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1、高中数学解析几何解题方法胡戈陶制作 解析几何常规题型及方法 核心考点 1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等
2、) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题 常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法):设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。 y2 典型例题 给定双曲线。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P22 的轨迹方程。 2y12y22 分析:设，。 1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得 1 两式相减得 。 2 又设中点P(x,y)，将，代入，当时得 。 ， 22
3、又代入得。 当弦P1P2斜率不存在时，其中点P(2，0)的坐标也满足上述方程。 1 胡戈陶制作 因此所求轨迹方程是 说明:本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 22 x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，F2(c,0)为焦点，。 ab (1)求证离心率; 3 (2)求的最值。 分析:(1)设，由正弦定理得3r1r2c。 得 ， 33322 (2)。 当时，最小值是2a3; 当时，最大值是。 (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法
4、是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 典型例题 抛物线方程，直线与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA?OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。 p(1)证明:抛物线的准线为1: 由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得 消去y得由 2 p，而 胡戈陶制作 故直线与抛物线总有两个交点。 (2)解:设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) ， ， 则 又 t2 又，得函数f(t)的定义域是 ， (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用
5、代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。 典型例题 已知抛物线y2=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不|AB|?2p 同的两点A、B，(1)求a的取值范围;(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求?NAB面积的最大值。 )，可以设法得到关 分析:这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即:“求范围，找不等式”。或者将a表示为
6、另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围;对于(2)首先要把?NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即:“最值问题，函数思想”。 解:(1)直线L的方程为:y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得:设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A (x1,y1),B(x2,y2)，则又y1=x1-a,y2=x2-a, 解得 3 胡戈陶制作 (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式得: p. 22 所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又?MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，所以S?即?NAB面
7、积的最大值为2P2。 222 (5)求曲线的方程问题 1(曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析:曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L:y=kx(k?0),C:y2=2px(p>0) 设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为: (2)，B(2)。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得:k2-k-1=0.解得: 抛物线C的方程为y2=x. 25所以直线L的方程为:y
8、= 2(曲线的形状未知-求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C:x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ| 的比等于常数(),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。 分析:如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是:， 由平面几何知识可知:|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得: -1)(x2+y2)- 当时它表示一条直线;当时，它表示圆。这种方法叫做直接法。 4 胡戈陶制作 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形 已
9、知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两43 点关于直线对称。 分析:椭圆上两点(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，相减得 。 又，代入得。 又由解得交点。 ，得交点在椭圆 已知直线l的斜率为k，且过点，抛物线，直线l与抛物线C有两个不同的交 点(如图)。 (1)求k的取值范围; (2)直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线相垂直。 分析:(1)直线代入抛物线方程得， 由，得。 (2)由上面方程得， 2C的焦点连线互k ，焦点为O(0,0)。 由，得， 5 胡戈陶制作 或 2 2 B:解题的技巧方面 在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我
10、们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明: (1)充分利用几何图形 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。 典型例题 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原，求22 点，若m的值。 解: 圆过原点，并且， 是圆的直径，圆心的坐标为 又，1) 21，1)在直线上， 2 ，即为所求。 22 评注:此题若不充分利用一系列几何条件:该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设P(x1，y1)、Q(x2，y2)再由和韦达定理求
11、m，将会增大运算量。 评注:此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。 二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，求此椭圆方程。 解:设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点。 22，2 由方程组消去y后得 ， 6 胡戈陶制作 由kOP，得(1) 又P、Q在直线上， ， (3) 把(1)代入，得， 即 化简后，得 (4) 由，得
12、 55，44 2b24 把(2)代入，得，解得或 31或 31 由，得，。 22 代入(4)后，解得 3x2y2 所求椭圆方程为22 评注:此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。 三. 充分利用曲线系方程 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆C1:和C2:的交点，且圆上的圆的方程。 心在直线l:解:设所求圆的方程为: ， 即其圆心为C() ， 7 胡戈陶制作 又C在直线l上，解得，代入所设圆的方程得为 所求。 评注:此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 四、充分利用椭圆的参数方程 椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利
13、用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题(这也是我们常说的三角代换法。 x2y2 典型例题 P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值ab 及此时点P的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法 ? 充分利用现成结果，减少运算过程 4、加强口算练习，逐步提高学生计算的能力。定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是:把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如 ，若的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为?，则2、第三单元“生活中的数”。通过数铅笔等活动，经历从具体情境中抽象
14、出数的模型的过程，会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 (3)边与角之间的关系：例 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。 ? 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。 22等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。x2y2 定理: 不在同一直线上的三个点确定一个圆. （尺规作图）（2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。的两个焦点，AB是经过F1的弦，若，求值例 F1、F2是椭圆259 （3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：? 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，若取得最小值，求点P的坐标。 2、100以内的进位加法和退位减法。22 九年级数学下册知识点归纳8