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1、(WORD)-高中数学复习专题讲座(第6讲)求函数值域常用方法及值域的应用高中数学复习专题讲座(第6讲)求函数值域常用方法及值域的应用 题目 高考要求 函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一 本节主要帮 重难点归纳 (1)求函数的值域 此类问题主要利用求函数值域的常用方法配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域 (2)函数的综合性题目 此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点
2、和重点，并可以逐渐加强 (3)运用函数的值域解决实际问题 此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决 快速阅读记忆: 英语单词速记:更多资料下载: 典型题例示范讲解 例1设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为(1),画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小, 如果要求?, 小, 命题意图本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力 2334,，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最 知识依托 错解分析证明S()在区间,23 34,上的单调性
3、容易出错，其次不易 把应用问题转化为函数的最值问题来解决 技巧与方法本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决 解设画面高为x cm,宽为x cm,则x2=4840,设纸张面积为S cm2, 则S=(x+16)(x+10)=x+(16+10)x+160, 将x= 222 代入上式得S=5000+44 (8 + 5 ), 当8 = 5 ,即=( 4840 55 88 1)时S 此时高x= 2334 =88 cm, x= 5834 88=55 cm 如果?,，可设 23 ?10, 2334 ?S(1),S(2)0恒成立，试求实数a 命题意图本题主要考查函数的最小值以及
4、单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力 知识依托本题主要通过求f(x)的最值问题来求a的取值范围，体现了 转化的思想与分类讨论的思想 错解分析考生不易考虑把求a的取值范围的问题转化为函数的最值 问题来解决 技巧与方法解法一运用转化思想把f(x)0转化为关于x的二次不等式;解法二运用分类讨论思想解得 (1)当a=1 2时，f(x)=x+12x+2 +?)上为增函数， ?f(x)在区间,1，?f(x)在区间,1，+?)上的最小值为f(2)在区间,1，+?)上， f(x)=x,2x,a x 22 0恒成立 x+2x+a0 2设y=x+2x+a,x?,1,+?) ?y=x2+2x+a=(x+
5、1)2+a,1递增， ?当x=1时，ymin=3+a,当且仅当ymin=3+a0时，函数f(x)0恒成立， 故a, 解法二 f(x)=x+a x+2,x?,1,+?) 当a?0时，函数f(x)的值恒为正; 当a0时，函数f(x)0恒成立，故a, 例3设m是实数，记M=m|m1,f(x)=log3(x2,4mx+4m2+m+1m,1 (1)证明当m?M时，f(x)对所有实数都有意义;反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则m?M (2)当m?M时，求函数f(x) (3)对每个m?M,函数f(x)的最小值都不小于 (1)先将f(x)f(x)=log3,(x,2m)+m+21 m,1, 当m?M时，
6、m1,?(x,m)+m+ 故f(x)的定义域为R 21m,10恒成立， 反之，若f(x)对所有实数x都有意义，则只须x2,4mx+4m2+m+令,0,即16m2,4(4m2+m+1m,10,1 m,1),0,解得m1,故m?M (2)解析设u=x2,4mx+4m2+m+1 m,1, ?y=log3u是增函数，?当u最小时，f(x) 而u=(x,2m)+m+ 2 1m,1 , 1m,1 显然，当x=m时，u取最小值为m+此时f(2m)=log3(m+ , 1m,1 )为最小值 (3)当m?M时，m+ 1m,1 =(m,1)+ 1m,1 +1?3, 当且仅当m=2 ?log3(m+ 1m,1 1x
7、 )?log3 学生巩固练习 函数y=x2+ (x?,B1274 )的值域是( ) ,+?) CA,?, 74 322 ,+?) ,?,32 2, 函数y=x+,2x的值域是( ) A(,?,1 B(,?,1 R D,1,+?) 一批货物随17列货车从A市以V千米/小时匀速直达B市，已知两 地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于( V20 )2千米 ， 那么这批物资全部运到B市，最快需要_小时(不计货车的车身长 x2为方程4x2,4mx+m+2=0的两个实根，当m=_时， 设x1、x1+x2有最小值_ 某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产 22 品时直
8、接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)=5x, 12 x(万元)(0?x?5),其中x是产品售出的数量(单位 2 百台) (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量多少时，企业所得的利润最大, (3)年产量多少时，企业才不亏本, 已知函数f(x)=lg,(a2,1)x2+(a+1)x+1, (1)若f(x)的定义域为(,?,+?)，求实数a的取值范围; (2)若f(x)的值域为(,?,+?),求实数a 某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备 每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生 产60已知
9、生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表 值是多少,(以千元为单位) 在Rt?ABC中，?C=90?，以斜边AB所在直线为轴将?ABC旋 转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S1，?ABC的内切圆面积为S2，记 BC,CAAB =x (1)求函数f(x)= S1S2 的解析式并求f(x) (2)求函数f(x) 参考答案 解析?m1=x在(,?, 2 12 )上是减函数，m2= 12 1x 在(,?, 12 ) 上是减函数，?y=x2+ ?y=x2+ 1x12 在x?(,?,)上为减函数, 74 1x (x?,)的值域为,，+?) 答案 B 解析令,2x=t(t?0),则x2 ?y=
10、1,t2 2 2 ?值域为(,?,1 +t=, 1 (t,1)2+1?1 答案A 解析t= 400V +16( V20 )2/V= 400V + 16V400 ?2 答案8 解析由韦达定理知x1+x2=m,x1x2= m,2414 , 1716 ?x12+x22=(x1+x2)2,2x1x2=m2, m,22 =(m, )2, , 又x1,x2为实根，?0?m?,1或m?2， y=(m, 14 )2, 1716 在区间(,?,1)上是减函数，在,2，+?)上是增函 14 数，又抛物线y开口向上且以m=ymin= 为对称轴 故m=1时， 答案,1 12 解(1)利润y是指生产数量x的产品售出后的
11、总收入R(x)与其总 成本C(x) 之差，由题意，当x?5时，产品能全部售出，当x5时，只能销售500台，所以 12 125x,x,(0.5,0.25x)(0 x 5) 4.75x,x,0.5(0 x 5) 2 y= 2 1 (5 5, 52),(0.5,0.25x)(x 5) 12,0.25x (x 1) 2 (2)在0?x?5时，y=, 12 x+475x,05,当x=, 2 b2a 75(百台) 时，ymax=1078125(万元)，当x5(百台)时，y,12,0255=1075(万元)， 所以当生产475 0 x 5 x 5 或 (3)要使企业不亏本，即要求 12 12,0.25x 0
12、x,4.75x,0.5 0 2 解得5?x?475,21.5625?0 1(百台)或5,x,48(百台)时， 即企业年产量在10台到4800 解(1)依题意(a2,1)x2+(a+1)x+10对一切x?R恒成立，当a2 a 1或a ,12 a,1 0 ,即 ,1?0时，其充要条件是 ， 522 a 或a ,1 (a,1),4(a,1) 0 3 ?a,1或a 又a=,1时，f(x)=0满足题意，a=1 故a?,1或a为 53 所求 (2)依题意只要t=(a,1)x+(a+1)x+1能取到(0，+?)上的任何值，则 a2,1 052 f(x)的值域为R，故有 ,解得1,a?,又当a,1=0即a=1
13、时， 3 0 22 t=2x+1符合题意而a=,1时不合题意，?1?a? 53 为所求 解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x台、y台、z台，由 题意得 x+y+z=360 ? ? ? 12 x, 13 y, 14 z 120 x0,y0,z?60 假定每周总产值为S千元，则S=4x+3y+2z,在限制条件?之下，为求目标函数S的最大值，由?消去z,得 y=360,3x ? 将?代入?得 x+(360,3x)+z=360,?z=2x ? ?z?60,?x?30 ? 3x)+2?2x,即S=,x 由条件?及上 再将?代入S中，得S=4x+3(360,式知，当x=30时，产值S最大，最大值为 S=
14、,30+1080=1050( 得x=30分别代入?和?得y=360,90=270,z=230=60 ?每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050 解(1)如图所示设BC=a,CA=b,AB=c,则斜边AB上的高h= abc , ?S1=ah+bh= S1S2 ab c (a,b),S2 ( a,b,c 2 ), C b 2 ?f(x)= 4ab(a,b)c(a,b,c) 2 ? a 3、通过教科书里了解更多的有关数学的知识，体会数学是人类在长期生活和劳动中逐渐形成的方法、理论，是人类文明的结晶，体会数学与人类历史的发展是息息相关。a,b a,b cx
15、x 2 又 c c2 （1）二次函数的图象(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1，x2是对应一ab (x,1) a2,b2 c2 2 c B 代入?消c，得f(x2 2 7.同角的三角函数间的关系：在Rt?ABC中，有a=csinA,b=ccosA(0,A, 115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67),则 （3）圆内接四边形：若四边形的四个顶点都在同一个圆上,这个四边形叫做圆内接四边形.x= a,bc =sinA+cosA=2sin(A+ 2(x,x)x,1 2 42 )?1,x?2 化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。(2)f(x)= (3)若条件交代了某点是切点时,连结圆心和切点是最常用的辅助线.（切点圆心要相连）2(x,1), 三三角函数的计算x,1 +6, 设t=x,1,则t?(0, 2,1),y=2(t+在(0，2,1上是减函数， 2t )+6 33.123.18加与减（一）3 P13-17?当x=(2,1)+1=2时，f(x)的最小值为62+8 (3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.课前后备注