自旋和角动量.docx

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1、.第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最后介绍了自旋的单态和三重态。 6.1 电子自旋 6.2 电子的自旋算符和自旋函数 6.3 角动量的耦合 6.4 电子的总动量矩 6.5 光谱线的精细结构 6.6 塞曼效应 6.7 自旋的单态和三重态 首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。 施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由 源射出的处于基态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场，照射到底片上。结果发现射线束方向发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明

2、氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到力的作用而发生里偏转。由于这是处于态的氢原子，轨道角动量为零，态氢原子的磁矩不可能由轨道角动量产生。这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而这种磁矩在磁场中的取向，是空间量子化的，而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为，则它在沿方向的外磁场中的势能为 （6.1.1）为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子方向所受到的力为 （6.1.2）实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于 和两个值。为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认为： 每个电子都具有自旋角动量，在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间的任意方

3、向取为方向，则 （6.1.3） 每个电子均具有自旋磁矩 ，它与自旋角动量之间的关系为 （6.1.4） 在空间任意方向上的投影只能取两个值：是玻尔磁子。 电子自旋的回转磁比率为：轨道角动量的回转磁比率为：自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。 自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速，这显然是与相对论矛盾的。电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电子自旋是电子的内禀属性，电子的自旋磁矩是内禀磁矩。电子自旋

4、具有下述属性： 它是个内禀的物理量，不能用坐标、动量、时间等变量表示； 它完全是一种量子效应，没有经典对应量。也就是说，当时，自旋效应消失。 它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取两个值。6.2 电子自旋算符和自旋函数6.3 自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。由于自旋具有角动量性质，而角动量算符满足的对易关系是： （6.2.1）在量子力学中，不要误以为角动量就是，只是轨道角动量，是角动量的一种。凡满足（6.2.1）的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足： （6

5、.2.2）写成分量形式： （6.2.3）由于自旋在空间中任意方向的投影只能取两个值。因此，任意选定坐标系后， 三个算符的本征值都是，的值都是即 （6.2.4）则的本征值为： （6.2.5）若将任何角动量平方算符的本征值记为，称为角动量量子数，则自旋角动量量子数满足： （6.2.6） 所以为方便起见，引入算符 ，令即则由（6.2.2）及（6.2.7）式得 （6.2.9）写成分量形式 （6.2.9）而的本征值为，而且 （6.2.10）定义：任意算符和的反对易关系为 （6.2.11）则 （6.2.12）同理（6.2.13） （6.2.14）现在来找特定表象下，算符的矩阵形式。由于与对易，则在它们的共

6、同表象中，的矩阵必然为 （6.2.15）这是因为 只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是的矩阵，而且在自身表象中，矩阵对角线上的元素就是它的本征值。为求出，在表象中的矩阵形式，注意到与反对易，则与也只能是矩阵。令 （6.2.16）由于是厄米矩阵，也是厄米矩阵，则 （6.2.17）则 （6.2.18）又由于则即则若取，则（6.2.19）由对易关系得 （6.2.20）综上所述 （6.2.21） （6.2.22）称为泡利矩阵。因为任何的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和三个矩阵的线性组合，所以泡利矩阵非常有用。 现在求电子自旋算符对应的波函数。在表象中，由本征函数 （6.2.23）即 （6.2.24）（6

7、.2.25）所以，的本征函数为 （6.2.26）自旋算符用矩阵表示后，自旋算符的任一波函数也可表示为的矩阵 （6.2.27）包含自旋在内的电子波函数可表示为 （6.2.28） 电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和，即 （6.2.29）由给出的几率密度为 （6.2.30）表示在时刻，在点周围单位体积内找到电子的几率。其中和分别表示在 点周围单位体积内找到自旋和的电子的几率。则算符在态中，对自旋求平均的结果是 （6.2.31）算符在态中，对坐标和自旋同时求平均的平均值为 （6.2.32）6.4 两个角动量的耦合 6.5 在同一个原子中，电子既有自旋角动量，又有轨道角动量，因此很自然的，

8、总要讨论两个角动量之间的耦合。对于多粒子体系，只要粒子具有角动量，总存在角动量之间耦合的问题。而且，有许多问题，在耦合后得出的角动量表象中讨论会更方便。1. 角动量升降算符设为轨道角动量算符,满足对易子 （6.3.1）对和的共同本征函数，的本征值是，的本征值是，和是角动量量子数和相应的分量角动量量子数。显然，在的共同表象中，和的 矩阵元分别是 （6.3.2） （6.3.3）引入算符和 ，令 （6.3.4） （6.3.5）则 （6.3.6）即 （6.3.7） （6.3.8）上式表明，也是的本征函数，本征值为，因此与最多相差一个常数，即有 （6.3.9）同理，可以证明 （6.3.10） （6.3.

9、11） （6.3.12） 和是待定的常数。为了求出和，注意到矩阵元 （6.3.13） （6.3.14）又因 （6.3.15） （6.3.16）即 （6.3.17）另外，由于 和是厄米的，所以有 （6.3.18）将（6.3.18）代入（6.3.17）得或写成 （6.3.19）即 （6.3.20）由（6.3.9），（6.3.12）及（6.3. 20），我们最后得出 （6.3.21） （6.3.22）利用这些结果，可以求出在和的共同表象中， 和的矩阵元是（6.3.23） （6.3.24）应该指出，上述各式并非只对轨道角动量成立。对于轨道角动量，就是球谐函数，对于其它角动量，虽不是球谐函数，但只要满足

10、角动量定义（6.3.1）式，并把和理解为相应的角动量平方和角动量分量的量子数，（6.3.21）（6.3.24）式恒成立。例如对电子自旋角动量，由（6.3.23）及（6.3.24）得 （6.3.25） （6.3.26）因此有这正是自旋矩阵的泡利表示。2. 无耦合表象和耦合表象 讨论两个角动量和的耦合。和既可以是自旋角动量，也可以是轨道角动量或其它角动量。按定义，应有 （6.3.27） （6.3.28）以及对易关系 （6.3.29） （6.3.30）假定和是两个独立的角动量，因此有 （6.3.31）是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个表象，称为无耦合表象。这个无耦合表象的

11、基矢必定是的共同本征矢与的共同本征矢的乘积。即若 （6.3.32） （6.3.33）则无耦合表象中的基矢是 （6.3.34）现在转而讨论耦合表象。角动量和之和是 （6.3.35）容易证明，也是角动量，也满足 （6.3.36）而且和与 等满足下述对易关系： (6.3.37)因为与向量的任何分量对易。同理 (6.3.38)另外，显然还有 (6.3.39) (6.3.40)这些对易关系表明，这四个算符两两对易，它们具有共同的正交、归一、完备、封闭的本征函数系。记相应的量子数的本征函数为，有 (6.3.41) (6.3.42)显然，总角动量量子数，它的分量量子数与有关，为了找出它们之间的关系，必须先将

12、耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢按无耦合表象的基矢展开： (6.3.43)（6.3.43）式中的系数称为矢量耦合系数或克莱布希-戈尔登系数。 以算符分别作用于（6.3.43）式两端 (6.3.44)于是有 （6.3.45）（6.3.43）可写为 （6.3.46）公式（6.3.43）或 （6.3.46）其实就是将耦合表象和无耦合表象联系起来的表象变换公式。表象变换是个幺正变换，克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换的所对应的幺正矩阵的矩阵元。我们已经找到了和之间的关系，进一步，现在来求量子数和之间的关系。 由于的最大值依次为，而且 ，因此的最大值必然是 （6.3.47

13、）当同时给定时，无耦合表象中基矢的数目是个。由于表象变换不改变基矢的数目，所以，耦合表象的基矢的数目与无耦合表象基矢的数目相等。再注意到对于确定的的取值是共个值，于是 （6.3.48）由以上两式可求得 （6.3.49）由此得出，当给定时，的可能取值为 （6.3.50）6.4 电子的总动量矩 6.5 若无自旋角动量和轨道角动量的耦合，自旋的存在并不影响能级的位置和电子的空间运动（即轨道运动），而只能将能级的简并度加倍，并在空间波函数上乘以自旋波函数。 在中心力场中，电子的自旋波函数可写为： （6.4.1）式中为自旋的本征函数，与其相应的本征值为，（自旋磁量子数）。显然上式为的共同本征函数。此时组

14、成一组完备力学量集合，相应的量子数为好量子数。 但若考虑自旋轨道耦合，则电子的哈密顿量将变为： （6.4.2）其中由于 （6.4.3）同理 （6.4.4）可见与都与哈密顿量不对易，故它们都不再是好量子数。 为了考察能与可对易的量子数，考虑总角动量 （6.4.4）由于 （6.4.5）可见，彼此之间相互对易，称为一组同时具有确定值的力学量完备集。在的共同表象中其本征函数可记为 （6.4.6）因为是的本征态，则 （6.4.7）即 （6.4.8） （6.4.9）即都是的本征态，且本征值相同，因此它们必然具有相同的量子数 。另外，因为是的本征态。有 （6.4.10）又由于 （6.4.11）则 （6.4.

15、12）即 （6.4.13） （6.4.14）记的本征值为，则由可得与对应的的本征值为，与对应的的本征值为则于是有：其共同本征函数可写为 （6.4.15）此外，是的本征态，而 （6.4.16）其中则 （6.4.17） （6.4.18）相应方程为： （6.4.19）有非零解的条件： （6.4.20）这两个根分别为： （6.4.21）写成后，可知 （6.4.22）当有 （6.4.23）则 （6.4.24）利用归一化条件，得 （6.4.25）最后得出 （6.4.26）同理，当时 （6.4.27）6.6 光谱线的精细结构6.7 作为角动量耦合计算的一个例子，本节讨论在无外场情况下，电子自旋对类氢原子的能

16、级和谱线结构的影响。 电子自旋与轨道角动量之间存在相互作用，但这种相互作用的能量和电子的动能，以及电子在核的力场中的势能相比是很小的。如果不考虑电子自旋与轨道相互作用的能量，则类氢原子的哈密顿量可写为： （6.6.1）对于类氢原子，如果不考虑核外电子对核的屏蔽，则 （6.6.2）都相互对易，它们有共同本征函数（无耦合表象） （6.6.3）其中，是自旋的本征值，是磁量子数。描写电子态的四个量子数由来确定。电子的能级有度简并。考虑电子自旋，可取两个值，因而能级的简并度为 。 以表示电子的总角动量算符。因为两两相互对易，所以，体系的定态也可用的共同本征函数来描写： （6.5.4）（6.5.4）所表示

17、的波函数是耦合表象的基矢。现在我们把自旋和轨道运动之间的相互作用能考虑进去，这个能量为： （6.5.5）于是体系的哈密顿量写为： （6.5.6）由于 （6.5.7） （6.5.8）因此，都与不对易，这时电子的态不能用量子数和来描述，或者说和不是好量子数。另一方面，由于则 （6.5.9）所以都和对易，都是好量子数。 的本征函数就是耦合表象的基矢。而的本征函数和本征值可由的本征方程 （6.5.10）求出。 由与在一般情况下，我们可以用微扰论的方法进行求解。又由于的本征值简并，须采用简并微扰论来讨论。将按的本征函数展开。考虑到与对易， 与不对易，显然用在耦合表象中的本征函数（6.5.4）展开计算时要

18、方便得多。令 （6.5.11）简并微扰的久期方程为 （6.5.12）其中 （6.5.13）而 （6.5.14）则 （6.5.15）所以（6.5.12）可化为 （6.5.16）于是有： （6.5.17）表示微扰对能量的一级修正值。注意到只与有关，而与无关，因此简并只是部分解除，仍存在对量子数的度简并。当给定后，的取值为（除外），因此，自旋轨道耦合也消除了部分简并，使原来对应于量子数的能级分裂为两个能级。由于两个能记得差别很小，从而导致了光谱线精细结构的出现 下面我们来计算类氢原子项（）的精细结构。 （6.5.18）其中则 （6.5.19） （6.5.20）其中 称为精细结构常数。 由于 是对角矩

19、阵，因此在耦合表象中的基矢就是零级波函数，用无耦合表象的波函数表示为（6.5.21）（6.5.22）从无耦合表象到耦合表象波函数的变换，也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组合，以使得在简并子空间中对应的矩阵对角化。 6.6 塞曼效应碱金属，氢原子和类氢原子核最外层电子有一个价电子。在磁场中，由于磁场对电子的作用，将使这些原子的光谱线发生分裂。具体的分裂情况与所考虑的自旋在磁场中附加能量、自旋与轨道相互作用等有关，下面分两种情况讨论。1. 简单塞曼效应 先考虑磁场的附加能量远大于自旋轨道相互作用能的情况。在这种情况下，略去自旋轨道的相互作用能。在实验室范围内，磁场近似为均匀磁场，记为。选磁场

20、方向为轴，即 （6.6.1）相应的磁矢势和标势是 （6.6.2） 设一价金属的电子在其它电子屏蔽下与原子核和库仑场为，外加磁场具有（6.6.1）的形式，则体系的哈密顿量为： （6.6.3）由于（6.8.3）式中 （6.6.4）因而（6.6.3）式右端正比于的项可以略去，得： （6.6.5）（6.6.5）式右端的第三项实际就是轨道磁矩与外磁场的相互作用能。的本征方程为： （6.6.6）式中是的共同本征函数。是本征值。显然，由于是的本征函数，因而也是的本征函数，相应的本征值为： （6.6.7）上式表明：加上磁场后，对的度简并被消除，原来的能级分裂为条能级，相邻两能级之间的间隔为，称为拉摩频率。光谱

21、线在外场中分裂的现象称为塞曼效应。上述计算并未考虑到电子的自旋。现在考虑电子的自旋，则哈密顿量变为 （6.6.8）式中。上式可写为： （6.6.9）比较（6.6.6）和（6.6.8）可见，相应的能谱是： （6.6.10） （6.6.11） 在外磁场中，能级与有关，原来有引起的简并被消除，而且，能量与自旋有关。2. 反常塞曼效应 在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合，原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或正常塞曼效应。在磁场较弱时，要考虑电子自旋轨道耦合能的贡献，这时原子光谱线的分裂现象，称为反常塞曼效应或一般塞曼效应。 结合上一节的讨论结果，考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献，我们可以得出反常塞曼效应

22、的能谱结构为： （6.6.12）6.8 自旋单态和自旋三重态6.9 本节我们讨论两个自旋都是的粒子，自旋和自旋之间的耦合。 当两个粒子体系的哈密顿算符不含自旋是，两个自旋为粒子的总的自旋波函数是每个粒子自旋波函数的乘积。 （6.7.1） 事实上，利用但个粒子的自旋波函数，可以按以下四种方式构成两个粒子的总自旋波函数： （6.7.2） （6.7.3） （6.7.4） （6.7.5）脚标表示波函数是对称的，交换两个粒子，将变为后，波函数不变号，脚标表示波函数是反对成的，交换两个粒子，将变为后，波函数反号。两个自旋为的粒子组成的体系具有三个对称的波函数，是自旋的三重态，一个反对称的波函数，是自旋单态

23、。 现在来计算耦合表象中算符和的本征值。令，则有 （6.7.6） （6.7.7）（6.7.8）又因 （6.7.9） （6.7.10） （6.7.11） （6.7.12） （6.7.13） （6.7.14）由此直接给出 （6.7.15） （6.7.16）类似有 （6.7.17） （6.7.18） （6.7.19） （6.7.20） （6.7.21） （6.7.22） 综合（6.7.15）至（6.7.22）式得出， 作用在对称波函数上时，其本征值为，若将的本征值表示为，即得总自旋角动量量子数，这正是耦合的结果。同理，将作用在反对称波函数上，其本征值为零，相应的，这时耦合的结果。说明：态各不同的。表现在作用在这些波函数上，分别得出三个不同的值。态，两个粒子的自旋都平行于轴；态两个粒子的自旋都反平行于轴；态两个粒子的自旋虽然平行，但合成后的总自旋角动量与轴垂直；态两个粒子的自旋反平行。: