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1、标准实用2. 3p(t) = a0+&t + a2t +a3t ,ti0123f(t i)30-16表中已知的4点，可以得到四元线性方程组：a0=3a。+ a1 + a2+a3 = 0a0 +2a1 +4a2+ 8a3 = -1、a0 +3a1 +9a2+ 27a3 = 6对于四元方程组，笔算就很费事了。应该用计算机求解了，键入:A=1,0,0,0;1,1,1,1;124,8;139,27, b=3;0;-1;6, s=rref(A,b)得到 x =10 0 0 30100-20010-200011线性代数应用实例求插值多项式右表给出函数f (t)上4个点的值，试求三次插值多项式并求f (1.
2、5)的近似值。解：令三次多项式函数p(t) = % + a1t + a2t2 + a3t3过得到 a0=3,a1=2,a2=2,a3=1 ,三次多项函数为p(t) = 3 2t 2t2+t3,故 f(1.5)近似等于 p(1.5)=32(1.5)2(1.5)2 +(1.5)3 = 1.125。在一般情况下，当给出函数f(t)在n+1个点ti(i=1,2,|,n+1)上的值f(ti)时，就可以用n次多项式p(t) =a0+a1t+a2t2+| + antn对f (t)进行插值。文案大全在数字信号处理中的应用数字滤波器系统函数图1某数字滤波器结构图y数字滤波器的网络结构图实际上也是一种信号流图。它
3、的特点在于所有的相加节点都 限定为双输入相加器；另外，数字滤波器器件有一个迟延一个节拍的运算，它也是一个线 性算子，它的标注符号为zt根据这样的结 构图，也可以用类似于例 7.4的方法，求它 的输入输出之间的传递函数，在数字信号处 理中称为系统函数。图1表示了某个数字滤波器的结构图，现在要求出它的系统函数，即输出y与输入u之比。先在它的三个中间节点上标注信号的名称x1,x2,x3，以便对每个节点列写方程。由于迟延算子z -不是数，要用符号代替，所以取q=z按照图示情况，可以写出xi =qx2，2uX2X3 =X1写成矩阵形式为11X2 =-00Jq00经过移项后，系统函数W可以写成：W = x
4、/u = inv(I - Q)* P现在可以列写计算系统函数的MATLA翼序ea705,syms q%规定符号变量Q(1,2) =q; Q(2,3)=3/8*q/4; Q(3,1)=1;%给非零元素赋值Q(3,3)=0;%给右下角元素 Q (3,3 )赋值后，矩阵中未赋值元素都自动置零P=2;1/4;0% 给 P 赋值W=inv(eye(3) -Q)*P%用信号流图求传递函数的公式程序运行的结果为W = -16/( -8 3*qA2 -2*q) -2*q/( -8 3*qA2 -2*q) -2*(3*q -2)/( 5 3*qA2 2*q) 2/( 8 3*qA2 2*q) 16/( -8 3
5、*qA2 -2*q) -2*q/( -8 3*qA2 -2*q)整理后得到W(3)式=T”2qu-8 3q。2q我们关心的是以y夕3作为输出的系统函数，故再键入pretty(W(3)q 8_ z8-1.5q2 q 4 -1.5z/ z，4用线性代数方法的好处是适用于任何复杂系统，并能用计算机解决问题。信号与系统课程中的应用- 线性时不变系统的零输入响应描述n阶线性时不变(LTI )连续系统的微分方程为dny dn4y . dy. dmu . dua1a2 anan1y=bbmbm W,n mdtn dtdtdtmdt已知y及其各阶导数的初始值为y(0) , y(0),，y(n-1) (0),求
6、系统的零输入响应。解：当LTI系统的输入为零时，其零输入响应为微分方程的齐次解(即令微分方程等号右端为0),其形式为(设特征根均为单根)y(t) =C1eP1tC2ep2t -，Cnepnt其中p1, p2,，pn是特征方程 a1 ?：+a2九n-1+ anZ+ an+1 =0的根，它们可用 roots(a)语句求得。各系数C,，。由y及其各阶导数的初始值来确定。对此有G+ G+G =yy =y(0)pQ+ p2C2+ - +pnC=Dy。(D y。表示 y的导数的初始值y(1)(0)n 1n 1n 1n 1pCiP2P2 :;+pn-Cn=D -yo111写成矩阵形式为P1p2:： pnnA
7、 n 1nA出p2pn即 V C = Y0 , 其解为C= V Y01pn式中 C 27,这第0.250.75二项就可以忽略不计而得到A kC C Lxk k* = A x0 0.25u1=适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子，避免相角项出现， 使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想。这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程的一个类型。所得到的向量序列 x1,x 2,.,x k称为马尔可夫链。马尔可夫过程的特点是k时刻的系统状态 xk完全可由其前一个时刻的状态xk-1所决定，与k-1时刻之前的系统状态无关。交通流的分析某城市有两组单行道，构成了一个包含四个节点 A,B,C
8、,D的十字路口如图6.5.2所示。在交通繁忙时段的汽车从外部进出此十字路口的流量(每小时的车流数)标于图上。现要 求计算每两个节点之间路段上的交通流量Xl,x 2,x 3,x 4。解：在每个节点上，进入和离开的车数应该相等，这就决定了四个流通的方程：节点 A: x i+450= X2+610节点 B: x 2+520= X3+480节点 C: x 3+390= x4+600节点 D: x 4+640= x2+310U0=rref(A,b),可以得出其精简行阶梯形式将这组方程进行整理，写成矩阵形式：xi -x2= 160x2 -x3= - 40x3 - x4 = 210-x1x4 = -3301
9、-1：160 11-1；40A,b =1-1： 21011 ： -330 1用消元法求其行阶梯形式，或者直接调用一 10为U0= 0一 0其系数增广矩阵为：00 -1 ： 33010-1：17001-1：210000：0注意这个系数矩阵所代表的意义，它的左边四列从左至右依次为变量x1,x 2,x 3,x 4的系数，第五列则是在等式右边的常数项。把第四列移到等式右边，可以按行列写恢复为方程， 其结果为：x1=x4+330,x2=x4+170,x3=x4+2100=0由于最后一行变为全零，这个精简行阶梯形式只有三行有效，也就是说四个方程中有一个是相依的，实际上只有三个有效方程。方程数比未知数的数目
10、少，即没有给出足够的 信息来唯一地确定 *1展2不3，和x4o其原因也不难从物理上想象，题目给出的只是进入和离 开这个十字路区的流量，如果有些车沿着这四方的单行道绕圈，那是不会影响总的输入输x4被称为自由变量，实际上它的取值也x1,x 2,x 3,和x4。都不能取负值。x1,x 2,x 3，和x4中，再检测一个变量。出流量的，但可以全面增加四条路上的流量。所以 不能完全自由，因为规定了这些路段都是单行道，所以要准确了解这里的交通流情况，还应该在价格平衡模型在Leontiff 成为诺贝尔奖金获得者的历史中，线性代数曾起过重要的作用，我们来看看他的基本思路。假定一个国家或区域的经济可以分解为n个部
11、门，这些部门都有生产产品或服务的独立功能。设单列n元向量x是这些n个部门的产出，组成在 Rn空间的产出向量。先假定该社会是自给自足的经济，这是一个最简单的情况。因此各经济部门生产出的 产品，完全被自己部门和其它部门所消费。Leontiff 提出的第一个问题是，各生产部门的实际产出的价格p应该是多少，才能使各部门的收入和消耗相等，以维持持续的生产。Leontiff 的输入输出模型中的一个基本假定是：对于每个部门，存在着一个在Rn空间单位消耗列向量 H,它表示第i个部门每产出一个单位(比如100万美金)产品，由本部门和其他各个部门消耗的百分比。在自给自足的经济中，这些列向量中所有元素的总和应 该为
12、1。把这n个v ,并列起来，它可以构成一个nxn的系数矩阵，可称为内部需求矩阵V。举一个最简单的例子，假如一个自给自足的经济体由三个部门组成，它们是煤炭业、 电力业和钢铁业。它们的单位消耗列向量和销售收入列向量p如下表：由卜列部 门购买每单位输出的消耗分配销售价格p (收入)煤炭业电力业钢铁业煤炭业0.0.40.6Pc电力业0.60.10.2Pe钢铁业0.40.50.2Ps如果电力业产出了100个单位的产品，有40个单位会被煤炭业消耗，10个单位被自己消耗，而被钢铁业消耗的是50个单位，各行业付出的费用为：0.4Pe 丫2 = Pe J0.10.5 J这就是内部消耗的计算方法，把几个部门都算上
13、，可以写出PciPc各部门消耗成本=PcVc+PeVe+PsVs= Vc, Ve,VsPe| =销售收入=Pe.Ps JjPs0.0.40.6其中V = lvc,Ve,Vs】=0.6 0.10.2ce s0.4 0.5 0.2_于是总的价格平衡方程可以写成为：p - Vp = 0(I - V ) p =0此等式右端常数项为零，是一个齐次方程。它有非零解的条件是系数行列式等于零，或者用行阶梯简化来求解。用MATLA即句写出其解的表示式：V=0.,0.4,0.6;0.6,0.1,0.2;0.4,0.5,0.2,U0 = rref(eye(3)-V,zeros(3,1)程序运行的结果为1.00000
14、-0.93940U 0 =01.0000 -0.84850-0000 _这个结果是合理的，简化行阶梯形式只有两行，说明 I-V的秩是2,所以它的行列式 必定为零。由于现在有三个变量，只有两个方程，必定有一个变量可以作为自由变量。记 住U0矩阵中各列的意义，它们分别是原方程中作，pe, ps,的系数，所以简化行阶梯矩阵U0表示的是下列方程：pc - 0.9394 ps = 0 I 1pc = 0.9394 ps卜二 4pe - 0.8485 ps = 0 |Jpe = 0.8485 ps这里取ps为自由变量，所以煤炭业和电力业的价格应该分别为钢铁业价格的0.94和0.85倍。如果钢铁业产品价格总
15、计为 100万元，则煤炭业的产品价格总计为 94万，电力业的 价格总计为85万网络的矩阵分割和连接每一个电路都用一个网络黑其输入输出关系用一个矩阵 A来表示在电路设计中，经常要把复杂的电路分割为局部电路, 盒子来表示。黑盒子的输入为ui,i 1,输出为U2,i 2,（如图7.6.1所示）：i 1 i 2A是2X2矩阵，称为该局部电路的传输矩阵。把复杂的电路分成许多串接局部电路，分别求出 它们的传输矩阵，再相乘起来，得到总的传输矩阵， 可以使分析电路的工作简化。以图7.6.2为例，把两个电阻组成的分压电路分U 1 AU2图4单个子网络模型成两个串接的子网络。第一个子网络只包含电阻R,第二个子网络
16、只包含电阻 R2,列出第一个子网络的电路方程为:i2 - i1, u2 = u1 - i1R1写成矩阵方程为：:2：1 - R1 1 I”：U1 1七0 1.I-同样可列出第二个子网络的电路方 程，i3 = i2 - U2 / R2, U3 = U21 .J,丁，一rl* : _一 rJ-J图5两个子网络串联模型写成矩阵方程为:Ui I0 I ,U2 I U21= A21-2|i2 一从上分别得到两个子网络的传输矩阵A1 =011A = Ai A2 =-R11 + R1 / R2整个电路的传输矩阵为两者的乘积1-Ri101I , I 1= I01 J 1/ R2 1 J 11/ R2实用中通常对比较复杂的网络进行分段，对于这样简单的电路是不分段的，这里只是一个 示例。