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1、实用标准文案线性代数知识点1、行歹U式1 . n行列式共有n2个元素，展开后有 n!项，可分解为2n行列式；2 .代数余子式的性质：、Aj和aij的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0;、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ;3.代数余子式和余子式的关系：Mj =（一1广jAjAj=()i jMij精彩文档4. 设n行列式D :n （n 1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为Di,则Di=（1） 2 D ；n（ n）将D顺时针或逆时针旋转 90：,所得行列式为 D2,则D2 =（-1） D ;将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3 ,则D3
2、 =D ；将D主副角线翻转后，所得行列式为 D4,则D4 = D ;5. 行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；n （n）、副对角行列式：副对角元素的乘积4-1）=、上、下三角行列式（、 = | ）：主对角元素的乘积;n（ n ）、|和1 :副对角元素的乘积 M（f 2、拉普拉斯展开式:=All B、= (-1)mLn! AllB、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积;、特征值;n6. 对于n阶行列式|A，恒有：|九E -A =汇+Z （1）kSk九1，其中Sk为k阶主子式; k 37. 证明A =0的方法:、|A=-A；、反证法；、构造齐次方程组 Ax =0,证明其有非零解;、
3、利用秩，证明r（A） n ;、证明0是其特征值;2、矩阵(AB) T =BTAT* * *(AB) =B A_1_ 11(AB) =B A8. A是n阶可逆矩阵：U |A #0 （是非奇异矩阵）；U r（A） =n （是满秩矩阵）U A的行（列）向量组线性无关；U齐次方程组 Ax =0有非零解；U VbWRn, Ax=b总有唯一解；二A与E等价；U A可表示成若干个初等矩阵的乘积；U A的特征值全不为 0;二AT A是正定矩阵；U A的行（列）向量组是 Rn的一组基;u A是Rn中某两组基的过渡矩阵；9. 对于n阶矩阵A: AA* =A*A = AE无条件恒成立;* TT *(A) -(A )
4、10. (A )* =( A* 广(A)T =( AT)11. 阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和;12. 于分块矩阵的重要结论，其中均 A、B可逆：A若 A =A2 .，则：FAs）I、a=a|AIHA|;AAn、a,=f .；1-XAs、OYA工O；（主对角分块）O B； IO B JiO A、六 / O b .、；O A =| O。 B ;（副对角分块）相 O）（A A O J、以C C 入-A 1CB工I I =0 BJ lOB J OA：. OC B y _B 9A B -,(拉普拉斯)(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1 . 一个mxn矩阵A,总可经
5、过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F =fEr O IO O m n等价类：所有与 A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵 A、B,若r(A) =r(B) u A|_ B ;2 .行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非。元素必须为1;、每行首个非。元素所在列的其他元素必须为 0;3 .初等行变换的应用：(初等列变换类似，或转置后采用初等行变换) r、若(A , E) (E , X),则 A 可逆，且 X =Ac、对矩阵(A, B)做初等行变化，当 A变为E时，B就变成A -B,即：(A, B)-(E, AB); r、求解线形
6、方程组：对于 n个未知数n个方程Ax=b,如果(A, b) (E, x),则A可逆，且x =A/b ；4 .初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；兀乘A的各列元素;、A =2 .,左乘矩阵A ,九乘A的各行元素；右乘，I(1、(k #0)，b-k i1(k # 0);1 、对调两行或两列，符号 E (i ,j),且E (i, j尸=E(i, j),例如：11、倍乘某仃或某列，付3 E (i (k),且E (i(k) =E (i(),例如： k、倍加某行或某列，符号 E (ij(k),且E (ij(k) =E (ij (-k),
7、如：5 .矩阵秩的基本性质：、0 r(Am.) min(m,n)；、r( AT ) =r(A);、若 A|_| B ,则 r(A) =r(B);、若P、Q可逆，则r( A) =r( PA) =r( AQ) =r( PAQ);(可逆矩阵不影响矩阵的秩)、max(r( A), r (B) r (A, B) r (A) +r( B) ; (X)、r(A+B) r(A) +r(B); (X)、r( AB) min( r (A), r (B) ; (X)、如果 A是mxn矩阵，B是nxs矩阵，且 AB =0 ,则：()I、B的列向量全部是齐次方程组 AX =0解(转置运算后的结论)；II、 r(A) r
8、(B) -r(A) +r(B) -n ;6.三种特殊矩阵的方哥：、秩为1的矩阵：一定可以分解为 列矩阵（向量）m行矩阵（向量） 的形式，再采用结合律;11 a c、型如0 1 b的矩阵：利用二项展开式;F 0 bn二项展开式：(a+b)n =c0an+cnanb1 十川+C：abmH|+C：七bn+C：bn = C：amb； m -0注：I、 （ a+b） n展开后有n +1项;n、Cmn(n -1)HIIH (n m 1) n!nm mmm 工Vc nCn 1 = CnCnCn = 2r z0rCnr 二nC：)n11_2_3_-.|_mm!(n -m)!出、组合的性质：Cm =Cn、利用特
9、征值和相似对角化：7 .伴随矩阵：nr (A) =n、伴随矩阵的秩：r (A*)=1r (A) =n 1 ;0r (A) :：: n -1、伴随矩阵的特征值：1A (AX =AX , A* = A A工= A*X =侬X);九九、A* =|AA工、A* =An 8 .关于A矩阵秩的描述：、r（A） =n , A中有n阶子式不为0, n +1阶子式全部为0;（两句话）、r（A） n , A中有n阶子式不为0;9.线性方程组：Ax b ,其中A为mxn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组 Ax=b有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程;10.线性方程组Ax=b的求解
10、：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解;、特解：自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成 n元线性方程:、a 11 . x 2HI 81 nxn = 0a 21 x 1 -322 x 2 III 32 nxn = b2llllll川 liiWillllll 川 IlHIlHLn- n X1.a1210alnx1出,a 22HIa2 nx 2 _ b2 - Ax* （向量方程,：.：.：am2 III amn 大xm Jbm JA为mxn矩阵，m个方程，n个未知数）、0 a2 III J： T （全部按列分块,其中、aiXi +a2
11、x2H|l+anXn=P （线性表出）、有解的充要条件：r（A） =r（ A, P） n （ n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性m个n维列向量所组成的向量组A: 5,%,|,0构成 nm 矩阵 A =（ct.,c,2,am）；m个n维行向量所组成的向量组用,PT ,IH, Prm构成mMn矩阵B =含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；2.、向量组的线性相关、无关、向量的线性表出、向量组的相互线性表示U Ax =0有、无非零解；（齐次线性方程组）二Ax =b是否有解；（线性方程组）仁AX =B是否有解；（矩阵方程）3.矩阵Am；n与Bl珀行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组
12、Ax =0和Bx =0同解；（P（01例14）4 .r(ATA) =r(A) ; ( P101 例 15)5 . n维向量线性相关的几何意义：、a线性相关仁a =0 ；、a, P线性相关u sB坐标成比例或共线（平行）；、a, & 线性相关 u a,民共面；6 .线性相关与无关的两套定理：若西出,|,小线性相关,则ai,O2,lll,as,as .必线性相关;若3,02,111,0s线性无关，则0（1,2,1|1, Ofs必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组 A的每个向量上添上 n -r个分量，构成n维向量组B :若A线性无关，则 B也线性无关；反之若 B线性相关，则 A
13、也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；7 .向量组A （个数为r）能由向量组B （个数为s）线性表示，且 A线性无关，则r Ms； 向量组A能由向量组B线性表示，则r（A） r（B）;向量组A能由向量组B线性表示U AX =B 有解； u r（A） =r（A, B）向量组 A能由向量组 B等价ur（ A） =r（B） =r（A, B）8.方阵A可逆之存在有限个初等矩阵Pi, P2JII, Pi ,使 A = P2111P ；、矩阵行等价:rA B 二 PA = B（左乘，P可逆）U Ax =0与Bx = 0同解c、矩阵列等价：A Bu AQ=B （右乘
14、，Q可逆）；、矩阵等价：AByPAQ=B （P、Q可逆）；9 .对于矢I阵Am涌与Bl而：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则 Ax =0与Bx =0同解，A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性;、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；10 .若 AmBs% =Cm茹? 则：B为系数矩阵；AT为系数矩阵；（转置）、C的列向量组能由 A的列向量组线性表示,、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,11 .齐次方程组Bx =0的解一定是 ABx =0的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明、ABx =0只有零解 = Bx =0只有零解；、Bx =0
15、有非零解= ABx =0一定存在非零解；12 .设向量组Bn： bi,坊,|,与可由向量组 Ans：司，22|14线性表示为：(bi也川|,br) =(ai,a2,川,as)K ( B=AK )其中K为sxr,且A线性无关，则 B组线性无关 -r(K) =r ; ( B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性： 7r =r(B) =r( AK) r(K), r (K) r, r(K)=r ;充分性：反证法)注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用；13 .、对矩阵AmM，存在Qn刈，AQ=Em 仁( A) =m、Q的列向量线性无关；、对矩阵AmQ,存在Pn刈, PA=En r (A )=屋
16、P的行向量线性无关；14 . ：-1, ：2，|，二 s 线性相关U存在一组不全为 0的数k1,k2,|,ks ,使得kQ1 +k2a2H|l+ksUs =。成立；(定义)P J二(a&JI，a) x2 =0有非零解，即Ax =。有非零解；-Su r(5，a2，W，ots) s,系数矩阵的秩小于未知数的个数；15 .设mxn的矩阵A的秩为r ,则n元齐次线性方程组 Ax = 0的解集S的秩为：r(S) =nr；16 .若为Ax=b的一个解，。匕,|,彳1为Ax =0的一个基础解系，则“*,。匕.，线性无关；5、相似矩阵和二次型1. 正交矩阵u ATA =EA - =AT (定义)，性质：1i
17、= j、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTaj =0, A 0；（必要条件）第一章随机事件互斥对立加减功，条件独立乘除清；全概逆概百分比，二项分布是核心；必然事件随便用，选择先试不可能。第二、三章一维、二维随机变量1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵 2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算第五、六章数理统计、参数估计正态方和卡方出，卡方相除变F,若想得到t分布，一正n卡再相除。样本总体相互换，矩法估计很方便；似然函数分开算，对数求导得零蛋； 区间估计有点难，样本函数选在前； 分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。精彩文档实用标准文案第七章假设检验检验均值用U-T,分位对称别大意; 方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇； 不论卡方或U-T,维数减一要牢记;代入比较临界值，拒绝必在否定域！精彩文档