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1、小升初数学专题第2讲 典型应用题（二）鸡兔同笼、盈亏、平均数问题知识地图,f全鸡法假设法全兔法鸡兔同笼工砍足法方程法!一兀 I二兀次方程次方程组典型应用题4盈亏问题条件转化法f盈亏型盈盈型 亏亏型平均数问题基础知识公元855年唐朝，我国举行最早的数学选拔赛，题目如下：一批强盗在树林里商议怎样瓜分抢来的布匹。若每人分6匹，多5匹；每人分7匹，少8匹，问几个强盗？几匹布？（一） 鸡兔同笼问题1 .假设全是鸡例如：鸡兔同笼，头共46 ，足共 128 ，鸡兔各几只？分析：假设全是鸡，则有 2 X46=92 （足），而实际上是128足，少了 128-92=36（足），为什么少了 36足呢？因为我们把一只
2、兔当作一只鸡来算时，就少算了2足，所以有36 +2=18 （只）兔被我们当作鸡来算，所以有鸡46-18=28 （只）。2 假设全是兔例如：鸡兔同笼，头共46 ，足共 128 ，鸡兔各几只？分析：假设全是兔，则有 4 X46=184 （足），而实际上是128足，多了 184-128=56（足），为什么多了56足呢？因为我们把一只鸡当作一只兔来算时，就多算了2足，所以有56 +2=28 （只）鸡被我们当作兔来算，所以有兔46-28=18 （只）。3 “砍足法”例如： 鸡兔同笼，头共46 ，足共 128 ，鸡兔各几只？分析：假如砍去每只鸡、每只兔一半的足，则鸡就变成了“独脚鸡”，兔就变成了“双脚兔”
3、，则鸡和兔足的总数就由128 变成了 64 ，而且有一只兔子，则足的总数就比头的总数多1 ，所以足的总数64 与总头数46的差，就是兔子的只数，即 64 46 = 18 （只），则鸡的只数就是46 18 = 28 （只）。盈亏问题盈亏问题，顾名思义有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象。 盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化，我们把盈亏问题分为三类： “一盈一亏”、 “两盈” 、“两亏”。1. “盈亏”型例如：学而思学校提高班的同学分糖果，如果每人分4 粒就多 9 粒，如果每人分5 粒则少 6 粒，问：有多少位同学分多少粒糖果？分析： 为什么第一次多9
4、 粒，而第二次还少6 粒呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时不仅把第一次多出来的9 粒分了，还要再添6 粒才够分，也就是说按第二种分配方案比第一次总共要多分9+6=15（粒） ，那为什么会有这种变化产生呢？因为第二次比第一次每人多分了5-4=1 （粒） ，那么要分15 粒，就需要有15+1=15 （人），共有15 X4+9=69（粒）。2. “盈盈”型明明过生日，同学们给他买蛋糕，如果每人出8 元，就多出了8 元；每人出7 元，就多出了4 元。那么有多少个同学？蛋糕的价钱是多少？分析： 为什么第一次多8 元，第二次就只多4 元了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少出1元，也就是在
5、第一次分配的基础上给每个人退了1元钱，总共退回了8-4=4 （元），所以共有4+1=4（人），蛋糕价钱是8X4 8 = 24 （元）。3. “亏亏”型学而思学校新近一批书，将它们分给几位老师，如果每人发10 本，还差9 本，每人发9 本，还差2 本，请问有多少老师？多少本书？分析： 为什么第一次差9 本，第二次就只差2 本了呢？因为两次分配数量不一样，第二次分配时每人少发1 本，也就是在第一次分配的基础上从每个人那里拿回了1 本书，总共拿回了9-2=7 （本）书，所以共有7+1=7 （人），书有 7X109 = 61 （本）。（三） 平均数问题（1 ）平均数=总数+参与平均的事物个数平均数增量
6、=总数增量+参与平均的事物个数平均数减量=总数减量+参与平均的事物个数（ 2 ）平均数问题最基本的原理是“移多补少”几个数的平均数一定比其中最大的一个小且比其中最小的一个大三、经典透析【例 1 】 从前有座山，山里有个庙，庙里有许多小和尚，两个小和尚用一根扁担一个桶抬水，一个小和尚用一根扁担两个桶挑水，共用了 38 根扁担和58 个桶， 那么有多少个小和尚抬水？多少个挑水？审题要点鸡兔同笼问题，假设法详解过程假设全是抬水，38根扁担应担38个桶，而实际上是 58个桶，为什么少了 58-38=20 （个）桶呢？因为当我们把一个挑水的当作抬水的就会少算2 1 = 1 （个）桶，所以有 20+1=2
7、0（人）在挑水，抬水的扁担数是38 20 = 18 （根）,抬水的人数是18X2=36人。专家点评：可以结合分析工具矩形图，来看鸡兔同笼问题：左图假设全是抬水:(58-38 X1)-(2-1 ) =20(38 -20 ) X2=36 (人)右图假设全是挑水:(38 X2-58 ) + (2-1 ) =1838-18=20(根)20甬水，桶38根扁担(根)(根)（人）挑水20 （人）挑水36 （人）抬水18X2=36 （人）抬水【例2】某旅游点有儿童票、 成人票两种规格的门票卖，儿童票的价格为30元，成人票的价格为40元，如果是团体还可以买平均 32元一位的团体票，一个由 8个家庭组成的旅游团（
8、每个家庭由两位大人，或两个大人、一个小孩组成）来景点旅游，如果他们买团体票可以比他们各买各的少花120元，问这个旅游团一共有多少人？审题要点鸡兔同笼问题的变形题详解过程每个三口之家可 以少 花30+40+40-32 X3=14 元，每个二口之家可以少花40+40-64=16 元，如果这8个家庭都是三口之家，那么一共少花 14X8=112 元，所 以这8个家庭中有（120-112 ） + （16-14 ） =4个家庭是二口之家，所以这个旅游团一共有 4X2+ （8-4） X3=20 人。专家点评：这道题，首先要考虑的是，怎么理解“少花 120 元”？跟单位少花情况有关，这里的单位：可以不同家庭为
9、单位，也可以成人与小孩为单位。一方面，我们可以对两种家庭的“少花”情况进行计算并比较，可以如题所解；另一方面，我们不妨以成人与孩子的“少花”情况进行计算并比较，可以另解如下：8 个家庭，成人必有16 人，则每个成人将“少花”40-32=8 元。所以应该总共少花16 X8=128 （元）而实际少花相差128-120=8 （元）是因为每个小孩多花了32-30=2 （元）所以，8+2=4 （人）小孩人数16+4=20（人）旅游团一共人数还有一点值得强调的是，我们在使用假设法的过程中，所采用的比较思想非常重要，在一种证明方法反证法中，假设法会又一次充当主角。【例3】 蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅
10、膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种小虫 16 只，共有110 条腿和 14 对翅膀，每种小虫各有几只？ 审题要点 经典鸡兔同笼问题，用两次假设法 详解过程 因为有三种动物，没有办法直接用鸡兔同笼解，所以我们想转化为两种动物就可以直接用了。我们先来看腿，发现蜻蜓和蝉有个共同点一一都是6条腿，那我们就把蜻蜓和蝉合并在一起，分为两种动物：一种是 6条腿，一种是 8条腿。假设全是6条腿的，共有腿6X16=96 （条），而实际上是110条，为什么少了 110-96=14（条）腿呢？因为当我们把 8条腿的蜘蛛当作6条腿算的，有一只蜘蛛就少算 2条腿，所以有蜘蛛14 +2=7 （只），所以蜻蜓
11、和蝉有 16-7=9 （只）；我们再来看翅膀：假设这9只全是蜻蜓，则应该有9X2=18 （对）翅膀，比实际多了 18-14=4（对），所以有蝉4+1=4 （只），则蜻蜓9-4=5 （只）。专家点评：如果我们感觉这样的算术解法有点烦，不妨看看美丽的方程：设：蜘蛛有x只，蜻蜓有y只，蝉有z只，得：x y z = 16（1）8x 6y 6z =110 （2）2y z =14（3）（1） X6:6x 6y 6z = 96 （4）（2） - （4）:2x=14x=7代入（1 ）式：y+z=9 （5）（3） - （5）:y=5 。代入（5）式：z=4 。很多时候，我们发现清晰的等量关系，一定要用，从而可以
12、减少“算理”的思考量，把这种思考量转嫁给方程演算。对于方程演算，不需要掌握太多的技巧，就能轻松把握。请参见本书第十九讲方程。【例4】老师给同学们分苹果，每人分 10个，就多出8个，每人分11个则正好分完，那么一共有多少名学生？多少个苹果？ 审题要点 盈亏问题详解过程为什么第一次多8个，第二次不多也不少了呢？因为第二次每人多分了1个，所以有8+1=8（人），苹果 8 X10+8=88（个）。专家点评：请注意体会差量分析的应用。这是两种方案之间的差异，而假设法是实际与假设之间的差异，两者有着异曲同工之妙。【例5】 皮皮从家到学校，如果每分钟走 50米，上课就要迟到 3分钟；如果每分钟 60米，就可
13、以比上课时间提前2 分钟到校，那么皮皮家距离学校多远？ 审题要点 需要转化条件的盈亏问题详解过程根据题意，每分钟走 50米，迟到3分钟，实际上就是还差 50 X3=150 （米）到校；如果每 分钟60米，提前2分钟到校，即到校后还可以多走60 X2=120 （米），第一次与第二次相差150+120 =270 （米），也就是第二次比第一次多走了270米，所以皮皮从家到学校所用时间是270 + （60-50 ） =27 （分钟），皮皮家到学校的距离是 50 X （27+3 ） =50 X30=1500 （米）。专家点评：两种方案，除了速度差，更要感受到路程差，从而看到，这里的数量关系，竟然就是追及
14、关系。从中体会一下“柳暗花明又一村”的数学美感吧。数学是好玩的！【例6】国庆节快到了，学而思学校的少先队员去摆花盆。如果每人摆5盆花，还有3盆没人摆；如果其中 2 人各摆 4 盆， 其余的人各摆6 盆，这些花盆正好摆完。问有多少少先队员参加摆花盆活动，一共摆多少花盆？ 审题要点 需要转化条件的盈亏问题 详解过程 我们可以把第二个条件转化为如果每人摆6 盆花， 还缺 4 盆， 那么就是简单的 “一盈一亏”。人数：3 + （64） X2 + （6 5） =7 （人），盆数：5X7 + 3=38 （盆）或 6X7 4 = 38 （盆）。专家点评：转化思想似乎有点玄，为什么我一定会想到： “把第二个条
15、件转化为如果每人摆 6 盆花，还缺 4 盆” ？答案在于，我们应该在大方向上有感觉，这道题 “每人摆 5 盆， 还有 3 盆没人摆；每人摆6盆，还”，“还”字后面的下文怎么接？接上了，转化成功！记住：转化的关键在于我需要什么样的条件！现 有条件能否转化为我要的条件？【例7】有四个数，每次去掉一个数，将其余三个数求平均数， 这样算了四次，得下面四个数：36.4,47.8,46.2 ， 41.6 ，那么原来四个数的平均数是多少？ 审题要点 平均数问题详解过程设这四个数分别为 A、B、C、D,根据条件则有：A B C = 36.4 3BCD =47.8 3C D A =46.2 3D A B = 4
16、1.6 3所以 A B C D =(36.4 47.8 46.2 41.6) 3, 3 4 = 43专家点评实际上，本题的情境可以换成“小明语文、数学、英语等几门功课的平均分”，也可以换成“某四个小朋友称体重，每三个人称一次”，数量关系不变。这里要注意所求问题，不一定最后求平均数，也可能求这四个数各是多少。只要用四数总和与三数之和求差就行。【例8】某次数学竞赛原定一等奖10人，二等奖20人，现在将一等奖中最后 4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了 3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多分。审题要点平均数增量详解过程第一眼看这样的图，可能有点不
17、够清楚。别急，我们来慢慢欣赏！首先从总体来看，矩形横向长度表示人数，竖向长度表示平均分，面积 表示总分。请注意一下：d与e分别表示调整前的一等奖与二等奖的平均分;而a表示一等奖后4名同学的平均分。b与c表示调整后一等奖与二等奖的平 均分。我们要求的量是 de之间的平均分之差！我们要想一想，为什么这么一调整，一等奖的平均分高上去了，同时二等奖的平均分也高上去了呢？原因在于：前6名的cd之间的面积移补到一等奖后 4名da之间的面积部分了。根据面积相等，长与宽成反比关系，可知：cd之间的高度差：da之间的高度差=4 ： 6=2 ： 3即3 ： da之间的平均分之差 二2 ： 3。所以 da之间的平均
18、分之差=4.5 (分)，也就是说，这是后4名现在从原来的d降了 4.5分。同理，后4人ab之间的面积=20人be之间的面积；所以 ab之间的高度差：be之间的高度差=20 ： 4=5 ： 1所以 ab之间的平均分之差：1=5 ： 1 , ab之间的平土分之差=5 (分)所以de之间的平均分之差为 4.5+5+1=10.5(分)专家点评对于平均数增量问题，用矩形图，数形结合去分析，应该很舒服！要注意平均数问题最基本的原理是“移多补少”，另外要注意所要移补的是总量，而不是平均量。也就是平均分差量与人数的乘积。这段话请结合上面的图形和分析理解，重要！【例9】设四个不同的正整数构成的数组中，最小的数与
19、其余三数的平均值之和为17,而最大的数与其余三数的平均值之和为 29。在满足上述条件的所有数组中，其最大数的最大值是多少？审题要点平均数与最值问题详解过程设这四个数从大到小依次为a、b、c、d,根据题意有1_-(a +b +c) +d =17 。31 _a + (b +c + d) =29,3用式减去式，得2 2-a -d =12 , 33即 a-d=18 , a=18+d 。因为b、c分别至少比d大2和1 ,由式得1 _(18 d 2d 3) d -173专家点评：拓展训练7+2d 17 ,d 5o由此得a=18+d 23 o所以a的最大值23,且当a、b、c、d依次为23 , 7 , 6,
20、 5时符合题意。这里的所谓平均数，直接应用为表示3 个数的总和。这是平均数关系中知道几个数时最常用的思路。另外，对于不等式的求解，建议大家在理解了方程的恒等关系后，一并了解方程的恒不等关不等式两边同时加上相同的数或者同时减去相同的数，或者同时乘以相同的正整数或者同时除以相同的正整数，其不等关系不变。（原来是什么符号，不用变号）如果是乘以或者除以一个相同的负数，则符号正好变反。这到初中会常用到。例如：7+2d 17 ,两边同减7 ，得：2d 10 ,两边同除以2 ，得：d 21 ,所以D应大于21 。而AB20 。又C为偶数，因此若3C=22 ,此时 D 至少为 23。若 D=23 ,此时则 B=65-22-23=20。若 D23 ,贝U B19 ,不符合题意。故D=23 。10.马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求出的平均数与原先的2000个数混在一起。有趣的是，这 2001个数的平均数恰好是 2001 。原来这2000个数的平均数是多少？初级点拨平均数与方程法深度提示全解过程我们可以设这2000个数的和是S,平均数为一S= a2000 S设2000个数的和是S,平均数为 =a,则S = 2000a,这2001个数的平均数为20002000 a a20012001=a =2001