最新高中数学知识点考点梳理汇总必修1-5,选修系列优秀名师资料.doc

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1、高中数学知识点考点梳理汇总(必修1-5,选修系列)高中数学知识点考点汇编 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 1.1集合 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 N表示自然数集，或表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象a与集合M的关系是，或者，两者必居其一. (4)集合的表示法 ?自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ?列举法:把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ?描述法:x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素. ?图示法:用数轴或韦恩图来表示

2、集合. (5)集合的分类 ?含有有限个元素的集合叫做有限集.?含有无限个元素的集合叫做无限集.?不含有任何元素的集合叫做空集 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 (7)已知集合 空真子集. A有个元素，则它有2n个子集，它有个真子集，它有个非空子集，它有非 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 1 (1)含绝对值的不等式的解法 (2)一元二次不等式的解法 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ?设 A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合 A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确 )叫做集合 定的数 f(x)和它对应，那么这样的对

3、应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f 2 A到B的一个函 数，记作( ?函数的三要素:定义域、值域和对应法则( ?只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数( (2)区间的概念及表示法 ?设a,b是两个实数，且，满足的实数x的集合叫做闭区间，记做a,b;满足的实 ，或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记 x,的x实数b数x的集合叫做开区间，记做(a,b);满足做a,b)，(a,b;满足的集合分别记做 ( 注意:对于集合与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须 ( (3)求函数的定义域时，一般遵循以下原则: ? ? ?f(x)是整式时，定义域是全体实数( f(x)是

4、分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数( f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合( ?对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1( ?中， ( ?零(负)指数幂的底数不能为零( ?若 f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集(?对于求复合函数定义域问题，一般步骤是:若已知 等式的定义域为a,b，其复合函数fg(x)的定义域应由不解出( ?对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论( ?由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合

5、问题的实际意义( (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的(事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值(因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同(求函数值域与最值的常用方法: ?观察法:对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值( ?配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值( ?判别式法:若函数可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程，则在时，由于x,y为实数，故必须有，从而确定函数的值域或最值( ?不等式法:利用基本不等式确定函数的值域

6、或最值( 3 ?换元法:通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值 问题( ?反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值( ?数形结合法:利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值( ?函数的单调性法( 【1.2.2】函数的表示法 (5)函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种( 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系(列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系(图 象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系( (6)映射的概念 ?设 A、B是两个集合，如果按照某种对应

7、法则f ，对于集合 A中任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它 )叫做集合 A到B的映射，记作( 对应，那么这样的对应(包括集合 A，B以及A到B的对应法则f ?给定一个集合 A到集合B的映射，且(如果元素a和元素b对应，那么我们把元素b叫做元素a的 象，元素a叫做元素b的原象( 1.3函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大(小)值 (1)函数的单调性 ?定义及判定方法 ? 为增，则为增;若为减，为减，则为增;若 为增，u 为减，则为减;若为减，为增，则为减( (2)打“?”函数 a 的图象与性质 x f(x )分别在 、 )上为增函数，分别在 、上为减函数( (3)最大(小)值定义

8、?一般地，设函数 的定义域为I，如果存在实数M满足:(1)对于任意的，都有 是函数 ; ( (2)存在，使得 ?一般地，设函数 f(那么，我们称Mf(x) 的最大值，记作 的定义域为I，如果存在实数m满足:(1)对于任意的，都有(2); 存在，使得(那么，我们称m是函数f(x)的最小值，记作( 【1.3.2】奇偶性 (4)函数的奇偶性 ?定义及判定方法 ?若函数 f(x)为奇函数，且在处有定义，则( ?奇函数在 y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反( ?在公共定义域 ?化解函数解析式; ?讨论函数的性质(奇偶性、单调性); ?画出函数的图象( 利用基本函数图象

9、的变换作图: 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象( 5 ?平移变换 左移h个单位上移k个单位右移|h|个单位下移|k|个单位 ?伸缩变换 伸缩 缩伸 ?对称变换 y轴x轴 直线原点 去掉y轴左边图象保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象 保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去 (2)识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系( (3)用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探

10、求解题途径，获得问题结果的 重要工具(要重视数形结合解题的思想方法( 第二章 基本初等函数(?) 2.1指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 (1)根式的概念 ?如果x ，且，那么x叫做a的n次方根(当n是奇数时，a的n次方根用 的n次n是偶数时，正数a的正的n n 次方根用符号0 方根是0;负数a没有n次方根( 这里n叫做根指数，当n为奇数时，当n为偶数时， (a叫做被开方数(a为任意实数; ?根式的性质:(2)分数指数幂的概念 ;当n ;当n为偶数时， ( m n?正数的正分数指数幂的意义是:且(0的正分数指数幂等于0( m n?正数的负分数指数幂的意义是:且(0a的负分数指数幂 没

11、有意义( 注意口诀:底数取倒数，指数取相反数( (3)分数指数幂的运算性质 ?(ar 6 ?(ab) r 【2.1.2】指数函数及其性质 (4)指数函数 2.2对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 (1)对数的定义 ?若a x 且，则x叫做以a为底N的对数，记作x ，其中a叫做底数，N 叫做真数( ?负数和零没有对数( ?对数式与指数式的互化:x(2)几个重要的对数恒等式 ( ，( (3)常用对数与自然对数 常用对数:lgN，即log10 N;自然对数:lnN，即logeN(其中)( 7 (4)对数的运算性质 如果 ?加法:loga ，那么 ?减法: ? MN ?数乘:nloga ?log

12、ab logbNn 且?换底公式: logbab 【2.2.2】对数函数及其性质 (5)对数函数 (6)反函数的概念 设函数 的定义域为A，值域为C，从式子中解出x，得式子(如果对于y在C ，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示x是y的函 中的任何一个值，通过式子x 8 数，函数x 叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成( (7)反函数的求法 ?确定反函数的定义域，即原函数的值域;?从原函数式?将x 中反解出; 改写成，并注明反函数的定义域( (8)反函数的性质 ?原函数 ?函数 与反函数的图象关于直线对称( 的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域( 的图象上，则P(b,a)在反函

13、数的图象上( ?若P(a,b)在原函数?一般地，函数 要有反函数则它必须为单调函数( 2.3幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数 叫做幂函数，其中x为自变量，是常数( (3)幂函数的性质 ?图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象(幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 y轴对称);是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限(?过定点:所有的幂函数在(都有定义，并且图象都通过点(1,1)( ?单调性:如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数(如果，则幂函数的图象在 y轴( 上为减函数，在第一象限内，图象无

14、限接近x轴与 ?奇偶性:当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数(当q (其中p,q互质，p和)，p是偶函数，若若 则p为奇数q为奇数时，则是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则为偶数q为奇数时， p是非奇非偶函数( ?图象特征:幂函数 在直线，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方( 补充知识二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ?一般式:?顶点式:?两根式: (2)求二次函数解析式的方法 ?已知三个点坐标时，宜用一般式( ?已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式( ?若已知抛物线与x轴有两个

15、交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 (3)二次函数图象的性质 ?二次函数f(x)更方便( 的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是2a ( 2a4a 10 ?当时，抛物线开口向上，函数在 bbb 上递减，在上递增，当 2a2a2a 时， 4a 时， ;当0时，抛物线开口向下，函数在 bbb 在当上递增，上递减， 2a2a2a 4a ( ?二次函数 当时，图象与x 轴有两个交点 ( |a| (4)一元二次方程ax 2 根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要 设一元二次方程ax 2 的两实根为x1,x2，且(令，从以下四个 b2a ?判别式:?端点函数值符号( 方面来分析此类问题:?

16、开口方向:a ?对称轴位置:x?k, ?x1?x2, ?x1,k,0 11 ?k1,x1?x2, ?有且仅有一个根x1(或x2)满足k1,x1(或x2), ，并同时考虑f(k1)=0或f(k2)=0这两种情况是否也符合 ?k1,x1,k2?p1,x2,此结论可直接由?推出( (5)二次函数 设 在闭区间p,q上的最值 ，最小值为m，令x0 f(x)在区间p,q上的最大值为M (?)当a 1 ( 2 时(开口向上) ?若 bbbb ，则?若，则?若，则 2a 2a2a2a x x x 12 ?若，则?，则 x (?)当时(开口向下) ?若 ?若 bbbb ，则?若，则?若，则 2a2a2a2a

17、x x x f f ，则?，则( 2a2a x f x 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数的零点。 2、函数零点的意义:函数点的横坐标。即: 方程 第三章 函数的应用 ，把使成立的实数x叫做函数 的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与x轴交 有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点( 3、函数零点的求法: 的零点: 1 (代数法)求方程的实数根; ? 求函数 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数? 零点( 4、二次函数的零点: 二次函数 的图象联系起来，并利用函数的性质找出 ( 2 ,)?,，方程有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个

18、零点( 13 ,)?,，方程 一个二重零点或二阶零点( ,)?,，方程ax22，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有有两相等实根(二重根)无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点( 高中数学 必修2知识点 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图 1 三视图: 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下 2 画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等 3直观图:斜二测画法 4斜二测画法的步骤: (1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴; (2).平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变; (3).画法要写好。 5 用

19、斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 (一 )空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 圆锥的表面积4 圆台的表面积球的表面积1S底 D A B C (二)空间几何体的体积 1柱体的体积 3台体的体积 底锥体的体积 上上S下下球体的体积 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义:平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 (1)平面的画法:水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成45，且横边画成邻边的2倍长(如图) (2)平面通常用希

20、腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面ABCD等。 3 三个公理: (1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面 14 0 L 公理1作用:判断直线是否在平面? C ? ? A B 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 共面直线 异面直线: 不同在任何一个平面); ? 两条异面直线所成的角?(0， 2? 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a?b; ? 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形; ? 计算中，通常把两条异面直线所成的

21、角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面来表示 a a?=A a? 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面 b ? 15 a?b 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理:一个平面 b a? ? a ? b? 2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理; (3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理:一

22、条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为:线面平行则线线平行。 符号表示: a? a ?b ?= b 作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示: ? ?b ?= b 作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1直线与平面垂直的判定 1、定义 如果直线L与平面a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2平面与平面垂直的判定 16 1、二面角的概念:

23、表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 B 2、二面角的记法:二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质 1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。 2性质定理: 两个平面垂直，则一个平面直线与方程 3.1直线的倾斜角和斜率 3.1倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0?. 2、 倾斜角的取值范围: 0?,180?. 当

24、直线l与x轴垂直时, = 90?. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角(?90?)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan ?当直线l与x轴平行或重合时, =0?, k = tan0?=0; ?当直线l与x轴垂直时, = 90?, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、 直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1?x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率: 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 3.1.2两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率

25、相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 17 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立(即如果k1=k2, 那么一定有L1?L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即 3.2.1 直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式PP 方程:直线l经过点P0(x0,y0)，且斜率为 2、直线的斜截式方程:已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b) -y1/y-y2=x-x1/x-x2 3.2.2 直线的两点式方程 (x1,x2),P2(x2,y2)其中(x11、

26、直线的两点式方程:已知两点P1 2、直线的截距式方程:已知直线l与x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程:关于x, 2、各种直线方程之间的互化。 y的二元一次方程(A，B不同时为0) 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题:两直线交点坐标 L1 :3x+4y-2=0 L1:2x+y +2=0 解:解方程组 得 x=-2，y=2 所以L1与L2的交点坐标为M(-2，2) 3.3.2 3.3.3 两点间距离 点到直线的距离公式 两点间的距离公式 1(点到直线距离公式: 点P(x0,y0)到直线

27、的距离为: 2、两平行线间的距离公式: 已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1: 18 ， ，则l1与l2的距离为 第四章 4.1.1 圆的标准方程 1、圆的标准方程:圆与方程 圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程 2、点M(x0,y0)与圆 (1)(x0 (3)的关系的判断方法: ，点在圆外 (2)，点在圆上 lt;r2，点在圆圆的一般方程 1、圆的一般方程: 2、圆的一般方程的特点: (1)?x2和y2的系数相同，不等于0( ?没有xy这样的二次项( (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了( (3)、与圆的标准方程相比较，它是一种

28、特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 4.2.1 圆与圆的位置关系 1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系( 设直线l:，圆C:，圆的半径为r，圆心 离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当时，直线l与圆C相离;(2)当时，直线l与圆C相切; (3)当时，直线l与圆C相交; 到直线的距22 4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系( 设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点: (1)当时，圆C1与圆C2相离;(2)当时，圆C1与圆C2外切; (3)当时，圆C1与圆C2相交; (4)当时，圆C

29、1与圆C2直线与圆的方程的应用 19 1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系; 2、过程与方法 用坐标法解决几何问题的步骤: 第一步:建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题; 第二步:通过代数运算，解决代数问题; 第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论( 4.3.1空间直角坐标系 1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴 上的坐标 2、有序实数组(x,y,z)，对应着空间直角坐标系中的一点 3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组(x,y,z)来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中

30、的坐标，记M(x,y,z)，x叫做点M的横坐标， 坐标。 y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖4.3.2空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点P1(x1,y1,z1)到点P2(x2,y2,z2)之间的距离公式 222 20 高中数学 必修3知识点 第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念: 在数学上，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之程序框图 1、程序框图基本概念: (一)程序构图的概念:程序框图又称流程图，是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。 一个程序框图包括

31、以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。 (二)构成程序框的图形符号及其作用 学习这部分知识的时候，要掌握各个图形的形状、作用及使用规则，画程序框图的规则如下: 1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外，大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类，一类判断框“是”与“否”两分支的判 21 断，而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断，有几种不同的结果。5、在图形符号 直到型循环结构 注意:1循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件结构来判断。因此，循环结构中一定包

32、含条件结构，但不允许“死循环”。2在循环结构中都有一个计数变量和累加变量。计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次。 22 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句 1、输入语句 (1)输入语句的一般格式 (2)输 入语句 的作用 是实现算法的输入信息功能;(3)“提示IF表示条件语句的结束。计算机在执行时，首先对IF后的条件进行判断，如果条件符合，则执行THEN后面的语句1;若条件不符合，则执行ELSE后面的语句2。 23 3、IFTHEN语句 IFTHEN语句的一般格式为图3，对应的程序框图为图4。 注意:“条件”表示判断的条件;“

33、语句”表示满足条件时执行的操作 对应的程序框图是 (2)直到型循环又称为“后测试型”循环，从UNTIL行条件的判断，如果条件不满足，继续返回执行循环体，然后再进行条件的判断，这个过程反复进行，直到某一次条件满足时，不再执行循环体，跳到LOOP UNTIL语句后执行其他语句，是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。 分析:当型循环与直到型循环的区别:(先由学生讨论再归纳) (1) 当型循环先判断后执行，直到型循环先执行后判断; 在WHILE语句中，是当条件满足时执行循环体，在UNTIL语句中，是当条件不满足时执行循环 24 1.3.1辗转相除法与更相减损术 1、辗转相除法。也叫欧几里德算法，用辗

34、转相除法求最大公约数的步骤如下: (1):用较大的数m除以较小的数n得到一个商 0，则用除数n除以余数 除数S0和一个余数R0;(2):若R0,0，则n为m，n的最大公约数;若为m，n的最大公约数;若,0，此时所得到的R0?R0得到一个商S1和一个余数R1;(3):若R1,0，则R1R1?0，则用R0除以余数R1得到一个商S2和一个余数R2; 依次计算直至即为所求的最大公约数。 2、更相减损术 我国早期也有求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。 翻译为:(1):任意给出

35、两个正数;判断它们是否都是偶数。若是，用2约简;若不是，执行第二步。(2):以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)就是所求的最大公约数。 例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 分析:(略) 3、辗转相除法与更相减损术的区别: (1)都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。 (2)从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到 1.3.

36、2秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念: f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0求值问题 f(x)=anxn+an-1xn-1+.+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+.+a1)x+a0 =( anxn-2+an-1xn-3+.+a2)x+a1)x+a0 =.=(.( anx+an-1)x+an-2)x+.+a1)x+a0 求多项式的值时，首先计算最 v3=v2x+an-3 . vn=vn-1x+a0 这样，把n次多项式的求值问题转化成求n个一次多项式的值的问题。 2、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序 基本思想:插入排序的思想就是读一个，排一

37、个。将第,个数放入数组的第,个元素中，以后读入的数与已存入数组的数进行比较，确定它在从大到小的排列中应处的位置(将该位置以及以后的元素向后推移一个位置，将读入的新数填入空出 25 的位置中(由于算法简单，可以举例说明) 2、冒泡排序 基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第1个数和第2个数,大数放前,小数放后.然后比较第2个数和第3个数.直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第1个数开始,到最后第2个数. 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3进位制 1、概念:进位制是一种记数方式，用有限的

38、数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数字符号的个数称为基数，基数为n，即可称n进位制，简称n进制。现在最常用的是十进制，通常使用10个阿拉伯数字0-9进行记数。对于任何一个数，我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数57，可以用二进制表示为111001，也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39，它们所代表的数值都是一样的。 一般地，若k是一个大于一的整数，那么以k为基数的k进制可以表示为: ， 而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数 第二章 统计 2.1.1简单随机抽样 1(总体和样本 在统计学中 , 把研究对象的全体叫

39、做总体( 把每个研究对象叫做个体( 把总体中个体的总数叫做总体容量( 为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分:， ， ， 研究，我们称它为样本(其中个体的个数称为样本容量( 2(简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随 机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等)，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。 3(简单随机抽样常用的方法: (1)抽签法;?随机数表法;?计算机模拟法;?使用统计软件直接抽取。 在简

40、单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑:?总体变异情况;?允许误差范围;?概率保证程度。 4(抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号; (2)准备抽签的工具，实施抽签 26 (3)对样本中的每一个个体进行测量或调查 例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。 5(随机数表法: 例:利用随机数表在所在的班级中抽取10位同学参加某项活动。 2.1.2系统抽样 1(系统抽样(等距抽样或机械抽样): 把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。 K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模) 前提条件:总体中个体的排

41、列对于研究的变量来说，应是随机的，即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下，从不同的样本开始抽样，对比几次样本的特点。如果有明显差别，说明样本在总体中的分布承某种循环性规律，且这种循环和抽样距离重合。 2(系统抽样，即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低，实施也比较简单。更为重要的是，如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用，总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话，使用系统抽样可以大大提高估计精度。 2.1.3分层抽样 1(分层抽样(类型抽样): 先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次，然后再在各个类型或层次中

42、采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。 两种方法: 1(先以分层变量将总体划分为若干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。 2(先以分层变量将总体划分为若干层，再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列，最后用系统抽样的方法抽取样本。 2(分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体，再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体，所有的样本进而代表总体。 分层标准: (1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。 (2)以保证各层 27 整样本中各层的比例，使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。 2.2.2用样本的数字

43、特征估计总体的数字特征 1、本均值: n 、(样本标准差: n 3(用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中，这种偏差是不可避免的。 虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息。 4(1)如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变 (2)如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍 (3)一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间的应用; “去掉一个最

44、高分，去掉一个最低分”中的科学道理 2.3.2两个变量的线性相关 1、概念: (1)回归直线方程 (2)回归系数 2(最小二乘法 3(直线回归方程的应用 (1)描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系 (2)利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量x)代入回归方程对预报量(即因变量Y)进行估计，即可得 到个体Y值的容许区间。 (3)利用回归方程进行统计控制规定Y值的变化，通过控制x的范围来实现统计控制的目标。如已经得到了空气中NO2的浓度和汽车流量间的回归方程，即可通过控制汽车流量来控制空气中NO2的浓度。 4(应用直线回归的注意事项 (1)做回归分析要有实际意义; (2)回归分析前,最好先作出散点图; (3)回归直线不要外延。 第三章 概 率 3.1.1 3.1.2随机事件的概率及概率的意义 1、基本概念: 28 (1