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1、高中数学 课件向量加法运算及其几何意义（教学设计）向量加法运算及其几何意义教学设计 蕲春一中 胡正霞 一、内容和内容解析 本课取自普通高中课程标准实验教科书数学4(必修?人民教育出版社A版)第二章2.2.1,向量是近代数学中最基本的数学概念之一,它既是代数的对象,又是几何的对象.向量作为代数对象,可以像数一样进行运算.作为几何对象,向量有方向,可以刻画直线,平面,切线等几何对象;向量有长度,可以解决有关几何对象的长度,面积,体积等几何度量问题.向量由大小和方向两个因素确定,大小反映了向量数的特征,因此,向量是集数,形于一身的数学概念,是数学中数形结合思想的典型体现.同时也是重要的物理模型,平面
2、力场,平面位移以及二者混合产生的做功问题,都可以用向量空间来刻画和描述.向量不仅沟通了代数与几何的联系,而且体现了近现代数学的思想,它在高中数学中的重要地位是不言而喻的. 二、目标和目标解析 根据新课标的要求:培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识. 集本节教材的特点和高一学生对矢量的认知特点,我把本节课的教学目标确定为: (1)理解向量加法的意义,掌握向量加法的几何表示法,理解向量加法的运算律. (2)理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想,增强数学的应用意识. (3)培养类比、迁移、分类、归纳等能力. (4)进
3、行辩证唯物主义思想教育、数学审美教育,提高学生学习数学的积极性. 三、教学问题诊断分析 学生在上节课中学习了向量的定义及表示,相等向量,平行向量等概念,知道向量可以自由移动,这是学习本节内容的基础. 学生对数的运算了如指掌,但是,对于向量的加法运算,学生可能不明白向量可以相加的道理. 于是便产生了疑惑:向量既有大小,又有方向,难道可以相加吗,为此,我在案例设计中,首先回顾物理中位移、力的合成,让学生体验向量加法的实际含义,明确向量的加法就是物理中学过矢量的合成,在此基础上,归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则. 而向量的运算律发现并不困难,主要任务是让学生对向量进行探究,构造图形进行验
4、证. 关于例2的教学,主要是帮助学生正确理解题意,把问题转化为向量的加法运算. 四、教学支持条件分析 弹簧、橡皮筋、砝码、电脑、实物投影仪 五、教学过程 同学们,我们知道,数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷.与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢,作为既有大小又有方向的一个矢量,它的运算和实数的运算有什么区别呢,本节课我们将一起来探讨向量加法运算及其几何意义. 【环节一 复习回顾】 问题1:向量的概念、表示法.什么是平行向量,相等向量, 【设计意图】:因为学生没有学习相关知识,又考虑到本节课的教学内容,因此,只能简单地描述一下相关知识,作这个介绍,学生能够接受. 【环节二 引入】 问题
5、2:某同学从A到B,再从B按原方向到C,则两次位移的和是多少? 某同学从A到B,再从B按反方向到C,则两次位移的和是多少? 问题3:如图(多媒体投影),公元2008年7月4日实现了两岸周末“直航”包机,两岸人民正在创造着历史,书写着造福后代子孙的传奇,使“湾”路直行。由于之前大陆和台湾没有直航,因此2006年春节从台北到上海探亲,乘飞机要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和是什么, - 1 - 【设计意图】:求位移是学生在学习物理中经常遇到的问题,问题的提出可以激发学生的学习兴趣,同时体现向量的应用价值,通过学生所熟悉的位移和的求法,进一步明确本节课的探索目标,使得教学过程自然流畅.
6、 问题4:用二个互相垂直的力F=3,F=4把橡皮条拉长一定的距离OE,再撤去F,F,用一个力F作用在1212橡皮条上,使橡皮沿着相同的方向伸长相同的长度,记录F的大小和方向 结论:排除误差,可以通过实验验证,在取得相同效果的前提下,合力F的方向在以F,F的为邻边的平12行四边形的对角线上,且大小等于平行四边形的对角线的长. 【设计意图】:学生虽然具备一定的物理知识,不过对于力的合成和分解,同样是高一才开始接触,有必要安排实验让学生再次认识合力的大小和方向,学生经过直观实验的观察和分析,很自然地认识三角形法则和平行四边形法则,为向量的加法定义做铺垫.说明,如果环境不允许做这样的实验,可以通过课件
7、直观显示,结合学生在物理实验中的实验数据,让学生体会这一结果. ?结论:位移和力都可以看成向量,从物理的角度,力F和位移AC都得到相同的效果,我们把它们称为合力和合位移,从数学的角度可以把它们看成是二个向量相加.那么根据以上实验结果,我们如何定义二个向量的加法呢, 【环节三 向量加法定义的探究】 问题5:让学生讨论,怎么定义任意二个向量的和,(教师在黑板上画出二个自由向量),学生讨论以后可能会出现以下二个定义方式: A(1)已知向量,在平面内任取一点,作,则向量叫做向量的和(记作:,ABaBCb,ab,ACabab，即(这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. abABBCAC，,，,-
8、 2 - ?(2)在平面内过同一点O作OA=a,OB=b,则以向量a、b为邻边构造平行四边形OACB,则以O为起点的?对角线向量OC即a与b的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 【设计意图】:对于此环节,比较常见的处理方式是直接给出定义,事实上,学生通过引入环节的活动可以初步认识平行四边形法则和三角形法则,能调动学生的积极性,激发学生的思维,同时也让学生在比较讨论中进一步掌握二种形式的特点, 根据学生的回答,教师适当提示,启发学生注意到第一种定义方式对于二个向量不能构成平行四边形时要增加补充说明,即二向量共线时的向量和如何,教师提示学生考虑:某人从A到B,再从B按原方向到
9、C,则两次的位移和为什么, 二个向量共线时; (1) 同向: (2)反向: abba 同样也满足第一种定义方式。 【环节三 向量加法的二个运算法则】 ?例题1:如图,已知向量a、b,用三角形法则求作向量. ab，【设计意图】:此环节目的为强化巩固以上二个环节,学生通过前面学习探究,已经掌握二个运算法则的关键所在,即三角形法则的“首尾连接”和平行四边形法则中的“起点相同”,本环节系统概括、适当拓展并且利用适当的练习,帮助学生找出易错点,进一步突出重点. 1.向量加法的三角形法则:在定义中所给出的求向量和的方法就是向量加法的三角形法则 教师提示注意点: (1) 要特别注意“首尾相接”,即第二个向量
10、要以第一个向量的终点为起点,则由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量. (2) 二个向量共线时向量和也满足三角形法则 2.向量加法的平行四边形法则: 教师通过例题1示范平行四边形的作图过程,并提示注意点: (1)从两个向量的公共始点出发作和向量(即三个向量都共起点 【环节四 向量加法的运算律 】 问题6:向量的加法既然是一种运算,它应该具有一些运算律,请同学们类比实数加法运算律,猜测一下是什么, 【设计意图】: 本环节为本节课的难点,采用启发讨论式教学,让学生分组讨论,教师巡堂指导,学生在尝试证明和对比分析讨论的过程理解二个运算律 请同学们利用下图讨论如何验证, - 3 - 请
11、同学协作讨论以后写出证明过程,教师投影学生习作,并根据情况进行归纳点评. 【环节五 应用举例】 例题2 :长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输,如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以每小时5公里的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东每小时2公里. (1) 试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两位有效数字) (2) 求船实际航行的速度大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度) 【设计意图】: 例2的设计体现了数学来源于实际又应用于实际的思想,使学生学会应用数学知识、数学思想和方法解决有关问题. 【环节六 课堂练习】 1.如图:已知向量,用向量加法的三
12、角形法则作出 abab，aaaa bbbb b 2.如图,已知,用向量加法的平行四边形法则作出. abab，b b a a A5 A43.O为正六边形AAAAAA的中心，求出下列向量: 123456(1) OAOA，13O A A63(2) AAAA，2365AA 21(3) OAAA，165(4) AAAAAAAAAAAA，1223344556614.根据图示填空: ed(1)_; (2)_: ab，,cd，,E fC (3)_; abd，,cgb- 4 - A B a(4)_. abde，,C 5.根据图形填空: D c d(1)+= daO b a(2)+= cbA B 6. 求向量 =
13、_. ABDFCDBCFA，分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:课后探究练习 (1)定义：顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心.(1)在平行四边形中, ,则用表示向量的是( ) AB,ABCDADb,ab,ACDB，a43.193.25观察物体2 生活中的数1 P22-23A( B( C(0 D( aa，bb，ab，(2)在平面内能否构造三个非零向量 使 abc,abc，,00 抛物线与x轴有2个交点；课后作业:, ,(,),(,) 【环节七 小结、课后思考题】
14、问题7:通过本节课的学习你有哪些收获, （3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：【设计意图】:让学生通过小结,反思学习过程,加深对向量加法及两个法则的理解,领会并能数学思想和方法解决有关问题. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.六、目标检测设计: 8.解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形（须知一条边）。本节课采用“探究讨论”教学法.主要把教学过程分成两个步骤:第一步骤是“探究”.我所设计的问题引入、概念形成及概念深化都是采用探究的方法,将有关材料有层
15、次地提供给学生,让学生独立地去支配它,进而探索、研究它.学生通过这些“有结构”的材料进行探究,获得对向量加法的感性认识和形成各自对向量加法概念的了解.第二步骤是“研讨”,即在探究的基础上,组织学生在研讨自己在探究中的发现,通过互相交流、启发、补充、争论,使学生对向量加法的认识从感性的认识上升到理性认识,获得一定水平层次的科学概念.这节课主要是交给学生“动手做,动脑想;多训练,勤钻研.”的研讨式学习方法.这样做,增加了学生主动参与的机会,增强了参与意识,教给学生获取知识的途径和思考问题的方法.使学生真正成为教学的主体.也只有这样做,才能使学生“学”有新“思”,“思”有所“得”,“练”有所“获”.学生才会感到数学的美,会产生一种成功感,从而提高学生学习数学的兴趣;也只有这样做,才能适应素质教育下培养“创新型”人才的需要. 弦和直径： 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 直径：经过圆心的弦叫做直径。附选手简介: 胡正霞,女,1977年10月18日出生,1999年毕业于黄冈师范学院数学系,2006年考入湖北大学全日制硕士研究生,基础数学专业微分几何方向. 中学一级,教龄10年. 在ABC中，C为直角，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则有- 5 -