极值的方法 设函数y=f(x)在点x及其附近可导,且f(x)=0. 00(1)如果f(x)的符号在点x的左右由正变负,则f(x)为函数f(x)的极大值. 00(2)如果f(x)的符号在点x的左右由负变正,则f(x)为函数f(x)的极小值. 00疑难突破 导数为零的点一定是极值点吗?函数的单调性与函数的
3、极值有怎样的关系? 3确定函数的极值应从几何直观入手,导数为0的点不一定是极值点(如y=x,当x=0剖析:2时,y=3x=0)，但可导函数的极值点必须是导数为0的点. 如果函数f(x)在(a,b)内为单调函数,那么f(x)在(a,b)内没有极值,即单调函数在单调开区间内没有极值点. 典题精讲 42【例1】 求函数y=x-2x-1的极值. 思路分析:先求导数f(x),再求方程f(x)=0的根,最后检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 3解:y=4x-4x,令y=0,得x=-1,x=0,x=1. 123
4、将x，y在相应区间上y的符号关系列表如下: x (-?,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+?) y - 0 + 0 - 0 + y ? 极小值-2 ? 极大值-1 ? 极小值-2 ? 所以当x=-1时，函数有极小值-2，当x=0时，函数有极大值-1，当x=-1时，函数有极小值-2. 绿色通道:使y=0的点未必是极值点,但可导函数的极值点处导数必为0,极大(极小)值与最值是不同的概念,极大值不一定比极小值大. 3x,2变式训练:求函数y=的极值. 22(x,1)思路分析:首先判断出函数的定义域,然后步骤同例1的解析. 1 2(x,2)(x，1)解:函数定义域为(-?,1)?
5、(1,+?),?y=， 32(x,1)令y=0，得x=-1,x=2.令x变化时,y,y的变化情况如下表: 12x (-?,-1) -1 (-1,1) 1 (1,2) 2 (2,+?) y + 0 - + 0 + 3y ? ? ? 3 ? ,83故当x=-1时，y=. ,极大值8【例2】 求下列函数的极值. 3(1)f(x)=x-12x; 2-x(2)f(x)=xe; 2x(3)f(x)=-2. 2x，1思路分析:按照求极值的基本方法,首先从方程f(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值. 2解:(1)函数定义域为R.f(x)=3x-
6、12=3(x+2)(x-2). 令f(x)=0,得x=?2. ,2或x,-2时,f(x),0, 当x?函数在(-?,2)和(2,+?)上是增函数; 当-2,x,2时,f(x),0, ?函数在(-2,2)上是减函数. ?当x=-2时,函数有极大值f(-2)=16, 当x=2时,函数有极小值f(2)=-16. -x2-x-x(2)函数定义域为R.f(x)=2xe-xe=x(2-x)e, 令f(x)=0,得x=0或x=2. 当x,0或x,2时,f(x),0, ?函数f(x)在(-?,0)和(2,+?)上是减函数; 当0,x,2时,f(x),0, ?函数f(x)在(0,2)上是增函数. ?当x=0时,
7、函数取得极小值f(0)=0, 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。-2当x=2时,函数取得极大值f(2)=4e. 22(1，x),2x,2x2(1,x)(1，x),(3)函数的定义域为R.f(x)=, 2222(x，1)(x，1)令f(x)=0,得x=?1. 当x,-1或x,1时,f(x),0, ?函数f(x)在(-?,-1)和(1,+?)上是减函数; 当-1,x,1时,f(x),0, ?函数f(x)在(-1,1)上是增函数. 当x=-1时,函数取得极小值f(-1)=-3, 当x=1时,函数取得极小值f(1)=-1. 2、加强基础知识的教学，使学生切
8、实掌握好这些基础知识。特别是加强计算教学。计算是本册教材的重点，一方面引导学生探索并理解基本的计算方法，另一方面也通过相应的练习，帮助学生形成必要的计算技能，同时注意教材之间的衔接，对内容进行有机的整合，提高解决实际问题的能力。绿色通道:解答本题时,应注意f(x)=0,只是f(x)在x处有极值的必要条件,如果再加上002 x附近导数的符号相反,才能断定函数在x处取得极值,反映在解题上,错误判断极值点或漏00掉极值点是学生经常出现的失误. 2223变式训练:求函数f(x)=(x,a)在R上的极值(a,0). 思路分析:按照求极值的基本方法，考虑函数的定义域，先从方程f(x)=0求出可能的极值点，
9、然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值. 8.直线与圆的位置关系4x解:?f(x)=，令f(x)=0,得x=0. 3223x,a此外该函数定义域为R,而在x=?a处不可导, （1）一般式：因此列表时应将x=?a点考虑进去. x变化时,y、y的变化情况如下表: x (-?,-a) -a (-a,0) 0 (0,a) a (a,+?) y - + 0 - + 34y ? 0 ? ? 0 ? a4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度 (或坡比)。用字母i表示，即34由表知f(x)在x=?a处取得极小值0，在x=0处取得极大值. a8【例3】 求函数y=2x+的极值，
10、并结合单调性、极值作出该函数的图象. x（3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：思路分析:利用函数求极值的步骤:(1)先求函数的定义域;(2)求导数f(x);(3)求方程f(x)=0的根;(4)检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值. 解:函数的定义域为x?R且x?0. 增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。82,y=,令y=0，得x=?2. 2x抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。当x变化时,y、y的变化情况如下表: x (-?,-2) -2 (
11、-2,0) 0 (0,2) 2 (2,+?) y + 0 - - 0 + 同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。y ? -8 ? ? 8 ? 因此当x=-2时，y=-8. 极大值初中阶段，我们只学习直角三角形中，A是锐角的正切；图1-3-1 8当x=2时，由表易知y=2x+的草图应为图1-3-1，y=8. 极小值x绿色通道:(1)列表时应将定义域内的间断点(如x=0)考虑进去. (2)极大值不一定比极小值大,这是因为极值是相对某一区域讨论的. (3)借助函数的性质(如奇偶性、单调性、极值、周期等)研究函数图象是重要手段. 3 问题探究 问题1:极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有什么关系? 导思:可以通过导数的几何意义,直观地得出答案. 探究:曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正. 问题2:若函数f(x)在x处取得极值,则f(x)在x处一定可导吗? 00导思:导数为0的点可能为极值点,有些极值点不一定是可导的. 探究:不一定,例如f(x)=|x|在x=0处取得极小值,但f(x)=|x|在x=0处不可导. 4