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1、实用文档二元一次方程组典型例题【例1】已知方程组2耳+3尸加的解x y满足方程5x-y=3 ,求k的值.31尸上+ I 【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法(1 )由已知方程组消去 k,得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出 x,y的值，最后将x, y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.(2) 把k当做已知数，解方程组，再根据 5x-y=3建立关于k的方程，便可求出 k的值.(3) 将方程组中的两个方程相加，得 5x-y=2k+11 ,又知5x-y=3 ,所以整体代入即可求出k的值.2x+3y=kr 3%-4y=k+l I.5xy=3.解法一：O得尸
2、I匚得34产-52,解得片一辛杷尸-鲁代人，得5升鲁=3, 解得好寻把尤二-一，y=一代入，得 2x-十3.(一；)二,解得 k=-4.解法二： X 3 X 2 ,得 17y=k-22 ,解得片与竽-，杷尸煤代包D,得2?虱詈)身，解i导亭-杷“书L和尸特-代入得 5xM3_*z_=3 廨得 Jc=-4.解法三： +，得 5x-y=2k+11.又由 5x-y=3 ,得 2k+11=3,解得 k=-4.【小结】解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到，有思考巧妙解法的时间， 可能这道题我们已经用一般解法解了一半了，当然，巧妙解法很容易想到的话，那就应该用巧妙解二元一次方程组能
3、力提升讲义知识提要a1x + h y = c11 .二元一次方程组,171的解的情况有以下三种：a2x +b2y =c2a. b c 当=二时，方程组有无数多解。（两个方程等效） a2 b2 C2a.bc 当=#二时，方程组无解。（两个方程是矛盾的）a2b2c2t a1b1 当 丰（即a1a2b1w0）时，方程组有唯一的解: a2 b2C1b2 -C2“ x 二（这个解可用加减消元法求得）aQ aC2& “色 y =a b2 - a242 .方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按 二元一次方程整数解的求法进行。3 .求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方
4、程组的解（把待定系数当己知数），再解 含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）例题一 、.r l5X+y=7 一4例1.选择一组a,c值使万程组11. 有无数多解，2.无解，3.有唯一ax + 2y =c的解【例2】解方程组匕5片& 【思考与分析】 本例是一个含字母系数的方程组.解含字母系数的方程组同解含字 母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否为零.解：由，得 y=4 - mx,把代入，得 2x+5 （4-mx） =8,解得（2 5m）x=-12 ,当 2 5m= 0,2即m= 5时，方程无解，则原方程组无解.2广U当25mw 0,即 m5
5、5时，方程解为3m-2钎二2一1女辿L将 52代入，得 2 TM2故当m 5时，原方程组的解为125nt-28 -8m2-5m标准文案.一 八，、一， x + y = a 一 一例3. a取什么值时，方程组 ， y的解是正数?、5x+3y =312x my 4x +4y =1例4. m取何整数值时，方程组 的解x和y都是整数?二元一次方程组的特殊解法1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把 解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了 “未 知”转化到“已知”的重要数学化归思想。2、灵活
6、消元(1)整体代入法y 1 _ x 21.解方程组4 432x-3y =1(2)先消常数法2.解方矛随第3yl1：二2(3)设参代入法 x 3y =2：13.解万程组x : y = 4 : 3： 2(4)换元法3 一q =64.解方程组2 233 x y =4x-y(5)简化系数法5.解方禾-克13；141440 ,所以建造的4道门符合安全规定答：平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表:51包买香蕉 赖于克不顺2C千克20千克以上但 不蒯过曲干克川千克 以上每千克价 格6元5元旦元张强两次共购买香蕉 50
7、千克(第二次多于第一次)，共付款 264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手.通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元.相对应的香蕉的千克数也分为三段，我们可以假设张强两次买的香蕉的千克数分别在某段范围内，利用分类讨论的方法求得张强第一次、第二次分别购买香蕉的千克数.解：设张强第一次购买香蕉 x千克，第二次购买香蕉 y千克.由题意，得0x25.当0x20, yW40时,由题意，得解f导*二）+5=264. Ijc=32当040时，由题意，得
8、解得 一（与0xW20, yW40相矛6x+4y=264.y=l8.盾，不合题意，舍去）.当20Vx25时，25y30.此时张强用去的款项为 5x+5y=5 （ x+y） =5X 50=250264 （不 合题意，舍去）.综合可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉 36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候， 一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种情况符合题意【例10】 用如图1中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2的竖式和横式两 种无盖纸盒.现在仓库里有1 0 0。张
9、正方形纸板和2000张长方形纸板，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？ 国目图1图2【思考与分析】 我们已经知道已知量有正方形纸板的总数1000,长方形纸板的总数 20 00,未知量是竖式纸盒的个数和横式纸盒的个数.而且每个竖式纸盒和横式纸盒都要用一定数量的正方形纸板和长方形纸板做成， 如果我们知道这两种纸盒分别要用多少张正方形纸板 和长方形纸板，就能建立起如下的等量关系：每个竖式纸盒要用的正方形纸板数X竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的正方形纸板数X横式纸盒个数=正方形纸板的总数每个竖式纸盒要用的长方形纸板数X竖式纸盒个数+每个横式纸盒要用的长方形纸板数X横式纸盒个数=长方形纸板的总数
10、通过观察图形，可知每个竖式纸盒分别要用1张正方形纸板和4张长方形纸板，每个横式纸盒分别要用2张正方形纸板和3张长方形纸板解：由题中的等量关系我们可以得到下面图表所示的关系T个竖式纸盒中7个横式 纸龛中合计正方形纸 板的张数Z1000长方形继 板的张数4H3000设竖式纸盒做x个，横式纸盒做y个.根据题意，得工+2尸1000, %4 3尸2000. X 4-，得 5 y=2000,解得 y=400.把 y=400 代入，得 x+800=1000 ,解得 x=200.所以方程组的解为5=200,=400 一因为200和400均为自然数，所以这个解符合题意.答：竖式纸盒做2 0 0个，横式纸盒做4。个，恰好将库存的纸板用完