最新高中数学必修四知识点优秀名师资料.doc

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1、高中数学必修四知识点数学必修四知识点梳理 第一章 三角函数、三角恒等变换 一、角的概念的推广 ?任意角的概念 角可以看成平面的正负由角的终边的旋转方向决定，逆时针方向为正，顺时针方向为负。 lr。 三、任意角的三角函数 ?任意角的三角函数的定义 设是一个任意大小的角，的终边上任意点P的坐标是(x,y)，它与原点的距离r (，那么 ) - 1 - 1、比值 2、比值 3、比值 yrxryx 叫做的正弦，记做，即叫做的余弦，记做，即叫做的正切，记做，即 xy yrxryx 。 。 。 xy 另外，我们把比值叫做的余切，记做，即;把比值 rx 叫做的正割， 记做，即 rx ;把比值 ry 叫做的余割

2、，记做，即 ry 。 对于一个确定的角，上述的比值是唯一确定的，它们都可以看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，是以角为自变量，以比值为函数值的函数，我们把它们统称为三角函数。 ?诱导公式一 终边相同角的同一个三角函数的值相等。 ， ， ，以上k?Z。 利用此公式，可以把球求任意角的三角函数值化为求0到2角的三角函数值。 ?正弦线、余弦线、正切线 1、如图所示，设任意角的终边与单位圆交于点P(x,y) s ， 。 x,y)作PM?x轴于M，我们把线段MP，OM 了方向的有向线 过点P(段:当MP的方向与yy轴的负方向一致时，MP是负的。因此，有向线段MP的符号与点P纵坐标的符号总是 一致的

3、，且|MP|=|y|，即总有MP=y。同理也有OM=x成立。从而，我们把单位圆中规定了方向的线段MP，OM分别叫做角的正弦线、。 余弦线。 2、如图所示，过A(1,0)作x轴的垂线，交的终边OP的 延长线(当为第一、四象限角时)或这条终边的反向延 长线(当为第二、三象限角时)于点T，借助于有向线 段OA，AT，我们有 。于是，我们 把规定了方向的线段AT叫做的正切线。 特别地，当的终边在x轴上时，点A与点T重合， - 2 - ;当的终边落在y轴上时，OP与垂线平行，正切线不存在。 四、同角三角函数的基本关系 ?同角三角函数的基本关系 根据三角函数的定义，可以推导出同角三角函数间的基本关系。 由

4、三角函数定义有 y yr ， x x 2 xr ， 2 yx 。 ?r r 2222 2 rr 22 ，即。 22 ?当 即同一个角的正弦、， 余弦的平方和等于1，商等于角的正切(其中关于公式 的深化 2 2 。 ) 2 五、正弦、余弦的诱导公式 ?0?360?之间角的划分 对于任何一个0?到360?的角，以下四种情形有且仅有一种成立: ?诱导公式二 ，。 诱导公式三 诱导公式四 s ，。 ，。 以上几个诱导公式可以叙述为 :对于，则，的三角函数，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原三角函数值的符号。 也可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”。 ?诱导公式五 - 3 - ，。 ?诱导

5、公式六 ，。 可以概括为: 的正弦(余弦)函数值，分别等于的余弦(正弦)函数值，前面加 上一个把看成锐角时原函数值的符号。 也可以简单地说成“函数名改变，符号看象限”。 六、两角和与差的正弦、余弦、正切 ?两角和的正弦、余弦、正切 ，。 ?两角差的正弦、余弦、正切 ，。 此处公式较多，可熟记两角和的三个公式，两角的差可以看做，进行推导。 ?积化和差公式 (， ， ， 。 ?和差化积公式 ， 2 - 4 - ， 2， 2。 七、二倍角的正弦、余弦、正切 ?二倍角的正弦、余弦、正切 ， 。 ?公式的逆向变换及相关变形 ， ?半角公式 ， ，。 ， ， 八、正弦函数、余弦函数的图像和性质 ?正弦函数

6、、余弦函数图像的画法 1、几何法 利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图像。 2、五点法 观察正弦函数的图像，可以看出，下面五个点在确定正弦函数的形状时有重要作用: (0,0)，( )，()，( )，()。 这五点描出后，正弦函数y=sinx，x?0,2图像形状就基本确定了。 同样，(0，1)，( 2，()，(,0) 2,0)，()这五个点描出后，余弦函数 - 5 - y=cosx，x?0,2的图像形状就基本确定了。 用光滑曲线将五个点连接起来，再将这段曲线向左、向右平移，每次平移2个单位， 就得到了y=sinx，y=cosx，x?R的图像。 3、正弦曲线、余弦曲线 R和余弦函数y=cosx，x?

7、R的图像分别叫做正弦 我们把正弦函数y=sinx，x?曲线和 余弦曲线。 ?定义域、值域 ?周期性 1、一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域1、对于函数 是(它的)增区间， 是它的减区间。 2、对于函数是它的增区间， 是它的减区间。 九、函数的图像 ?A对y=Asinx的图像的影响 - 6 - 要得到函数y=Asinx(A>0，A?1)的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍，而各点的横坐标保持不变得到的。故y=Asinx(A>0，A?1，x?R)的值域是-A，A，最大

8、值为A，最小值是-A。 特别地，推广到一般的情形，函数y=A?f(x)(A>0，A?1)的图像，也可以看做y=f(x)的图像上各点保持横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍得到的。容易发现，A不会改变函数的周期，即y=f(x)若为周期函数且周期是T，则y=A?f(x)(A>0，A?1)的周期也是T。 ?对y=sinx的图像的影响 函数y=sin(>0，?1)的图像，可以看做把y=sinx的图像上所有的横坐标缩短(当>1时)或伸长(当0<<1时)到原来的 1 倍，而各点的纵坐标保持不变得到的。 y=sin(>0，?1，x?R)的值域是-1，1，但其周期由y=

9、sin的周期2改变为即y=sin(>0，?1)得周期是2的 1 ， 倍。 推广到一般的情形，将函数y=f(x)的图像上各点纵坐标保持不变，而横坐标伸长(当0<<1时)或缩短(当>1时)为原来的 1 倍，即可得到函数y=f(x)(>0，?1) T 的图像;若y=f(x)是周期函数且周期为T，则y=f(x)的周期为 。 对的图像的影响 函数的图像(其中)，可以看做把y=sinx的图像上所有的点向左(当)或向右(当时)平移个单位而得到的。由于图像仅进行了左右平移变换，故函数的最值和周期都不会发生变化。 一般地，将函数y=f(x)的图像沿x轴向左(当时)或向右(当时)平移

10、个单位，即可以得到的图像。 ?函数的图像 一般情况下，函数的图像可以用下面方法得到:先把y=sinx的图像上所有的点都沿x轴向左(当时)或向右(当)时平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短(>1)或伸长(0<<1)为原来的 1 倍(纵坐标保持不变)，最后将所有的 纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A倍(横坐标保持不变)，即可得到y=Asin( 的图像。 一般我们都是按照先平移、后缩放的程序得到变换后的图像，当然也可以先缩放、再平移，但要注意的是，应先将解析式变形为y=Asin(x+位为| )的形式，即缩放后，左右平移的单 |。 当(A>0，

11、>0)，x?0,+?时，它可以表示一个振动，则A表示振动过程中离开平衡位置的最大距离，又叫振幅;往复振动一次所需的时间叫做振动的周期(T)，T= 1T 时，相位叫做初相。 ;单位时间内振动的次数为频率f， ;叫做相位，x=0 十、正切函数的图像和性质 - 7 - 1、根据 ?正切函数的图像 ，其中x?R，且 2 ， 推出正切函数的周期为。 2、根据 sinxcosx ，要使tanx有意义，必须使cosx?0，即 2 ，故正 切函数的定义域为且。 2, 3、根据正切函数的第定义域和周期，我们取得 2 )的图像，而后向左、右扩展， 2 , 2 )的图像，而后向左、右扩展，得且 2 的图像，如

12、图，并把他叫做正切曲线。 ?正切函数的性质 1、定义域:且 。 2、值域:R，函数无最大值、最小值。 、周期: 34、奇偶性:奇函数 5、单调性:在每一开区间 , 2 ?函数 2 2 但不能说函数在是单调增函数， ，其定义域由不等式 2 得到，其周期为。 正切函数在开区间 2 2 内都是增函数，但并不在整个定义域上为 增函数，利用正切函数单调性比较两个角正切值的大小时，要利用诱导公式把角化到同一 单调区间再比较，或直接利用正切式。 正切函数的图像既可以类似地由正切线的几何方法作出，又可以类似于“五点法”用“三点两线法”作简图，这里三个点为 4 4 ，直线 2 ， - 8 - 直线2，其中。作出

13、三个点和这两条渐近线，便可得到在一个 周期上的简图。 正、余弦函数与正切函数同是中心对称图形(注意正、余弦函数同时也是轴对称图形)。函数的对称中心的坐标是 。 十一、已知三角函数值求角 ?反正弦函数的概念 1、定义: 在 2上，若，则x叫做a的反正弦，记做arcsina。 2、理解: ?“arcsina”是一个整体，它表示一个角(弧度制); ?“arcsina”表示角的范围是 ?这个角的正弦值为a; ?当|a|>1时，arcsina无意义。 ?反余弦函数的概念 1、定义 在上，若，则x叫做a的反余弦，记做arccosa。 2、理解: ?“arccosa”是一个整体，它表示一个角(弧度制)

14、; ?这个角的范围是; ?这个角的余弦值为a; ?当|a|>1时无意义。 ?反正切函数的概念 1、定义: 在 ; 2)- 9 - ?用有向线段表示向量 1、有向线段:将线段AB的端点规定一个顺序，以A为起点(也称始点)，以B为终点，则线段AB就具有了方向，即由A只想,，我们把具有方向的线段叫做有向线段，记做有向线段AB。 2、规定线段AB的长度是有向线段AB的长度，记做|AB|。 3、有向线段的三个要素:起点、方向、长度。 4、用有向线段表示向量要注意两点: ?有向线段的方向就是向量的方向; ?有向线段的长度就是向量的大小。 ?几个重要定义 1、零向量:长度为零的向量叫做零向量。记做0，

15、零向量的方向是任意的，它对应的几 何图形是一个点。 2、单位向量:长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 3、相等向量:长度相等且方向相同的非零向量叫做相等向量，记做a=b;规定所有的零 向量都相等。 4、平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，任一向量a都 与它自身是平行向量;规定零向量与任一向量是平行向量。 二、向量的加法与减法 ?向量的加法 BC=b， 1、定义:设AB=a，则向量AC叫做a与b的和，记做a+b，即a+b=AB+BC=AC。 求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 特别地，对于零向量与任一向量a，都有0+a=a+0=a。 2、向量加法的三角形法则 根

16、据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则。使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体步骤是把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示(其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，即用一个字母来表示)，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。 3、向量加法的平行四边形法则 向量加法还可以用平行四边形法则，先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则这两邻边所夹得对角线就是这两个已知向量的和。 ?向量的减法 1、相反向量:与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作-a，规定:零向量的相反向量仍是零向量。 性质?-(

17、-a)=a;?a+(-a)=(-a)+a=0 2、两个向量的差 向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a-b=a+(-b)。 3、向量的减法 求两个向量差的运算，叫做向量的减法。 a 法则:如图所示，已知a,b，在平面- 10 - 则BA=a-b。即a-b表示从减向量b的终点指向被减向量a的终点的向量。 用三角形法则求两个向量的差的步骤是:1、将两向量平移，使它们的起点重合;2、将平移后的两向量的终点相连;3、差向量是指向被减向量。也就是:作平移，共起点，两尾连，指被减。 三、实数与向量的积 ?实数与向量的积得定义 一般地，实数与向量a的积是一个向量，记为a，它的长度与方向规定如下: 1、

18、|a|=|a|; 2、当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当=0时，a=0，这时a的方向是任意的。 对于a。 1、从代数角度来看，?是实数，a是向量，它们的积任然是向量;?a=0的条件是 a=0或=0。 2、从几何的角度来看，对于长度(模)而言，?当|>1时，有|a|>|a|，这意味着表示 向量a的有向线段在原方向(>0)或反方向(<0)上伸长了|倍;?当0<|<1时，有|a|<|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(0<<1)或反方向(-1<<0)上变为原来的1 。并且我们看到

19、向量之间的数乘关系有助于解决平面几何中 平行、相似问题。 ?实数与向量的积得运算律 设，?R，a，b是向量，则 ? (a)=( )a;? (+)a=a+a; ? (a+b)=a+b。 ?向量共线的充要条件 1、当向量a=0时，a与任一向量b共线; 2、当向量a?0时，讨论向量b与a的共线问题，有下面的定理: 定理:向量b与非零向量a共线的充要条件有且只有一个实数，使得b=a。 对这个定理，要分类去理解: ? 当=0时，b=a=0，这时b与a共线，其本质是零向量与任一向量共线; ? 当>0时，b=a可由a同向伸缩得到，因此，b与a共线。 ? 当<0时，b=a可由a反向伸缩得到，所以，

20、b与a也是共线的。 值得注意的是:?这个定理的内容里面，不包含0与0共线的情况，因为a?0;?强调a?0是必要的，否则定理就失去必要性。如b?0，a=0时，b与a共线是成立的，但此时b=a是不成立的。 ?平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a=1e1+2e2。 其中，e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。 这个定理实质是:只要向量e1不平行于e2，平面内的任一向量a都可以用e1与e2表示出来，而且表示形式a=1e1+2e2是唯一的。 - 11 - 例如，0=0e1+0e2，2e1=2e1+0e2，

21、 对于a=1e1+2e2，有时我们也说1e1+2e2是e1与e2的线性组合，或者说a可以被e1，e2表示。 四、平面向量的坐标运算 ?平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面 a=xi+yj=(x，y)， b=xi+yj=(x，y)。 于是我们得到。即且平面向量的坐标运算 若，则。 若，则若a=(x,y)，则 若，则若 ，则 ，若，则 ?向量平行的坐标表示 设，则b?a(a?0)-x2y1=0。 由向量平行的充要条件易知共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0，而不是 。 凡

22、遇到与平行有关的问题时，一般要考虑运用向量平行的充要条件: ?b?(a?0，?R)。 ?b?a(a?0)-x2y1=0，其中。 - 12 - 由两点间距离公式可知: 若a=(x，y)，则，与a共线的单位向量为 |a| 五、线段的定比分点 ?线段的定比分点 定义:设P1，P2是直线l上的两点，点P是l上不同于P1，P2的任意一点，则存在一个实数，使，叫做点P分有向线段P1P2所成的比。当点P在线段P1P2上时，;当点P在线段P1P2或P2P1的延长线上时， 在这个定义中，要注意三个问题: 第一，的形式，因为对向量从来没有定义过除法。 第二，中的P1，P，P2是有顺序的，顺序从左至右排列是P1?P

23、?P2，即始点?分点?终点。 第三，中的P1，P，P2三个点互不重合，因此，从而应满足?0且?-1。 ?定比分点的坐标公式 上式称为有向线段P1P2的定比分点坐标公式(使用公式时)，要注意始点、终点的顺序性)。 ?中点坐标公式 当时，分点P为线段P1P2的中点，即有， 上式称为中点坐标公式。 五、平面向量的数量积及运算律 ?向量a与b的数量积 1、非零向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，我们把叫做a与b的数量积(或内积、点积)，记为，即。 2、零向量与任一向量的数量积 - 13 - 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 由以上定义可知，两个向量的数量积是一个实数。 ?数量积的几

24、何意义 1、b在a的方向上的投影，如图，设两个非零向量a与b的夹角为。 (B1) 1对于的情况，过B作BB1?直线OA于B1，则OB 我们把叫做向量b在a的方向上的投影。 。 对于与的夹角是0?或180?的情况，规定b在a的方向上的投影时OB，如图: 2、的几何意义 由可知，非零向量a与b的数量积的几何意义是数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos的乘积。 ?平面向量数量积运算律 已知向量a，b，c和实数，则 1、(交换律)。 2、。 3、。 值得注意的是平面向量的数量积不满足结合律，这是因为与的结果是数据，因此，与都是没有意义的。 ?向量数量积的性质 设a、b都是非零向量，

25、e是与b方向相同的单位向量，是a与e的夹角，则: 1、。 2、。 3、当a与b同向时，; 当a与b反向时，。 - 14 - ，或。 2 特别地，2 今后，可以简记为a。 4、 |a|b|。 5、。 六、平面向量数量积得坐标表示 ?平面向量数量积得坐标表示 设i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，即i=(1，0)，j=(0，1)。且a，b为 两个非零向量，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)。则，。 故 。 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 ?向量的长度和两点间距离公式 1、向量的长度(模) 若a=(x，y)，则 2、两点间的距离公式 设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

26、 则。 。 ?两向量垂直的充要条件 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)， 则。 ?两向量夹角公式的坐标表示 若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，设a与b夹角是。 由(x1，y1)(x2，y2) 且 ? ， 。 八、平移 - 15 - ?平移 弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有的点按照同一方向移动同样的长度，抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x0)。得到图形F，这一过程叫做图形的平移。 64.24.8生活中的数3 P30-35将一个图形平移，图形的形状、大小不变，只是在坐标平面内的位置发生了变tan1化。因此，平移前后，图形中那些与位置无关的量，图形上任意两点间的距离等不发生变化，而图形上各点的坐标、图形的解析式等会发生变化。 平移具有可逆性。 二次方程的两个实数根?平移公式 九年级数学下册知识点归纳设P(x，y)是图形上任一点，它在F上的对应点为,(,，y)，向量八、教学进度表，则有， 即(x，y)=(x，y)+(h，k)， （6）二次函数的图象：是以直线x=h为对称轴，顶点坐标为（h，k）的抛物线。（开口方向和大小由a来决定）这个公式叫做点的平移公式。 第一章 直角三角形边的关系使用时要注意平移前后坐标的顺序区别。 上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。- 16 -