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1、第十一章 微分方程一、内容分析及教学建议微分方程是本门课程的三个组成部分之一，是微积分的具体应用。实际上微分方程问题，早在十七世纪末，微积分开始形成时，就已经涉及，可以说是与微积分同时发展起来的。在二十世纪前，微分方程问题主要来源于几何学、力学和物理学；而现在，几乎在自然科学、工程技术，甚至于生物、医学、经济学领域的各个部门都会出现，它已成为研究科学技术、解决实际问题不可缺少的有力工具。（一） 微分方程的概念从实例引入微分方程的主要概念，要着重指出通解中常数个数与阶数的关系，并且要注意： 通解中所含任意常数的个数不是形式上，而是实质上的； 微分方程解中并非只有通解和特解，还存在既非通解又非特解
2、的解。例如：函数是微分方程的解， ,此解不是通解，也不是特解。(二) 一阶微分方程的解法1、一阶微分方程类型较多，教学中应让学生能掌握正确判断方程的类型，按方程所属类型采用适当的方法求解；如，改写为（关于的一阶线性微分方程等）；2、一阶微分方程中分离变量法是最基本的，要有足够的训练，让学生牢固掌握，必要时让学生复习不定积分的基本内容；3、可通过齐次方程的求解，引入一般的变量代换解法，要求学生了解其思想，对于具体代换，只介绍简单的代换，如，即可；4、关于一阶线性微分方程，一定要交待常数变易法的想法及步骤，导出通解公式后，指出其通解结构，为以后高阶线性微分方程奠定基础；5、对于全微分方程求解，涉及
3、到“曲线积分”内容，通常有三种解法（见“曲线积分”一章注解），关于积分因子，主要取决于微分的熟练，但教学中要求不高；6、关于贝努利方程，注意：，这里可放宽到任意实数仍成立。(三) 可降阶的高阶微分方程1、三种常见的类型：，共同的思路是通过变量代换进行降阶，教学中注意形式上的比较及变量代换的作用，尤其是讲清中为什么用而不用；2、形如的方程，既属于型，又属于型，求解时，应选择较为简单的方法；3、如果可降阶的高阶微分方程是常系数线性微分方程，则可用求特征方程根的代数方法求解，尽量不用降阶法，可避免求解积分的繁复计算；（四） 高阶线性微分方程1、关于解的性质，首先要引入线性相关与无关的概念，如果未学线
4、性代数，则主要是以解释为主；2、一定要让学生明白解的结构，为后面具体求解奠定基础；3、基础较好的班级可选讲二阶线性非齐次方程的常数变易法；4、对于二阶常系数非齐次方程特解的求解，讲课时由易到难，由简单到复杂，先从开始，再讨论，最后再介绍一般的类型，循序渐进，逐一讨论，易于接受。（五） 微分方程的应用问题应用微分方程解决实际问题，是数学建模的一个重要组成部分，另外在近几年的考研命题中比重有所加大，教学中予以重视，这类问题一般按以下步骤求解。） 对实际问题作出简化假设；） 根据题意，建立微分方程，列出初始条件；） 应用适当的变量代换化微分方程为标准的可解方程，然后求解。当然，教学的基本要求是应用解
5、决一些简单的几何和物理问题，关键仍是教学生解决此类问题的分析思路。（六） 通过具体例子讲述微分方程的级数解，使学生会处理一些简单的级数解法。二、补充例题例1 求解下列微分方程 ， 解: 令，则，于是， 由初值问题，故所给方程特解 . 原方程可改写为,.令，则有：，原方程通解为.例2. 设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，其中函数在内具有连续的一阶导数，且，求.解： 由题设及高斯公式得： 其中为围成的有界闭区域，当有向曲面的法向量指向外侧时，取“+”号，当有向曲面的法向量指向内侧时，取“-”号，由的任意性知，即 ， 这是一阶线性非齐次方程，由通解公式有 由于，故必有：，即，从而例3. 设方程的
6、一个特解为，试确定，的值，并求该方程通解.解： 把代入方程整理得解得：，原方程为：对应齐次方程通解为，由于为方程的特解，而是对应齐次方程的解，因此为原方程的特解，所以方程的通解为.另一解法：因为特解中含有项，表明1为对应齐次方程的一个特征根，特解中含有项，知2是另一特征根，特征方程为：，原方程为，由于对应齐次方程的通解为，知为方程的特解，代入方程得：方程的通解为.例4. 设，其中连续，求.解： 等式两端对求导得： 再求导得： 令,得在中令，从而和初始条件，,得初值问题对应齐次方程通解为设原方程的特解为代入方程化简，解得，,即 方程的通解为 由初始条件得 ，得初值问题的解 例5. 假设对任意，曲
7、线点处切线在轴上截距为，求的一般表达式.解： 曲线在点处切线方程 令，得截距 由题意： 即 上式两端对2求导，化简得：即， ，（，为任意常数）.例6. 已知函数具有二阶连续导数且，已知曲线积分与路径无关，求.解： 曲线积分与路径无关，故 即 即 对应齐次方程特征方程为齐次方程通解为由于是特征根，故设代入方程，所以方程通解为再由得，可定出所求函数为 .例7. 已知，若把成因变量，看作自变量，则方程化为为什么形式？并求此方程的通解.解： 对，两边关于求导得 代入原方程得： 通解为：.例8. 某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含污染物A的的水量为，流出湖泊水量为，已知1
8、999年底湖中A的含量为5，超过了国家规定标准，为了治理污染，从2000年起限定排入湖泊中含A污水的浓度不超过/V,问至少经过多少年，湖泊中污染物A的含量将降至以内?（注：设湖水中A的浓度是均匀的。）解： 设从2000年起，令此时开始，第年湖泊中污染物A的含量为，浓度为，则在时间间隔内排入湖泊中A的量为，流出湖泊的水中A的量为，因而在此时间之隔内湖泊中污染物A的浓度量为由初始条件，可得，于是令，得，即至少需经过年时间湖泊中污染物A的含量才降至以内。例9. 位于坐标原点的我舰向位于轴上距原点1个单位的A点处的敌舰发射制导鱼雷，且鱼雷永远对准敌舰，设敌舰以最大速度到于轴的直线行驶，又设鱼雷的速度是
9、敌舰的5倍，求鱼雷的轨迹曲线及敌舰行驶多远时，将被鱼雷击中？解： 作出草图，设鱼雷的轨迹曲线是，经过时间，鱼雷位于，敌舰位于由于鱼雷始终对准敌舰，故有 又鱼雷的速度是敌舰速度的5倍，故有即 由，代入式有两边关于，求导得： 初始条件， 令，代入 分离变量得： 即 由初始条件 ，得在式两边同乘以 式相加得：两边积分，再由，当时，可知当敌舰行个单位距离时，将被鱼雷击中。例10. 设有一高度为，（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面面积成正比例（比例系数为0.9），问高度为130（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？解： 设为雪堆体积，为
10、雪堆的侧面积，则 由题意知 s所以 ，由 令，得（小时）因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。三、补充练习1求下列微分方程的通解 （ ， ）2求微分方程满足初始条件的特解 （ ）3用适当的变量代换求解方程 4求微分方程的通解 5已知，确定，使曲线积分与路径无关，当，分别为，时，求曲线积分的值 6求微分方程的通解 7求下列微分方程的通解 （ ）8、求方程满足初始条件的特解.9、已知曲线上任上点处切线从切点到轴交点的长度，等于该切线在轴上截距的绝对值（即交点到原点的距离），且曲线过点，求此曲线方程.10、设火车经过提速后，以30m/s（相当于108km/h）的速度在平直的轨道上行驶，当制动（刹车）时获得加速-0.6m/s2，问开始制动后经过多少时间火车才能停住？又在这段时间内火车行驶了多少路程?