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1、初中高中数学知识衔接讲义 (绝对值 专题一 数与式的运算 【要点回顾】 11绝对值的代数意义: (即( 2绝对值的几何意义:的距离( 3两个数的差的绝对值的几何意义:表示 4两个绝对值不等式(乘法公式 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式: 1平方差公式: ; 2完全平方和公式: 3完全平方差公式: 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式: (1)?立方差公式:?立方和公式:(4)完全立方公式:说明:上述公式均称为“乘法公式”( 3(根式 1 叫做二次根式，其性质如下: (2) ; (3) ;( (4) 2平方根与算术平方根的概念:a 的平方根，记作，其 叫做a的算术平方根( 3立方根的概念
2、:叫做a 的立方根，记为(分式 1分式的意义 形如 AB AB 的式子，若B中含有字母，且，则称 AB 为分式(当M?0时，分式具有 下列性质: (1) ; (2) ( 2繁分式 当分式 AB 的分子、分母中至少有一个是分式时， AB 就叫做繁分式，如 ， 说明:繁分式的化简常用以下两种方法:(1) 利用除法法则;(2) 利用分式的基本性质( 3分母(子)有理化 把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化(分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程;而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 - 1 - 【例题选讲】 例1 解下
3、列不等式:(1)(2),4( 例2 计算: (1 ) 3) 2 (2) 4n) 2 (4) (3)例3 已知，求 例4 已知，求a(1 b)的值( 31x3的值( 例5 计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数): 3(1) (2) (3) 例6 设 (4) ，求的值( 33 - 2 - 例7 化简:(1) xx (2) 2 2 3 (1)解法一:原式= x 2 x 2 2 解法二:原式= x 2 2 2 (2)解:原式= 2 2 2 说明:(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简; (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式( 【巩固练习】
4、 1( 解不等式 2( 设1，求代数式 22 的值( 3( 当，求 2 2 ab ba 22 的值( 4( 设 12 ，求的值( 42 5( 计算 6(化简或计算: - 3 - 3 (3) ? 专题二 因式分解 【要点回顾】 因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形(在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用(是一种重要的基本技能( 因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差)、十字相乘法和分组公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式分解法等等( 1(公式法 常用的乘法公式: 1平方差公式: ; 2完全平方和公式: ; 3
5、完全平方差公式: ( (立方和公式) (立方差公式) 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，运用上述公式可以进行因式分解(2(分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式(而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取(因此，可以先将多项式分组处理(这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法(分组分解法的关键在于如何分组( 常见题型:(1)分组后能提取公因式 (2)分组后能直接运用公式 3(十字相乘法 (1)型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是:?二次项系数是1;?常数项是两个数之积;? 一次项系
6、数是常数项的两个因数之和( ?， ? 运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式( 2 (2)一般二次三项式型的因式分解 2 由我们发现，二次项系数a分解成a1a2，常数项c 2 22 2 分解成c1c2，把a1,a2,c1,c2写成 2 a1 a2 ，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2 2 c ，如果它正好 等于的一次项系数b，那么就可以分解成，其中a1,c1位于上一行，a2,c2位于下一行(这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法( 必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，(其它因式分解的方法 才能确
7、定一个二次三项式能否用十字相乘法分解( 4其他常用的因式分解的方法:(1)配方法 (2)拆、添项法 【例题选讲】 - 4 - 例1 (公式法)分解因式:; 例2 (分组分解法)分解因式:(1)(2) 例3 (十字相乘法)把下列各式因式分解: 解:(1) (2) 看成x的二次三项式，这时常数项是，一次项系数 (3)分析:把是y，把分解成3y与的积，而，正好是一次项系数( 解: (4) 由换元思想，只要把整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式(解: 例4 (十字相乘法)把下列各式因式分解:; 解: 说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要(当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高
8、速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号( 例5 (拆项法)分解因式 【巩固练习】 1(把下列各式分解因式: 2(已知 - 5 - ，求代数式的值( 2222 3(现给出三个多项式，结果因式分解. 4(已知，求证:( ? 专题三 一元二次方程根与系数的关系 【要点回顾】 1(一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为:( 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况(因此，把叫做一元二次方程 的根的判别式，表示为: 2 12 ， 2 12 ， 2 12 ，请你选择其中两
9、个进行加法运算，并把 2 2 对于一元二次方程ax，bx，c,0(a?0)，有 1当0时，方程有两个不相等的实数根:; 2当 0时，方程有两个相等的实数根: ; 3当0时，方程没有实数根( 2(一元二次方程的根与系数的关系 定理:如果一元二次方程a的两个根为x1,x2，那么: 2 2 说明:一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”(上述定理成立的前提是( 2 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x，px，q,0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1，x2,p，x1?x2,q，即 p,(x1，x2)，q,x1?x2， 222 所以，方程
10、x，px，q,0可化为 x,(x1，x2)x，x1?x2,0，由于x1，x2是一元二次方程x，px，q,0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2,(x1，x2)x，x1?x2,0(因此有 以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x2,(x1，x2)x，x1?x2,0( 【例题选讲】 2 例1 已知关于x的一元二次方程，根据下列条件，分别求出k的范围: (1)方程有两个不相等的实数根; (2)方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根; (4)方程无实数根( - 6 - 例2 已知实数x、y满足，试求x、y的值( 例3 若x1,x2是方程的两个根，试求下列各式的值: ;
11、(2) 1x1 ; ; ( 例4 已知x1,x2是一元二次方程的两个实数根( (1) 是否存在，使求使 实数kx1x2 32 成立,若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由( 的值为整数的实数k的整数值( 32 解:(1) 假设存在实数k，使 成立(? 一元二次方程的两 ，又x1,x2是一元二次方程个实数根，? 2 的两个实数根，? 95 222 ? ，但( ?不存在实数k，使? x1x2 x1x2 2 2 32 2 成立( x1x2 的值 ? 要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使为整数的实数k的整数值为( 【巩固练习】 1(若x1,x2是方程的两个根，则 A(2 B( 2 2 1
12、x112 1x2 的值为( 2 ) D( 92 C( 2 2(若t是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( ) A( B( C( D(大小关系不能确定 22 是关于x的方程的两实根，3(设x1,x2是方程的两 实根，则p= - 7 - ，q( 4(已知实数a,b,c满足，则a，b= _ ，c= _ ( 5(已知关于x的方程的两个实数根的平方和等于11，求证:关于x的方程 有实数根( 2 2 的两个实数根，且x1,x2都大于1( 6(若x1,x2是关于x的方程? 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数 【要点回顾】 1(平面直角坐标系 1 叫做x轴或横轴， 叫做y轴或纵轴，x轴与
13、y轴统称坐标轴，他们的公共原点o称为直角坐标系的原点。 2 平面直角坐标系 称y是x的一次函数，记为:、b是常数，k?0) 特别的，当b=0时，称y是x的正比例函数。 2 正比例函数的图象与性质:函数y=kx(k是常数，k?0)象过原点及第一、第三象限，y随x的增大而 ;当 时，图象过原点及第二、第四象限，y随x的增大而 ( 3 一次函数的图象与性质:函数、b是常数，k?0)的图象是过点(0，b)且与直线y=kx平行的 - 8 - 一条直线.设，则当 时，y随x的增大而 ;当 时， y随x的增大而 ( 4反比例函数的图象与性质:函数 x(k?0)是双曲线，当 时，图象在第一、第三象限，在每个象
14、 限中，y随x的增大而 ;当 时，图象在第二、第四象限.，在每个象限中，y随x的增大而 (双曲线是轴对称图形，对称轴是直线与;又是中心对称图形，对称中心是原点( 【例题选讲】 例1 已知、，根据下列条件，求出A、B点坐标( (1) A、B关于x轴对称;(2) A、B关于y轴对称;(3) A、B关于原点对称( 例2已知一次函数y,kx，2的图象过第一、二、三象限且与x、y轴分别交于A、B两点，O为原点，若AOB的面积为2，求此一次函数的表达式。 例3如图，反比例函数x的图象与一次函数的图象交于A(1，两点( 3)，B(n， (1)求反比例函数与一次函数的解析式; 2)根据图象回答:当x取何值时，
15、反比例函数的值大于一次函数的值( (解:(1)，3)在 x的图象上， x 又，在 x的图象 上，即，解得:， 反比例函数的，3解析式为，一次函数的解析式为， 图(12) x (2)从图象上可知，当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，所以反比例函数的值大于一次函数的值。 【巩固练习】 1(函数与 在同一坐标系 ) - 9 - x x x x 2(如图，平行四边形ABCD中，A在坐标原点，D在第一象限角平分线上，又知AB ，求B,C,D点的坐标( 3(如图，已知直线(1)求k的值; (2)过原点O的另一条直线l交双曲线 kx 于P，Q两点(P点在第一象限)，若由点P为顶点 A( B(C( D
16、( 12 x与双曲线 kx 交于A，B两点，且点A的横坐标为4( 组成的四边形面积为24，求点P的坐标( ? 专题五 二次函数 【要点回顾】 1( 二次函数y,ax2，bx，c的图像和性质 22 问题1 函数y,ax与y,x的图象之间存在怎样的关系, 22 问题2 函数y,a(x，h)，k与y,ax的图象之间存在怎样的关系, 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y,ax2，bx，c(a?0)的图象的方法: 由于y,ax，bx，c,a(x， 2 2 2 ba 4a2a4a4a ax，bx，c(a?0)的图象可以看作是将函数 ax的图象作左右平移、上下平移得到的， y,2 x)，c,a(x， 2
17、 ba x， b 22 )，c, b 2 b 2 2 ， 所以，y, - 10 - 二次函数y,ax2，bx，c(a?0)具有下列性质: 1当a,0时，函数y,ax2，bx，c图象开口方向 ;顶点坐标为 ，对称轴为直 线 ;当 时，y随着x的增大而 ;当 时，y随着x的增大而 ;当 时，函数取最小值 ( 2当a,0时，函数y,ax2，bx，c图象开口方向 ;顶点坐标为 ，对称轴为直 线 ;当 时，y随着x的增大而 ;当 时，y随着x的增大而 ;当 时，函数取最大值 ( 上述二次函数的性质可以分别通过上图直观地表示出来(因此，在今后解决二次函数问题时，可以借 助于函数图像、利用数形结合的思想方法
18、来解决问题( 2(二次函数的三种表示方式 1二次函数的三种表示方式: (1)(一般式: ; (2)(顶点式: ; (3)(交点式: ( 说明:确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则(二次函数的关系式可设如下三种形式: ?给出三点坐标可利用一般式来求; ?给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求( ?给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1,0).(x2,0)时可利用交点式来求( 3(分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围求二次函数y,3x2,6x，1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值
19、)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小),并画出该函数的图象( 例2 某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间关 - 11 - 多少元,此时每天的销售利润是多少, 例3 已知函数，其中，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值( 例4 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式( (1)已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y,x，1上，并且图象经过点(3，,1); (2)已知二次函数的图象过点(,3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2; (3)已知二次函数的图象过点(,1，,22)，
20、(0，,8)，(2，8)( 例5 在国 ( ) (A)(,1，4) (B)(,1，,4) (C)(1，,4) (D)(1，4) 2(2)函数y,x，4x，6的最值情况是 ( ) (A)有最大值6 (B)有最小值6 (C)有最大值10 (D)有最大值2 - 12 - (3)函数y,2x2，4x,5中，当,3?x,2时，则y值的取值范围是 ( ) (A),3?y?1 (B),7?y?1 (C),7?y?11 (D),7?y,11 2(填空: (1)已知某二次函数的图象与x轴交于A(,2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达 式为 ( (2)已知某二次函数的图象过点(,1，0)
21、，(0，3)，(1，4)，则该函数的表达式为 ( 3(根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式( (1)已知二次函数的图象经过点A(0，)，B(1，0)，C(，2); (2)已知抛物线的顶点为(1，)，且与y轴交于点(0，1); (3)已知抛物线与x轴交于点M(，0)，(5，0)，且与y轴交于点(0，); (4)已知抛物线的顶点为(3，)，且与x轴两交点间的距离为4( 4(如图，某农民要用12m的竹篱笆在墙边围出一块一面为墙、另三面为篱笆的矩形地供他圈养小鸡(已 知墙的长度为6m，问怎样围才能使得该矩形面积最大, 5(如图所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线
22、ABCD移动一周后，回到A点(设点A移动的路程为x，PAC的面积为y( (1)求函数y的解析式; C (2)画出函数y的图像; (3)求函数y的取值范围( P 图2.2,10 ? 专题六 二次函数的最值问题 【要点回顾】 1(二次函数的最值( - 13 - 2 二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当时，函数在无最大值;当时，函数在 2ab2a处取得最小值，处取得最大值 4a2，无最小值( 2(二次函数最大值或最小值的求法( a,0有最小值，a,0有最大值; 第一步确定a的符号，第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值( 3(求二次函数在某一范围 (2)( 2例2当时，求函数
23、的最大值和最小值( 例3当时，求函数的取值范围( 例4当时，求函数的最小值(其中t为常数)( 22 分析:由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置( - 14 - 22125 解:函数 12 2 52 的对称轴为(画出其草图( 1 2 (1) 当对称轴在所给范围左侧(即时:当时， 52 ; 12 2 (2) 当对称轴在所给范围之间(即时: 当时， 当对称轴在所给范围右侧(即 12 2 5 2 时:当; 时， 52 12 ( 2 综上所述: 例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数( (1)
24、 写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式; (2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适,最大销售利润为多少, 【巩固练习】 2 1(抛物线，当m= _ 时，图象的顶点在y轴上;当m= _ 时，图象的顶点在x轴上;当m= _ 时，图象过原点( 2(用一长度为l米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _ ( 2 ，当时，函数的最小值是，最大值是0，求a,b 3(设的值( 2 4(已知函数在上的最大值为4，求a的值( - 15 - 5(求关于x的二次函数在上的最大值(t为常数)( ? 专题七 不 等 式 【要点回顾】 1(一元二次不
25、等式及其解法 1 定义:形如 为关于x的一元二次不等式( 2一元二次不等式ax2或与二次函数及一元二次方程 的关系(简称:三个二次)( 2 (?)一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下: (1) 将二次项系数先化为正数; (2) 观测相应的二次函数图象( ?如果图象与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0)，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根 x1,x2(也可由根的判别式来判断) (则 ?如果图象与x轴只有一个交点 b2a b2a ,0)，此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 来判断) (则: (也可由根的判别式?如果图象与x轴没有交点，此时对应的
26、一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) (则: (?)解一元二次不等式的步骤是: (1) 化二次项系数为正; (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2(那么型的解为 或俗称两根之外);型的解为俗称两根之间); 负数的性质求解( (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成a2(简单分式不等式的解法 - 16 - 2 b2a 2 2 ，结合完全平方式为非 解简单的分式不等式的方法:对简单分式不等式进行等价转化，转化为整式不等式，应当注意分母不为零. 3(含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式( 1当时，不等式的解为: 2当时，不等式的解为
27、:; ; a 3当时，不等式化为:; ? 若，则不等式的解是全体实数;? 若，则不等式无解( 【例题选讲】 例1 解下列不等式: ?解法一:原不等式可以化为:，于是:或 或或所以，原不等式的解是或( 解法二:解相应的方程得:，所以原不等式的解是或( (2) 解法一:原不等式可化为:，即于是: 或或，所以原不等式的解是或( 解法二:原不等式可化为:，即，解相应方程，得，所以原不等式的解是或( 说明:解一元二次不等式，实际就是先解相应的一元二次方程，然后再根据二次函数的图象判断出不等式的解( 例2 解下列不等式: 2例3 已知对于任意实数x，恒为正数，求实数k的取值范围( 例4 解下列不等式: 2
28、例5 求关于x的不等式的解( 解:原不等式可化为: 即时，不等式的解为 (1) 当(2) 当即时，( - 17 - 1m; ? 时，不等式的解为 ? 时，不等式的解为 m1m; ; ? 时，不等式的解为全体实数( (3) 当即时，不等式无解( 综上所述:当或时，不等式的解为 m;当时，不等式的解为 m;当 时，不等式的解为全体实数;当时，不等式无解( 【巩固练习】 1(解下列不等式: 2(解下列不等式: 3(解下列不等式: 4(解关于x的不等式( 25(已知关于x的不等式的解是一切实数，求m的取值范围( 6(若不等式 k2的解是，求k的值( 值时，代数式的值不小于0, 27(a取何- 18 -
29、 ? 各专题参考答案 ? 专题一数与式的运算参考答案 例1 (1)解法1:由，得; ?若，不等式可变为，即; ?若，不等式可变为，即，解得:(综上所述，原不等式的解为( 解法2: 表示x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离，所以不等式的几何意义即为x轴上坐标为x的点到坐标为2的点之间的距离小于1，观察数轴可知坐标为x的点在坐标为3的点的左侧，在坐标为1的点的右侧(所以原不等式的解为( 解法3:，所以原不等式的解为( (2)解法一:由，得;由，得; ?若，不等式可变为，即,4，解得x,0，又x,1，?x,0;?若，不等式可变为，即1,4，?不存在满足条件的x; ?若，不等式可变为，即,4，
30、解得x,4(又x?3，?x,4( 综上所述，原不等式的解为x,0，或x,4( 解法二:如图，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|,|x,1|;|x,3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|,|x,3|( 可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧( 所以原不等式的解为x,0，或x ,4(2 |x,3| |x,1| 2 所以，不等式,4的几何意义即为|PA|，|PB|,4(由|AB|,2例2(1)解:原式 ) 3 3 1 2222 1 22 13 13 1 43 83 2 3 3 19 说明:多项式乘法的结果一般是
31、按某个字母的降幂或升幂排列( (2)原式5 2 4 2 2 3 11125 22 3 18 2 n 3 3 6 3 (3)原式 (4)原式 2 例3解: 2 2 2 2 2 2 3 3 2 6 3 3 6 1x 2 2 原式 1 xxxx 例4解: 2 1 1 1 原式 3 3 2 2 3abc abc 3 abc 333 ? ?，把?代入?得原式 333 例5解:(1 )原式 2 (2)原式 - 19 - 说明: 的使用:当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨 论( (3)原式 (4) 原式 =例6解 : 原式 说明:有关代数式的求值问题:(1)先化简后求值;(2)当直接代
32、入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量( 【巩固练习】 1( (或2 4 ( ( 专题二因式分解答案 例1分析:(1) 中应先提取公因式再进一步分解;(2) 中提取公因式后，括号例2(1)分析:按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式( 解:(2)分析:先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式( 解:2例5 解: 【巩固练习】 1( ( 222 2(28 3 1 2; 1 2 1 223(; 22222222其他情况如下:( - 20 - 专题三一元二次
33、方程根与系数的关系习题答案 例1解:?，? 13 13 ; 13 ; ; 13 ( 例2解:可以把所给方程看作为关于x的方程，整理得: 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此:， 代入原方程得:(综上知:例3解:由题意，根据根与系数的关系得: 1x1 22007 1x1 1x2 说明:利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:， ， 4x1x2， 韦达定理体现了 整体思想( 【巩固练习】 1( A; 2(A; 3(; 4(; 5( 当时，方程为 ，有实根;(2) 当时，也有实根(6( 34 且k; ( 专题四 平面直角坐标系、一次函数、反比例函数参考答案 (1)因为A、B关于x轴对称，
34、它们横坐标相同，纵坐标互为相反数， 例1 解:所以，则、( (2)因为A、B关于y轴对称，它们横坐标互为相反数，纵坐标相同，所以，则、( (3)因为A、B关于原点对称，它们的横纵坐标都互为相反数，所以，则、( 例2分析:因为直线过第一、三象限，所以可知k>0，又因为b,2，所以直线与y轴交于(0，2)，即可知OB,2，而AOB的面积为2，由此可推算出OA,2，而直线过第二象限，所以A点坐标为(,2，0)，由A、B两点坐标可求出此一次函数的表达式。 解:?B是直线y,kx，2与y轴交点，?B(0，2)，?OB,2，又 12 ， 又，过第二象限，0)把，代入中得， 【巩固练习】 1( B 2
35、( D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)( 3(1)(2)点P的坐标是P(2，4)或P(8，1)( 专题五二次函数参考答案 22 例1 解:?y,3x,6x，1,3(x，1)，4，?函数图象的开口向下;对称轴是直线x,1;顶点坐标为 - 21 - (,1，4); 当x,1时，函数y取最大值y,4; 当x,1时，y随着x的增大而增大;当x,1时，y随着x的增大而减小; 采用描点法画图，选顶点A(,1，4)，与x轴交于点 B( 3 3 ,0)和 3 3 ,0)与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象(如图2,5所示)( 说明:从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，关键点，减
36、少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确( 例2 分析:由于每天的利润,日销售量y(销售价x,120)，日销售量y又是销售价的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值( 解:由于y是x的一次函数，于是，设y,kx，(B)，将x,130，y,70;x,150，y50代入方程，有 解得 k,1，b,200(? y,x，200( 设每天的利润为z(元)，则z,(,x+200)(x,120),x2，320x,24000,(x,160)2，1600， ?当x,160时，z取最大值1600( 答:当售价为160元/件时，每天的利润最大
37、，为1600元( 例3 分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论( 2 解:(1)当a,2时，函数y,x的图象仅仅对应着一个点(,2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是4，此时x,2; (2)当,2,a,0时，由图2(2,6?可知，当x,2时，函数取最大值y,4;当x,a时，函数取 2 最小值y,a; (3)当0?a,2时，由图2(2,6?可知，当x,2时，函数取最大值y,4;当x,0时，函数取最小值y,0; 2 (4)当a?2时，由图2(2,6?可知，当x,a时，函数取最大值y,a;当x,0时，函数取最小值y,0( ? ? 说明:在本例中，利用了分类讨论的方法，
38、对a的所有可能情形进行讨论(此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题( 例4(1)分析:在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a( 解:?二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，?顶点的纵坐标为2(又顶点在直线y,x，1上，所以，2,x，1，?x,1(?顶点坐标是(1，2)(设该二次函数的解析式为，?二次函数的图像经过点(3，,1)，?，解得a,2( ?二次函数的解析式为，即y,2x2，8x,7( 2 2
39、 2 ? 说明:在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题(因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题( (2) 分析一:由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式( 解法一:?二次函数的图象过点(,3，0)，(1，0)，?可设二次函数为y,a(x，3) (x,1) (a?0)，展开， - 22 - 得 y,ax，2ax,3a， 顶点的纵坐标为 2，?|,4a|,2，即a, 12 2 4a 22 ，由于二次函数图象的顶点到
40、x轴的距离 2 (所以，二次函数的表达式为y, 32 ，或y, 12 2 32 ( 分析二:由于二次函数的图象过点(,3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x,1，又由顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或,2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(,3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式( 解法二:?二次函数的图象过点(,3，0)，(1，0)，?对称轴为直线x,1(又顶点到x轴的距离为2， 22 ?顶点的纵坐标为2，或,2(于是可设二次函数为y,a(x，1)，2，或y,a(x，1),2，由于函数图象过点(1，0)，?0,a(1，1)，2，或0,a
41、(1，1),2(?a2，或y, ,，1)，2 2 2 12 ，或a, 12 (所以，所求的二次函数为y, 12 (x 12 (x，1),2( 2 说明:上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题( (3)解:设该二次函数为y,ax2，bx，c(a?0)(由函数图象过点(,1，,22)，(0，,8)，(2，8)，可得 解得 a,2，b,12，c,8(所以，所求的二次函数为y,2x，12x,8( 【巩固练习】 1(1)D (2)C (3)D 2(1)y,x，x,2 (2)y,x，2x，3 3(1)(2)( (3) 15 2 22 25 (4)( 12 2 12 2 52 4(当长为6m，宽为3m时，矩形的面积最大( 5(1)函数f(x)的解析式为 (2)函数y的图像如图所示 (3)由函数图像可知，函数y的取值范围是0,y?2( 专题六二次函数的最值问题参考答案 22 例1分析:由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值( 解:(1)因为二次函数中的二次项系数2,0，所以抛物线有最低点，即函数有最小值(因为 34 2 498 ，所以当 34 时，函数有最小值是 ( 2