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1、椭圆及其性质 22xy2mnmnmn,1.方程表示椭圆00且?,是中之较大者焦点a，,1mnmn的位置也取决于的大小。 22xy1m举例 椭圆的离心率为，则= ，,124m222mm解析:方程中4和哪个大哪个就是，因此要讨论;(?)若04,则，?，a,mc,4,mc,m,4b,4,22m,411616emmm?=，得=;综上:=3或=。 m233222巩固若方程:x+ay=a 表示长轴长是短轴长的2倍的椭圆，则a的允许值的个数是 A 1个 B .2个 C.4个 D.无数个 22xy2(椭圆关于x轴、y轴、原点对称,P(x,y)是椭圆上一点则|x|?a,|y|?b ，,122ab-c?|PF|?
2、a+c,其中F是椭圆的一个焦点,椭圆的焦点到短轴端点的距离为a椭圆的a22bb焦准距为椭圆的通经(过焦点且垂直于长轴的弦)长为2通经是过焦点最短的弦。 ca22xyab举例1 已知椭圆(0,0)的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若 ，,122abBF?BA,则称其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为 。 2222222aaacacaabb解析:|AB|=+，|BF|=，|FA|=+，在Rt?ABF中，(+)=+ 5,12222cacaae化简得: +-=0，等式两边同除以得:，解得:=。 e，e,1,02acb注:关于,，的齐次方程是“孕育”离心率的温床。 22xy3ab举例2 已知
3、椭圆(0,0)的离心率为，若将这个椭圆绕着它的右焦，,1225ab,16y点按逆时针方向旋转后，所得的新的椭圆的一条准线的方程为=，则原来椭圆的方32程是 。 16y解析:原来椭圆的右焦点为新椭圆的上焦点，在x轴上，直线=为新椭圆的上准线，32161616b故新椭圆的焦准距为，?原来椭圆的焦准距也为，于是有:= ?， 333cc3ab= ?，由?解得:=5，=3。 a5巩固1一椭圆的四个顶点为A，A，B，B，以椭圆的中心为圆心的圆过椭圆的焦点，的1122椭圆的离心率为 。 巩固2 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，2则该椭圆的离心率为 221(A) (B) (
4、C) (D) 224222xy迁移椭圆上有n个不同的点P，P，P，P，椭圆的右焦点F，数列| PF| ，,1123nn431是公差大于的等差数列，则n的最大值为 ( ) 100A(198 B(199 C(200 D(201 3.圆锥曲线的定义是求轨迹方程的重要载体之一。 22举例1已知?Q:(x-1)+y=16,动?M过定点P(-1,0)且与?Q相切，则M点的轨迹方程是: 。 解析:P(-1,0)在?Q内，故?M与?Q内切，记:M(x,y)，?M的半径是为r，则: |MQ|=4-r，又?M过点P，?|MP|=r，于是有:|MQ|=4-|MP|，即|MQ|+|MP|=4，可见M点的轨迹是以P、Q
5、为焦点(c=1)的椭圆，a=2。 22(x,1)，(y，2)举例2 若动点P(x,y)满足|x+2y-3|=5，则P点的轨迹是: A(圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 解析:等式两边平方，化简方程是最容易想到的，但不可行，一方面运算量很大，另一方面是平方、展开后方程中会出现xy项，这就给我们判断曲线类型带来了麻烦。但是，仔细观察方程后，就会发现等式左边很“象”是点到直线的距离，而等式右边则是两点间的距离的5倍;为了让等式左边变成点到直线的距离，可以两边同除以，于是有: 5|x，2y,3|22(x,1)，(y，2)=，这就已经很容易联想到圆锥曲线的第二定义了， 5522(1)(2)x,，y，
6、5只需将方程再变形为:，即动点P(x,y)到定点A(1，2)与,|23|x，y,555到定直线x+2y-3=0的距离之比为，?其轨迹为椭圆。 522巩固1 已知圆为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQC:(x，1)，y,25及点A(1,0),Q于M，则点M的轨迹方程为 . 巩固2设x、y?R，在直角坐标平面内，=(x,y+2),=(x,y-2),且|+|=8，则点 ababM(x,y)的轨迹方程为 。 提高已知A(0，7)，B(O，-7)，C(12，2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，则椭圆的另一焦点的轨迹方程为 。 迁移 P为直线x-y+2=0上任一点，一椭圆的两焦点为F(-1，0)、F(1，
7、0)，则椭圆过P12点且长轴最短时的方程为 。 4(研究椭圆上的点到其焦点的距离问题时往往用定义,会推导并记住椭圆的焦半径公式。 22xy举例1 如图把椭圆的长轴AB分成8分，过 ，,12516每个分点作,轴的垂线交椭圆的上半部分于, PPP127七个点，F是椭圆的一个焦点，则PFPFPF，,._( 127解析:P与P，P与P，P与P关于y轴对称，P在y轴上， 1726354/记椭圆的另一个焦点为F，则|PF|=|PF|，|PF|=|PF|，|PF|=|PF|， 716253/PFPFPF，,.于是|PF|+|PF|+|PF|+|PF|+|PF|+|PF|+|PF|=7a=35. 112233
8、412722x25y 举例2 已知A、B是椭圆上的两点，F是椭圆的右焦点，如果，,1222a9a83 AB的中点到椭圆左准线距离为，则椭圆的方程 . |AF|，|BF|,a,22258812,解析: =， |AF|，|BF|,aaa2a,|AF|，2a,|BF|AF，|BF|221111555记AB的中点为M ，A、B、M在椭圆左准线上的射影分别为A、B，M，由椭圆第二定111124义知:|AF|=e|AA|，|BF|=e|BB|，于是有:e(|AA|+|BB|)=，而e= a111111552325y2,?|AA|+|BB|=3a2|MM|=3a，又|MM|=，得a=1，故椭圆方程为。 x，
9、,1111129巩固1 椭圆的两焦点为F，F，以FF为一边的正三角形的另两条边均被椭圆平分，则椭圆1212的离心率为 。 22P巩固2已知F、F是椭圆的左右焦点，点是此椭圆上的一个动点，A(1,1)5x，9y,45123PA，PF为一个定点，则的最大值为 ，PA，PF的最小值为 。 122提高 过椭圆左焦点F且斜率为的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的3离心率e=_ 5(研究椭圆上一点与两焦点组成的三角形,焦点三角形,问题时常用椭圆定义及正、余弦定理。 22xyx举例已知焦点在轴上的椭圆F,F是它的两个焦点，若椭圆上存在，,1,(b,0),1224b,点P，使得，则b的取
10、值范围是 。 PF,PF,012解析:思路一:先证一个结论:若B为椭圆短轴端点，则?FPF?FBF。记?FPF=, 1212122222222(r，r),2rr,4cr，r,4c4a,4c121212,1|PF|=r, |PF|=r,cos,= 11222rr2rr2rr121212222a，a,4cr，r2212,又?()=,?cos?=cos?FBF,当且仅当r=r时等号成立， arr121212222a00即?FPF?FBF。题中椭圆上存在点P，使得?FPF=90，当且仅当?FBF?90，即 1212121222,cos?FBO?b?a=,?b?(0, .思路二:用勾股定理:r+r=2a
11、 ? 221122222222 2222r+r=4c ?,由?得:2rr=4b,又2rr?r+r ?b?c=4-b即b?(0, . 212121212PFPF思路三:用向量的坐标运算:记P(x,y),=(-c-x,-y), =(c-x,-y), 00000012,22222222222,PF=c-x+y=0(b+4)x=4(c-b),注意到:0?x?4，?0?4(c-b)?4(b+4) PF,00002122即0?4-2b?b+4，得b?(0, . 222xy巩固1椭圆的焦点为、，点P为其上的动点，当为钝角时，点P，,1，FPFFF212194横坐标的取值范围是_。 22xy巩固2已知P是椭圆
12、上一点，F和F是焦点，若?FPF=30?，则?PFF，,112121254的面积为( ) 434(2,3)4(2，3) A( B( C( D(4 36(椭圆的参数方程的重要用途是设椭圆上一点的坐标时可以减少一个变量或者说坐标本身就已经体现出点在椭圆上的特点了而无需再借助圆的方程来体现横纵坐标之间的关系,如求椭圆上的点到一条直线的距离的最值。 22xy2x,y举例若动点()在曲线上变化，则的最大值为 ( ) ，,1(b,0)x，2y24b(1)三角形的外接圆: 经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆.22,bbbb，4(0,4),，4(0,2), A( B( 44,三角形内心的性质:三
13、角形的内心到三边的距离相等. (三角形的内切圆作法尺规作图),bbbb2(,4)2(,2),2bb C( D(2 ，4410、做好培优扶差工作，提高数学及格率，力争使及格率达95%。2解析:本题可以直接借助于椭圆方程把x用y表示，从而得到一个关于y 的二次函数，再化简后即为： 这就是抛物线与x轴的两交点之间的距离公式。22配方求最值;这里用椭圆的参数方程求解:记x=2cos,y=bsin, =4cos,+ x，2y2.点与圆的位置关系及其数量特征：2bb22,2bsin=f(),f()=-4sin+2bsin+4=-4(sin-)+, sin?-1,1 ，444dr 直线L和O相离.2bbbb
14、,若0?101b4,则当，44444b,sin=1时f()取得最大值2，故选A 22xy巩固椭圆上的点到直线2x-y+3=0距离的最大值是_。 33，,194答 案 推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.225,14x4y1(巩固B， 2、巩固1，巩固2B，迁移C， 3、巩固1 ，,122521增减性：若a0，当x时，y随x的增大而增大。22222xxy2x2x2巩固2 ，提高 ，迁移 ， ，,1，,1y,1,(y,0)12165348(5）切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线.353572,x,4、巩固1 e=-1，巩固26+，提高;5、巩固1，巩2355233.确定二次函数的表达式：（待定系数法）固2 B; 6、巩固 21