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1、高中数学解题思想方法技巧全集8_小姐开门_何等轻松 你的首选资源互助社区 第8 小姐开门 何等轻松 ?计名释义 有一大汉，想进某屋. 门上并未加锁，但他久推不开，弄得满头大汗. 后面传来一位小姐轻轻的声音:“先生别推，请向后拉” 大汉真的向后一拉，果然门就轻轻地开了. 大汉奇怪地问:“这门上并没有写拉字，你怎么知道是拉门的呢,” 小姐答:“因为我看到你推了半天，门还不动，那就只有拉了” 数学上的“正难则反”就是这位小姐说的意思. 既然正面遇上困难，那就回头是岸，向反方向走去.?典例示范 【例1】 求证:抛物线没有渐近线. 【分析】 二次曲线中仅有双曲线有渐近线，什么是渐近线,人们的解释是与曲线
2、可以无限接近却又没有公共点的直线. 抛物线是否有这样的直线,我们无法直接给予证明.怎么办,“正难反收”，假定抛物线有渐近线，是否会导出不合理的结果, 2y2【证明】 不妨设抛物线方程为y=2px. 假定此抛物线有渐近线y=kx+b, ?x=, 代入直线方程，化2p2简得:ky-2py+2pb=0. ? 11,可以认为:曲线与其渐近线相切于无穷远处，即如方程?有实根y, 那么，y?,或, ,0,令y00yy02方程?化为:2pby-2py+k=0. ? 方程?应有唯一的零根, y=0代入?得:k=0. 于是抛物线的渐近线应为y=b. 这是不可能的，因为任意一条与x轴平行的直线y=b, 都和抛物线
3、有唯一公2b共点(,b), 因而y=b不是抛物线的渐近线，这就证明了:抛物线不可能有渐近线. 2p【例2】 设ABC是平面上的任意三个整点(即坐标都是整数的点)，求证:?ABC不是正三角形.、【分析】 平面上的整数点无穷无尽的多，可以组成无穷无尽个各不相同的三角形，要想逐一证明这些三角形都不是正三角形是不可能的，怎么办,正难反做 【解答】 假定?ABC为正三角形，且A(x, y), B (x, y), C (x, y)均为整点，不妨设x?x, ?11223321y,yy,y2121k=, ?直线AB的方程为: y,y,(x,x).AB11x,xx,x2121即x(y-y)-y(x-x)+xy-
4、xy=0. 点C (x, y)到AB的距离. 你的首选资源互助社区 xy,y,yx,x，xy,xy()()3213212112d, .22x,x，y,y()()212122|AB|= 但是(x,x)，(y,y)21211?S= (xy-xy)+(xy-xy)+(xy-xy). |AB|,d?ABC 3223211213312即S为有理数.另一方面， ?ABC33222S= ? |AB|,(x,x)，(y,y).?ABC 212144?|AB|?0, ?S为无理数. ? ?ABC?与?矛盾，故不存在三个顶点都是整数点的正三角形. 12【例3】 设f (x)=x+ax+a为实系数二次函数,证明:
5、| f (1)|, | f (2)|, | f (3)|中至少有一个不小于 .12211【分析】 三数中至少有一个不小于的情况有七种，而三数中“都小于”的情况只有一种，可见“正22面”繁杂，“反面”简明，也应走“正难反收”的道路. 111【解答】 假定同时有:| f (1)|、| f (2)|、| f (3)|, 那么: 2221131,1，a，a,a，a,?1212,2222,1197,4，2a，a,2a，a,? ,12122222,111917,9，3a，a,3a，a,?1212,2222,?+?: -114a+2a-9 ? 12?2: -94a+2a-7 ? 12?与?矛盾，从而结论成立
6、. 【小结】 “正难反收”中的“难”有两种含义，一是头绪繁多，所以难于处理.因为“繁”，所以“难”，处理不当即陷入“剪不断，理还乱”的困境;二是试题的正面设置，使人感到无法可求，无章可循，从而找不到破解的头绪，从而无从下手. 遇到以上这两种情况，考生即应懂得“迷途知返”，走“正难反收”的道路. 一般地说，与排列组合、概率有关的试题，往往应走“正繁则反”的道路，而一切否定式的命题，则应首选反证法.因为原命题与其逆否命题一定等价，只要推倒了命题结论的反面，正面自然顺理成章地成立.?对应训练 21.k为何值时，直线y-1=k (x-1)不能垂直平分抛物线y=x的某弦. ,2.已知、?(0, ), 且
7、sin(+)=2sin.求证:bc0, 且a、b、c成等差数列，试证明:不能组成等差数列. ,abc124.求证:抛物线y=上不存在关于直线y=x对称的两点. x,12?参考答案 1(正难反收，先解决k为何值时，直线可以垂直平分该抛物线的某弦，再求它的补 集，设弦两端点为A(x, y), B(x, y), 那么: 11222,y,xy,y1,112212,y,y,x,x,k, .,1212AB2x,xy，y,y,x121222,1k设直线l:y-1=k(x-1)垂直且平分AB, 则k=, 设AB之中点为M(x, y), ?y+y=2y, y=, 又由,AB001200k2y1,110y-1=
8、k(x-1),得x=1, 而M在抛物线内部. ，,000k2k22k11(k，2)(k,2k，2)2y0, ?-2x0 抛物线与x轴有2个交点；1)=, 此时有sin2=2sin. (,、?(0, )时，sin?0, 必有cos=1, 这与?(0, )矛盾; 22176.186.24期末总复习,(2),在(0, )内y=sinx为增函数，必sinsin0, 由条件: 2第二章 二次函数（3）当0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B，则这两个点之间的距离：sin(cos-2) +cossin=0. 6 确定圆的条件:,cossin,1.? ?cos+cos2，这是不可能的. ,2,cossin1
9、1.利用三角函数测高故?不能成立，必有bc0矛盾. ,(a,c),0.aca，c111,?不能组成等差数列. abc124.假定抛物线y=上存在关于直线y=x对称的两点A(a , b)与B (b, a). x, 你的首选资源互助社区 1,2,1?ba,2?k= -1, 知a?b. 有: AB,12,1?ab,2,1?-?:b-a =(a+b) (a-b). ?a?b, ?a+b=-2 ? 22、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。122?代入?:-2-a=. 即 a+2a+3=0. a,12a, b)，B (b, a)不存在. 此方程无实根，故所设符合题设条件的点A(四、教学重难点：12也就是抛物线y=x-1上不存在关于直线y=x对称的两点. 2