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1、第四章向量组的线性相关性1设, 求及.解 2. 设其中, ,求.解 由整理得3设,证明向量组线性相关.证明 设有使得则(1) 若线性相关,则存在不全为零的数,; ; ; ;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2) 若线性无关, 则 由 知此齐次方程存在非零解. 则线性相关.综合得证.4. 设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明 设则因向量组线性无关,故 因为 故方程组只有零解.则. 所以线性无关5. 设向量组线性无关，向量可由向量组线性表示，而向量不能由向量组线性表示.证明:个向量必线性无关.证明6. 当为何值时，向量组，线性相关.解 由所以当时，所以.7. CCBC8. (1).线
2、性相关；(2).；(3).线性相关；(4).线性无关。9. 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组： 解线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.10. 利用初等变换求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解 所以第1、2、3列构成一个最大无关组，。11. 已知向量组，与向量组，具有相同的秩，且可由向量组线性表示，求的值.解 因为线性无关，而，所以线性相关，且向量组的秩为2，所以向量组的秩也为2.由于可由线性表示，故可由线性表示，即线性相关.于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空间记作 ，由所生成的向量空间记作 ，试
3、证: .证明 设, 任取中一向量,可写成,要证,从而得由得上式中,把看成已知数,把看成未知数 有唯一解同理可证: () 故14. 验证为的一个基，并把，用这个基表示.解 由于即矩阵的秩为3. 故线性无关，则为的一个基.设，则 故设，则 故线性表示为 15. 求下面齐次线性方程组的基础解系与通解. 解(1)所以原方程组等价于 取得 ; 取得.因此基础解系为，通解为。16. 设，求一个矩阵，使，且.解由于,所以可设. 则由 可得, , 解此非齐次线性方程组可得唯一解，故所求矩阵17. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量，且，求该方程组的通解。解 由于矩阵的秩为3，一维故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，18求下列非齐次方程组的通解. 解:通解为19. DBCAD