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1、高中数学解题思惟与思惟教学高中数学解题思维与思想导,读 数学家G,.,波利亚在怎样解题中说过:数学教学的目的在于培养学生的思维能力培养良好思维品质的途径是进行有效的训练本策略结合数学教学的实际情况从以下四个方面进行讲解: 一、数学思维的变通性, 根据题设的相关知识提出灵活设想和解题方案 二、数学思维的反思性, 提出独特见解检查思维过程不盲从、不轻信。 三、数学思维的严密性, 考察问题严格、准确运算和推理精确无误。 四、数学思维的开拓性, 对一个问题从多方面考虑、对一个对象从多种角度观察、对一个题目运用多种不同的解法。 什么”转变从而培养他们的思维能力。 思维与思想的即时性、针对性、实用性已在教
2、学实践中得到了全面验证。一、高中数学解题思维策略 第一讲,数学思维的变通性 一、概念 数学问题千变万化要想既快又准的解题总用一套固定的方案是行不通的必须具有思维的变通性善于根据题设的相关知识提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现本讲将着重进行以下几个方面的训练: ,1,善于观察 ,心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式而观察则是知觉的高级状态是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。 任何一道数学题都包含一定的数学条件和关系。要想解决它就必须依据题目的具体特征对题目进行深入的、细致的、透彻的观察然后认真思考
3、透过表面现象看其本质这样才能确定解题思路找到解题方法。 1111，？，例如求和. 1,22,33,4n(n，1)111,这些分数相加通分很困难但每项都是两相邻自然数的积的倒数且n(n，1)nn，11111111,，,，？，,1,因此原式等于问题很快就解决了。 223nn，1n，1,2,善于联想 ,联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系都是不明显的、间接的、复杂的。因此解题的方法怎样、速度如何取决于能否由观察到的特征灵活运用有关知识做出相应的联想将问题打开缺口不断深入。x，y,2,例如解方程组. ,xy,3,3这个方程指明两个数的和为这两个数的积为。由此联想到韦达定理、是一元2yx
4、2二次方程,的两个根 t,2t,3,0x,3x,1,所以或.可见联想可使问题变得简单。 ,y,1y,3,3,善于将问题进行转化 数学家G,.,波利亚在怎样解题中说过:数学解题是命题的连续变换。可见解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢,概括地讲就是把复杂问题转化成简单问题把抽象问题转化成具体问题把未知问题转化成已知问题。在解题时观察具体特征联想有关问题之后就要寻求转化关系。1111，,例如已知, (abc,0,a，b，c,0)abca，b，cb求证、三数中必有两个互为相反数。 ac恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论可以转化为:(a，b
5、)(b，c)(c，a),0思维变通性的对立面是思维的保守性即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式使思维受到限制它是提高思维变通性的极大的障碍必须加以克服。综上所述善于观察、善于联想、善于进行问题转化是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性必须作相应的思维训练。 ,二、思维训练实例 ,1, 观察能力的训练 ,虽然观察看起来是一种表面现象但它是认识事物内部规律的基础。所以必须重视观察能力的训练使学生不但能用常规方法解题而且能根据题目的具体特征采用特殊方法来解题。 222222a，b，c，d,(a,c
6、)，(b,d).例1,已知都是实数求证a,b,c,d,思路分析,从题目的外表形式观察到要证的y A(a,b) 结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似而 左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点 可采用下面巧妙而简捷的证法这正是思维变通的体现。 B(c,d)证明,不妨设A(a,b),B(c,d)如图1,2,1所示 x O 图1,22AB,(a,c)，(b,d).则 2,1 2222OA,a，b,OB,c，d, ,OAB,在中由三角形三边之间的关系知: ,当且仅当O在AB上时等号成立。OA，OB,AB222222,因此a，b，c，d,(a,c)，(b,d). ,思维障碍,很多学生看到这个不等式
7、证明题马上想到采用分析法、综合法等而此题利用这些方法证明很繁。学生没能从外表形式上观察到它与平面上两点间距离公式相似的原因是对这个公式不熟进一步讲是对基础知识的掌握不牢固。因此平时应多注意数学公式、定理的运用练习。 2222例2 已知试求的最大值。 3x，2y,6xx，y223x，2y,6x解,由,得 322y,x，3x.2 322？y,0,？,x，3x,0,？0,x,2.231922222x，y,x,x，3x,(x,3)，,又 22219222x,2,(2,3)，,4.当时有最大值最大值为 x，y？222222思路分析,要求的最大值由已知条件很快将变为一元二次函数x，yx，y1922f(x)
8、,(x,3)，,然后求极值点的值联系到这一条件既快又准地求出最大值。xy,022上述解法观察到了隐蔽条件体现了思维的变通性。 思维障碍,大部分学生的作法如下: 32222y,x，3x,由,得, 3x，2y,6x231922222？x，y,x,x，3x,(x,3)，, 222922x,3当时取最大值最大值为 ？x，y22这种解法由于忽略了这一条件致使计算结果出现错误。因此要注意审题不仅y,0能从表面形式上发现特点而且还能从已知条件中发现其隐蔽条件既要注意主要的已知条件又要注意次要条件这样才能正确地解题提高思维的变通性。 有些问题的观察要从相应的图像着手。 y 2例3 已知二次函数满足关系f(x)
9、,ax，bx，c,0(a,0),f(2，x),f(2,x)f(0.5)f(,)试比较与的大小。 x 2 O x,2f(2，x),f(2,x)思路分析,由已知条件可知在与左右等距图1,2,x,2离的点的函数值相等说明该函数的图像关于直线对称又由 2 已知条件知它的开口向上所以可根据该函数的大致 图像简捷地解出此题。 解,如图1,2,2,由 f(2，x),f(2,x)x,2知是以直线为对称轴开口向上的抛物线 f(x)x,2它与距离越近的点函数值越小。 ？2,0.5,2,？f(0.5),f(,)思维障碍,有些同学对比较与的大小只想到求出它们的值。而此题f(0.5)f(,)函数的表达式不确定无法代值所
10、以无法比较。出现这种情况的原因是没有充分挖掘已f(x)知条件的含义因而思维受到阻碍做题时要全面看问题对每一个已知条件都要仔细推敲找出它的真正含义这样才能顺利解题。提高思维的变通性。 ,2, 联想能力的训练 ,ABC，C例4 在中若为钝角则的值 tgA,tgB(A),等于1,(B)小于1,(C),大于1,(D),不能确定 ,ABC思路分析,此题是在中确定三角函数的值。因此联想到三角函数tgA,tgBtgA，tgB正切的两角和公式可得下面解法。 tg(A，B),1,tgA,tgB？，C,ABC解,为钝角.在中？tgC,0A，B，C,？C,(A，B)A、B均为锐角，且 tgA，tgB？tgC,tg,
11、(A，B),tg(A，B),0.,1,tgA,tgB ？tgA,0,tgB,0,？1,tgA,tgB,0.即tgA,tgB,1.故应选择,B, 思维障碍,有的学生可能觉得此题条件太少难以下手原因是对三角函数的基本公式掌握得不牢固不能准确把握公式的特征因而不能很快联想到运用基本公式。2例5 若 (z,x),4(x,y)(y,z),0,证明:2y,x，z.思路分析,此题一般是通过因式分解来证。但是如果注意观察已知条件的特点不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是我们联想到借助一元二次方程的知识来证题。2证明,当x,y,0时等式,(z,x),4(x,y)(y,z),02可看作是关于的一元二次方程有
12、等根的条件在进一步观察(x,y)t，(z,x)t，(y,z),0t这个方程它的两个相等实根是1,根据韦达定理就有: y,z即,12y,x，zx,y若由已知条件易得,即,显然也有.x,y,zx,y,0z,x,0,2y,x，z222a、b、c3例6 已知均为正实数,满足关系式,又为不小于的自然数求a，b,cnnnn证: a，b,c.222a、b、c思路分析,由条件联想到勾股定理,可构成直角三角形的三a，b,c边进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。 a、b、cC.C证明,设所对的角分别为A、B、则是直角A为锐角于是ab,sinA,cosA,且0,sinA,1,0,cosA,1,ccn2n2n,3
13、当时有 sinA,sinA,cosA,cosAnn22sinA，cosA,sinA，cosA,1于是有 abnn()，(),1,即, ccnnna，b,c.从而就有, 思维阻碍,由于这是一个关于自然数的命题一些学生都会想到用数学归纳法n来证明难以进行数与形的联想原因是平时不注意代数与几何之间的联系单纯学代数学几何因而不能将题目条件的数字或式子特征与直观图形联想起来。 ,3, 问题转化的训练 我们所遇见的数学题大都是生疏的、复杂的。在解题时不仅要先观察具体特征联想有关知识而且要将其转化成我们比较熟悉的简单的问题来解。恰当的转化往往使问题很快得到解决所以进行问题转化的训练是很必要的。 ,转化成容易
14、解决的明显题目 111ba，b，c,，,1,例11,已知求证a、c中至少有一abc个等于1。 思路分析,结论没有用数学式子表示很难直接证明。首先将结论用数学式子表ba,1、b,1、c,1ac示转化成我们熟悉的形式。、中至少有一个为1也就是说中至少有一个为零这样问题就容易解决了。 111？，,1,？bc，ac，ab,abc.证明, abc于是,(a,1)(b,1)(c,1),abc,(ab，ac，bc,1)，(a，b，c),0. a,1、b,1、c,1bac,中至少有一个为零即、中至少有一个为1。？思维障碍,很多学生只在已知条件上下功夫左变右变还是不知如何证明三者中至少有一个为1其原因是不能把要
15、证的结论“翻译”成数学式子把陌生问题变为熟悉问题。因此多练习这种“翻译”是提高转化能力的一种有效手段。 pp,例12 直线的方程为其中,椭圆的中心为焦点在轴上x,LEO(2，,0)Xp,022p长半轴为2短半轴为1它的一个顶点为问在什么范围内取值时椭圆上有四个A(,0)p2不同的点它们中的每一点到点的距离等于该点到直线的距离。 AL思路分析,从题目的要求及解析几何的知识可知四个不同的点应在抛物线2,y,2px,1, 是又从已知条件可得椭圆E的方程为 p2x,(2，)22,，y,14,2,因此问题转化为当方程组,1,、,2,有四个不同的实数解时求的取值范围。将,2,p代入,1,得: ,2p2x，
16、(7p,4)x，2p,0.,4,3,p确定的范围实际上就是求,3,有两个不等正根的充要条件解不等式组:,2,p2pp(7,4),4(，2),0,4,2p,p,，2,0 ,4,7p,4,0,在的条件下得 p,00,p,13.,本题在解题过程中不断地把问题化归为标准问题:解方程组和不等式组的问题。 ,逆向思维的训练 逆向思维不是按习惯思维方向进行思考而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时应考虑问题的反面从反面入手使问题得到解决。2f(1)f(2)f(3)例13,已知函数求证、中至少有一个不f(x),2x，mx，n小于1. 思路分析,反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”它也
17、是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样或以否定形式给出时一般可考虑采用反证法。证明,反证法,假设原命题不成立即、都小于1。f(1)f(2)f(3)则,f(1),1,1,2，m，n,1,3,m，n,1,f(2),1,1,8，2m，n,1,9,2m，n,7,1,18，3m，n,1,19,3m，n,17f(3),1,?, ?,11,2m，n,9?，?得,与?矛盾所以假设不成立即、中至少有一个不小于1。f(1)f(2)f(3),一题多解训练 ,由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同因而同一问题可能得到几种不同的解法这就是“一题多解”。通过一题多解训练可使学生认真观察、多
18、方联想、恰当转化提高数学思维的变通性。 第二讲,数学思维的反思性 一、概述 数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解精细地检查思维过程不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设获得独特的解决问题的方法它和创造性思维存在着高度相关。本讲重点加强学生思维的严密性的训练培养他们的创造性思维。二、思维训练实例 (1),检查思路是否正确注意发现其中的错误。 xf(x),ax，,例1,已知若求,3,f(1),0,3,f(2),6,f(3)b的范围。 错误解法,由条件得 ,3,a，b,0,b3,2a，,6,2,?,?, ?2,?6,a,15?得,?2,?8b2得,?,333, 10b431
19、043?+得, ,3a，,即,f(3),.33333错误分析,采用这种解法忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数xbf(x),ax，a和b其值是同时受制约的。当取最大,小,值时不一定取最大,小,值ab因而整个解题思路是错误的。 正确解法,由题意有 f(1),a，b, ,bf(2),2a，,2,12a,2f(2),f(1),b,2f(1),f(2),解得: 33b165？f(3),3a，,f(2),f(1). 3991637,f(3),.把和的范围代入得, f(1)f(2)33在本题中能够检查出解题思路错误并给出正确解法就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识才能反思性地看问题。 222,
20、ABC，C,90:c,a，b.例2 证明勾股定理:已知在中求证 ab22Rt,ABCsinA,cosA,sinA，cosA,1错误证法,在中而ccab22222？()，(),1c,a，b.即 cc22sinA，cosA,1错误分析,在现行的中学体系中这个公式本身是从勾股定理推出来的。这种利用所要证明的结论作为推理的前提条件叫循环论证。循环论证的错误是在不知不觉中产生的而且不易发觉。因此在学习中对所学的每个公式、法则、定理既要熟悉它们的内容又要熟悉它们的证明方法和所依据的论据。这样才能避免循环论证的错误。发现本题犯了循环论证的错误正是思维具有反思性的体现。 (2),验算的训练 验算是解题后对结果
21、进行检验的过程。通过验算可以检查解题过程的正确性增强思维的反思性。 n,aa.n例3 已知数列的前项和S,2，1求 nnnnn,1nn,1n,1a,S,S,(2，1),(2，1),2,2,2.错误解法, nnn,11,1n,1错误分析,显然当时a,S,3,2,1错误原因没有注意公式11n,1a,S,Sa,S,Sn,2(n,N).成立的条件是因此在运用时必须检验时的情形。nnn,1nnn,1S(n,1),1 即:a,nSnnN(,2,)n,12222例4 实数为何值时圆与抛物线有两个公共点。y,xax，y,2ax，a,1,0212222错误解法,将圆与抛物线,联立消去y,xyx，y,2ax，a,
22、1,02122得,x,(2a,)x，a,1,0(x,0).2?, ,0,1,因为有两个公共点所以方程?有两个相等正根得,解之2a,0,2,2,a,1,0.,17a,.得 8a,0错误分析,如图2,2,1,2,2,2,显然当时圆与抛物线有两个公共点。 y y O O x x 图2,2,1 图2,2,2 要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程?有一正根、一负根,或有两个相等正根。,0,1,a,1.当方程?有一正根、一负根时得解之得 ,2a,1,0.,17222,1,a,1a,因此当或时圆与抛物线有两个公共点。x，y,2ax，a,1,0812222y,xa思考题:实数为何值时圆与抛物线 x，y,2
23、ax，a,1,02,1, 有一个公共点, ,2, 有三个公共点, ,3, 有四个公共点, ,4, 没有公共点。 养成验算的习惯可以有效地增强思维反思性。如:在解无理方程、无理不等式,对数方程、对数不等式时由于变形后方程或不等式两端代数式的定义域可能会发生变化这样就有可能产生增根或失根因此必须进行检验舍弃增根找回失根。 (3),独立思考敢于发表不同见解 受思维定势或别人提示的影响解题时盲目附和不能提出自己的看法这不利于增强思维的反思性。因此在解决问题时应积极地独立思考敢于对题目解法发表自己的见解这样才能增强思维的反思性从而培养创造性思维。 例5 30支足球队进行淘汰赛决出一个冠军问需要安排多少场
24、比赛, 解,因为每场要淘汰1个队30个队要淘汰29个队才能决出一个冠军。因此应安排29场比赛。 思,路,分,析,传统的思维方法是:30支队比赛每次出两支队应有15，7，4，2，1,29场比赛。而上面这个解法没有盲目附和考虑到每场比赛淘汰1个队要淘汰29支队那么必有29场比赛。 2例6 解方程 x,2x，3,cosx.2考察方程两端相应的函数它们的图象无交点。y,(x,1)，2,y,cosx所以此方程无解。 222例7,设是方程的两个实根则的最小值x,2kx，k，6,0,、,(,1)，(,1)是, 49(A),;(B)8;(C)18;(D)不存在 4思路分析,本例只有一个答案正确设了3个陷阱很容
25、易上当。利用一元二次方程根与系数的关系易得: ,，,2k,k，6,2222,？(,1)，(,1),2，1，,2，12,(，),2,2(，)，2, 3492,4(k,),.4449,有的学生一看到常受选择答案,A,的诱惑盲从附和。这正是思维缺乏反思性的体4现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别就能从中选出正确答案。 原方程有两个实根 ,、,？2？k,2或k,3. ？,4k,4(k，6),0,2222k,3k,2当时的最小值是8,当时的最小值是18,(,1)，(,1)(,1)，(,1)这时就可以作出正确选择只有,B,正确。 第三讲,数学思维的严密性 二、概述 在中学数学中思
26、维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则考察问题时严格、准确进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学论证的严密性是数学的根本特点之一。但是由于认知水平和心里特征等因素的影响中学生的思维过程常常出现不严密现象主要表现在以下几个方面: 概念模糊,概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念搞清概念的内涵和外延为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱产生错误。 判断错误,判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中如果概念不清很容易导致判断错误。例如“函1,x数是
27、一个减函数”就是一个错误判断。 y,()3推理错误,推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的推理出错说明思维不严密。 1例如解不等式 x,.x12解,？x,？x,1, x1x,1.,或,这个推理是错误的。在由x,？x,1,x2推导时没有讨论的正、负理由不充分所以出错。 x,1x二、思维训练实例 思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有效途径之一是查错。 (1),有关概念的训练 概念是抽象思维的基础数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”中学数学教学大纲,试行草案, 22log(3x,2x,4),log(x,3x
28、，2).例1、 不等式,22x，x，(2)(2)2错误解法, ？x，2,1,22 ？3x,2x,4,x,3x，2,32？2x，x,6,0,？x,或x,2. 232x,2x,22,x,3x，2,0错误分析,当时真数且在所求的范围内,因,2说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误表现出思维的不严密性。 2？x，2,1正确解法, ,1，131,132x,或x,xx3,2,4,033,2xx？,3，2,0？x,2或x,1, ,223xxxx3,2,4,3，2,x,或x,2,2,？x,2或x,2. 2(0,1)例2、 求过点的直线使它与抛物线仅有一个交点。
29、 y,2x(0,1)y,kx，1错误解法,设所求的过点的直线为则它与抛物线的交点为y,kx，1,2消去得: y(kx，1),2x,0.,2y,2x,22整理得,直线与抛物线仅有一个交点 kx，(2k,2)x，1,0.？11解得所求直线为 k,.？y,x，1.？,0,22错误分析,此处解法共有三处错误: k,0第一设所求直线为时没有考虑与斜率不存在的情形实际上就是承认了该直y,kx，1线的斜率是存在的且不为零这是不严密的。 第二题中要求直线与抛物线只有一个交点它包含相交和相切两种情况而上述解法没有考虑相切的情况只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。 第
30、三将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程要考虑它的判别式所以它的二次项系数不能为零即而上述解法没作考虑表现出思维不严密。 k,0,正确解法,当所求直线斜率不存在时即直线垂直轴因为过点所以即xx,0,(0,1)2轴它正好与抛物线相切。 yy,2x2当所求直线斜率为零时直线为平行轴它正好与抛物线只有一个交点。xy,1,y,2x设所求的过点的直线为则 (0,1)y,kx，1(k,0)y,kx，1,122k,.？,令解得所求,0,kx，(2k,2)x，1,0.？,22y,2x,1y,x，1.直线为 2综上满足条件的直线为: 1y,1,x,0,y,x，1. 2(2) ,判断的训练 造成判断错误的
31、原因很多我们在学习中应重视如下几个方面。 ?注意定理、公式成立的条件 数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件解题中难免出现错误。 2m例3、 实数使方程至少有一个实根。x，(m，4i)x，1，2mi,0错误解法,方程至少有一个实根 ？22 ？,(m，4i),4(1，2mi),m,20,0.m,25.或 ？m,25,错误分析,实数集合是复数集合的真子集所以在实数范围内成立的公式、定理在复数范围内不一定成立必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中造成解法错误。正确解法,设是方程的实数根则 a2
32、a，(m，4i)a，1，2mi,0, 2？a，ma，1，(4a，2m)i,0.由于都是实数 a、m2,a，ma，1,0 ？,am4，2,0,m,2.解得, x,4e,2例4,已知双曲线的右准线为右焦点,离心率,求双曲线方程。F(10,0)2a2222错解1, ？x,4,c,10,？a,40,？b,c,a,60.c故所求的双曲线方程为 22xy,1. 4060错解2,由焦点知 F(10,0)c,10,c222？e,2,？a,5,b,c,a,75. a故所求的双曲线方程为 22xy,1. 2575错解分析,这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误而造成
33、解法错误。随意增加、遗漏题设条件都会产生错误解法。 x,4正解1,设为双曲线上任意一点因为双曲线的右准线为右焦点P(x,y)e,2离心率由双曲线的定义知 F(10,0),22(x,10)，y, ,2.|x,4|整理得,22(x,2)y,1., 1648(m,0)正解2,依题意设双曲线的中心为 2,a，m,4,a,4,c,c,8,解得,则,c，m,10,m,2.c,2.,a,222所以, b,c,a,64,16,48,22(x,2)y故所求双曲线方程为, ,1.1648?注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用 我们知道: A,B如果A成立那么B成立即则称A是B的充分条件。 B,A如果
34、B成立那么A成立即则称A是B的必要条件。 A,B如果则称A是B的充分必要条件。 充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件中解题中的作用不同稍用疏忽就会出错。 x,1,x,3.例5,解不等式 错误解法,要使原不等式成立只需 ,x,10,3,x,5.,解得 x,30,2x,x,1(3),A,0A,0,A,B错误分析,不等式成立的充分必要条件是:或,B0,B,0,2A,B,x,1,0x,1,0,原不等式的解法只考虑了一种情况而忽视了另一种情况所考虑的x,3,0,x,3,0,2x,1,(x,3),情况只是原不等式成立的充分条件而不是充分必要条件其错误解法的实质是把充分条件当成了充分必要条件。 正确解法,要使原不等式成立则 ,x,1,0x,1,0,或 x,3,0,x,3,0,y 2x,1,(x,3),