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1、仓怖:特征值与特征向量时间：2021.03. 03特征值与特征向量的概念及其计算定义1.设A是数域P上的一个n阶矩阵，1是一个未知 量，称为A的特征多项式，记：(l)=l 1E-AI,是一个P上的关于1的n次多项式，E是单位矩阵;(l)=l lE-AI=ln+alln-l+.+an=0 是n次代数方程，称为A的特征方程。 特征方程：(l)=l 1E-AI=O 的根(如：10)称为 A的特征根(或特征值)。n次代 数方程在复数域内有 且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与 A有关，与数域P也有关。以A的特征值10代入(lE-A)X=q,得方程组(10E? A)X=q
2、,是一个齐次方 程组称为 A的关于10的特征方程组。因为I1OE-AI=O, (10E-A)X=q 必存 在非零解X(0)八，X(0)称为A的属于10的特征向量。所有10的特征向量全体构 成了 10的特征向量空间。,特征值与特征向量的求法对于矩阵A,由AX=10X, 10EX=AX,得：10E-AX=q即齐次线性方程组知一解的充分必要条件是：即说明伶征根入是特征多项式？ ？ IIEAI?的根，由代数基本定理有n个复根1 ?1？ ? In,为A的n个待征根。当特征根li? I?n?求出后，liEA?X?q是齐次方程，li均会使？ ？ lliEAI?,liEA?X?q必存在2解，且k无穷个解向量，
3、liEA?X?q的墓础解系7*以及基础解系的罐性组合 都是A的特征向量。1 - J 3-例1,求矩阵八=3-53的特征值与特征向量。6-5 4解：由特征方程解傅A有2莹特征值11 =12=-2，有单特征值13=4对于特征值11 =12=2，解方程组（-2E-A）x=q得同解方程组xl-x2+x3=0解为xl=x2-x3 （x2,x3为自由未知量分别由“量:二H ;逋解解方程组为=021（蛊3任意）傅基础解系$=1-11& =001解：由待征方程解得A有单特征值11 = 1,有2重特征值12=13=0 对于11 = 1,解方程组（E-A） x = q得同解方程组为同解为4?*（勺任意）lX2 X
4、3令自由未知量x3=l，得?基础解系& = 11所以 A的对应于特征值11=1的全部特征向量为 x=klxl(kPO)对于特征值12=13=0，解方程组(OE-A)=q得？同解方程组为通解为】一泞8任意I令自由未知量x3=l,得基础解系4此处，二重根1=0的特征向量空间是一维的，特征向量空间的维数v特征根的重数这种情况下，矩阵A是亏损的久所以A的对应于特征值12=13=0得?全部特征向量为x=k2x31 0 0-例3.矩阵A= 00-1的特征值与特征向量0 10解：由特征方程解傅A的特征值为11 = 1,12=i, 13=-i对于特征值11 = 1,解方程组(E-A)=q,由得?通解为令自由未
5、知量xl = l,得?基础解系xl=(l,0,0)T,所以A的对应于特征值11=1傅全部特征向量为x=klxl对于特征值12=i,解方程组(iE-A)=q得？同解方程组为通解为令自由未知量x3=l，得?基础解系x2=(0,i,l)T,所以A对应于特征值12=1的全部特征向量为x=k2x2 (k2 10)o对于特征值13=-i,解方程组(-E-A)x=q,由得？同解方程组为通解为令自由未知量x3=l,得基础解系x3=(0, ? i,l)T,所以A的对应于13=-i的全部特征向量为x=k3x3o特征根为复数 时，特征向量的分量也有复数出现。特征向量只能属于一个特征值。而特征值li的特征向 量却有无
6、穷多个，他们都是齐次线性方程组(liE ? A)x二q的非0解。其中，方程组(liE ? A)x二q的基础 解系就是属于特 征值li的线性无关的特征向量。性质1. n阶方阵A=(aij)的所有特征根为11, 12, : In(包括童根)，则证第二个式子：由伟达定理)1112. 1d=(? 1 )nan又 llE-AI=ln+alln - l+.+an-111+an 中用 1=0 代入二边，得:l-AI=an,而 IAI=(-l)nan= 1112lii,性质2.若1是可逆阵 A的一个特征根，x为对应的特征向 量，贝U，是 A-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量。丸证：可见，是 A-1的一个特
7、征根。 入其中1】0,这是因为0不会为可逆阵的特征根，不然，若li=O,|A|= 1112 - ln=O, A奇异，与A可逆矛盾。性质3.若1是方阵 A的一个特征根，x为对应的特征向量，贝！ Jlm是Am的一个特征根，x仍为对应的特征向量。证：1） Ax=lx,二边左乘 A,得：A2x=Alx=lAx=llx=12x,可见12是A2的特征根；2）若lm是Am的一*特征根，Amx= lmx,二边左乘A,得：Am+1 x=AAmx=Almx=lmAx=lmlx=lm+1 x,傅lm+1是Am+1的特征根用归纳法证明了 lm 是 Am 的一个特征根。性质4.设11, 12, .,1m是方阵A的互不相
8、同的特征值。xj是属于li的特征向量（i=l,2，m）,贝！ J xl,x2，,xin线性无关，即不相同特征 值的特征向量线性无关。性质4给出了属于不相同特征值的特征向量之间的关系，因而是一个很重要的结论。性质4可推广为：设11, 12，1m为方阵A的互不相同 的特征值，xll,xl2,，xl,kl是属于11的线性无关特征向 量，xml,xin2,xm,kl是 属于lm的线性无关特征向量。贝！ J向量组xll,xl2，,xl,kl,xinl,xni2,xin,kl也是线性无关的。即对于互不相同特征值，取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一 起的向量组仍是线性无关的。时;间：2021.03. 03创作：欧阳学