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1、高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课后习题 新人教A版必修42.3.1 平面向量基本定理 一、A组 1.设e,e是同一平面内的两个向量,则有( ) 12A.e,e一定平行 12B.e,e的模相等 12C.同一平面内的任一向量a都有a=e+e(,?R) 12D.若e,e不共线,则对同一平面内的任一向量a,存在,?R,使得a=e+e 1212解析:由平面向量基本定理知,D正确. 答案:D 2.已知向量a与b的夹角为,则向量2a与-3b的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解析:?a与2a同向,b与-3b反向, ?向量2a与-3b的夹角和a与b的夹角互补, ?向量2a与-3
2、b的夹角为. 答案:C 3.在矩形ABCD中,O为对角线的交点,=5e,=3e,则=( ) 12A.(5e+3e) B.(5e-3e) 1212C.(3e-5e) D.(5e-3e) 21211 解析:如图,)=) )(5e3e) =+.12答案:A 4.若D点在?ABC的边BC上,且=4=r+s,则3r+s的值为( ) A. B. C. D. 解析:?=4=r+s, ?)=r+s, ?r=,s=-,?3r+s=3. 答案:C 5.如图,平面内的两条相交直线OP和OP将该平面分割成四个部分?,?,?,?(不包含边界).设12=m+n,且点P落在第?部分,则实数m,n满足 ( ) A.m0,n0
3、 B.m0,n0 C.m0 D.m0,n0; 方向相反,则n0. 答案:B 6.在等边三角形ABC中,O为?ABC所在平面上一点,且2,则的夹角为 . 解析:?2, ?O为BC的中点. 又?ABC为等边三角形,?AO?BC, ?的夹角为. 答案: 7.已知向量a在基底e,e下可以表示为a=2e+3e,若a在基底e+e,e-e下可表示为12121212a=(e+e)+(e-e),则= ,= . 1212解析:由条件可知解得 答案: - 8.导学号08720057设D,E分别是?ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC,若=+(,为实数),则+的值为 . 1212123 解析:如图,由题
4、意知,D为AB的中点, ? =)=-. ?=-,=. 12?+=-. 12答案:9.设e,e是两个不共线的非零向量,且a=e-2e,b=e+3e. 121212(1)证明:a,b可以作为一组基底; (2)以a,b为基底,求向量c=3e-e的分解式. 12(1)证明:假设a,b共线,则a=b(?R), 则e-2e=(e+3e). 1212由e,e不共线,得 12故a,b不共线, 所以不存在,即a,b可以作为一组基底. (2)解:设c=ma+nb(m,n?R), 则3e-e=m(e-2e)+n(e+3e) 121212=(m+n)e+(-2m+3n)e. 12所以解得 故c=2a+b. 4 10.
5、如图所示,在?ABCD中,M,N分别是DC,BC的中点,已知=c,=d,试用c,d表示. 解:在?AMD中, =c-; 在?ABN中, =d-. 则有=c,=d, 两式联立 解得d-c,c-d. 二、B组 1.已知在?ABCD中,?DAB=60?,则的夹角为( ) A.30? B.60? C.120? D.150? 解析:如图, 的夹角为120?. 5 答案:C 2.e,e为基底向量,已知向量=e-ke,=2e-e,=3e-3e,若A,B,D三点共线,则k的值是12121212( ) A.2 B.-3 C.-2 D.3 解析:?A,B,D三点共线,?共线. 又=e-ke,=e-2e, 1212
6、?e-ke=(e-2e),即?k=2. 1212答案:A 3.若=a,=b,=(?-1),则等于 ( ) A.a+b B.a+(1-)b C.a+b D.a+b 由解析:=,得=(),化简得a+b(?-1). 答案:D 4.如图,AB是?O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( ) A.a-b B.a-b C.a+b D.a+b 解析:连接CD,OD,?点C,D是半圆弧的两个三等分点, ?.?CD?AB,?CAD=?DAB=30?. 6 ?OA=OD,?ADO=?DAO=30?, ?CAD=?ADO=30?. ?AC?DO. ?四边形ACDO为平行四边形,. ?a,=b,?
7、a+b.故选D. 答案:D 5.已知非零向量a,b,c满足a+b+c=0,向量a,b的夹角为120?,且|b|=2|a|,则向量a与c的夹角为 . 解析:由题意可画出图形, 在?OAB中,?OAB=60?, 又b2a,?30? |=|?ABO=.?BOA=90?,a与c的夹角为180?-?BOA=90?. 答案:90? 6.如图所示,在?ABC中,AB=2,BC=3,?ABC=60?,AH?BC于点H,M为AH的中点,若=+,则+= . 解析:因为AB=2,BC=3,?ABC=60?,AH?BC, 所以BH=1,BH=BC. 因为点M为AH的中点, 所以) = .7 所以=,=,故+=. 答案
8、: 7.过?ABC的重心G任作一直线分别交AB,AC于点M,N,且(?0),有人说无论M,N在AB,AC上如何变动,恒有+=3成立.你认为上述说法是否正确?请说明理由. 解:题中说法是正确的. 理由:事实上,不难证明), 由于M,G,N三点共线,则存在实数m,满足=m+(1-m), 于是, 即?+=3. 8.导学号08720058如图所示,OM?AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且=x+y. (1)求x的取值范围. 对圆的定义的理解：圆是一条封闭曲线，不是圆面；(2)当x=-时,求y的取值范围. 定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对
9、的弦相等、所对的弦心距相等。8 5.二次函数与一元二次方程解:(1)因为=x+y,以OA的反向延长线和OB为两邻边作平行四边形, 由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线, 当OP长度增大且靠近OM时,x趋向负无穷大,所以x的取值范围是(-?,0). (2)如图所示,当x=-时,在OA的反向延长线上取点C, 推论1: 同弧或等弧所对的圆周角相等。使OC=OA,过C作CE?OB,分别交OM和AB的延长线于点D,E, 则CD=OB,CE=OB, 9、向40分钟要质量，提高课堂效率。函数的增减性：要使点P落在指定区域内,则点P应落在DE上,当点P在点D处时,=-, 若a0，则当x时，y随x的增大而减小。当点P在点E处时,=-, （3）二次函数的图象：是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线，二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。tanA不表示“tan”乘以“A”；所以y的取值范围是. 5.圆周角和圆心角的关系:9