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1、DOC-2012届高考数学(文)考前60天冲刺【六大解答题】导数12012届高考数学(文)考前60天冲刺【六大解答题】导数1 2012届高考数学(文)考前60天冲刺【六大解答题】 导数 1、已知函数f(x) lnx,a,g(x) f(x),ax,6lnx,其中a R。 x (1)当a 1时，判断f(x)的单调性; (2)若g(x)在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围; (3)设函数h(x) x2,mx,4,当a 2时,若,x1 (0,1),x2 1,2,总有g(x1) h(x2)成立，求实数m的取值范围。 答案:解析:由f(x) lnx, 得f(x)的定义域为(0,+ )，f(x) 2,
2、 当 a 1时，f(x) ax,a,xxx,1 0(x 0),f(x)在(0, )上单调递增。 2x 25(2)由已知得，g(x) ax,5lnx,其定义域为(0, )，g(x) a,a,5 ax,5x,a. xx2xx2 因为g(x)在其定义域内为增函数，所以,x (0, ),g(x) 0,即ax2,5x,a 0,则a 而5x55x. 2x,15 25，当且仅当x=1时，等号成立，所以a x2,1x,2 x 122x2,5x,2x ,g(x) 0(3)当a=2时，g(x) 2x,5lnx,g(x) 由得，或22xx 11x 2，当x (0,)时， g (x) 0;当x (,1)时,g (x)
3、 0 22 1所以在(0，1)上，g(x)max g() ,3,5ln2 2 而“,x1(0,1),x2 1,2,总有g(x1) h(x2)成立”等价于“g(x)在(0，1)上的最大值不小于h(x)在1,2上的最大值”。 又h(x)在1,2上的最大值为maxh(1),h(2), 2. 已知函数f(x) lnx,a(x,1)，a?R( (I)讨论函数f(x)的单调性; lnx恒成立，求a的取值范围( x,1 1/ 解: (?) 若a ,1时，f(x) x,，(x 0)2分 x (?)当x 1时，f(x)? x2,1 0，又x 0 由f(x) 0得x/ 解得x 1， 所以函数f(x)的单调递增区间
4、为(1, )( 4分 (?)依题意得f(x),lnx 0,即 2 ?(a,1)lnx ,12x,alnx,lnx 0， 2 12x，12x ?x 1 ，? lnx 0，?a,1 ， lnx 1,x2 ?a,1 ()max 6分 lnx, 112,xlnx,xx/ ， 设g(x) ， g(x) 2(lnx)lnx, 令g(x) 0，解得x e 当1 x e时，g/(x) 0，g(x)在(0,e)单调递增;8分 当x e时，g(x) 0，g(x)在(e, )单调递减; 10分 ?g(x)max=g(e) ,e， ?a,1 ,e 即a 1,e( 3.已知函数f(x) alnx,ax,3(a R)(
5、(I)当a 1时，求函数f(x)的单调区间; o(II)若函数y f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线的倾斜角为45，问:m在什么范围 取值时，对于任意的t 1,2，函数g(x) x3,x2 极值, 121212/1212/12m,f (x)在区间(t,3)上总存在2 f (x) a,a(x 0) x 11,x， 2分 ,1 xx(I)当a 1时，f (x) 令f (x) 0时，解得0 x 1，所以f(x)在(0，1)上单调递增; 4分 令f (x) 0时，解得x 1，所以f(x)在(1，+?)上单调递减( 6分 (II)因为函数y f(x)的图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，
6、 所以f (2) 1( o ,2,2( 8分 x m2m g(x) x3,x2,2, x3,(,2)x2,2x， 2x2 所以a ,2，f (x) g (x) 3x2,(4,m)x,2， 10分 因为任意的t 1,2，函数g(x) x3,x2m,f (x)在区间(t,3)上总存在极值， 2 g (2) 0, 所以只需 12分 g(3) 0, 解得,37 m ,9( 14分 3 4.已知三次函数f(x)的导函数f (x) 3x2,3ax，f(0) b，a(b为实数。 (?)若曲线y f(x)在点(a,1，f(a,1)处切线的斜率为12，求a的值; (?)若f(x)在区间,-1，1,上的最小值(最
7、大值分别为-2(1，且1 a 2，求函 数f(x)的解析式。 解析:(?)由导数的几何意义f (a,1)=12 1分 ? 3(a,1),3a(a,1) 12 2分 ? 3a 9 ? a 3 3分 2(?)? f (x) 3x,3ax，f(0) b ? f(x) x,3232ax,b 5分 2 由 f (x) 3x(x,a) 0 得x1 0，x2 a ? x ,-1，1,，1 a 2 ? 当x ,-1，0)时，f (x) 0，f(x)递增; 当x (0，1,时，f (x) 0，f(x)递减。8分 ? f(x)在区间,-1，1,上的最大值为f(0) ? f(0) b，? b=1 10分 ? f(1
8、) 1,3333a,1 2,a，f(,1) ,1,a,1 ,a 2222 ? f(,1) f(1) ? f(,1)是函数f(x)的最小值， 34a ,2 ? a 23 32? f(x)=x,2x,1 2ax2 5.已知函数f(x) lnx,，(a R,e为自然对数的底数)( e (?)求函数f(x)的递增区间; (?)当a 1时，过点P(0, t)(t R)作曲线y f(x)的两条切线，设两切点为 P2(x2,f(x2)(x1 x2)，求证x1,x2为定值，并求出该定值。 1(x1,f(x1)，P? , 解:(?)函数f(x)的定义域是(, , 0) (0, , )( 22a2(e,ax),
9、.2分 xeex 2当a 0时，由f (x) 0，解得x 0; x 2(e,ax)e 0，解得0 x ; 当a 0时，由f (x) exa 2(e,ax)e 0，解得x 0，或x (-4分 当a 0时，由f (x) exaf (x) 所以当a 0时，函数f(x)的递增区间是(0, , ); 当a 0时，函数f(x)的递增区间是(0, ); 当a 0时，函数f(x)的递增区间是(, , )，(0, , )( .6分 (?)因为f (x) eaea222(e,x), ， xeex 所以以P1(x1,f(x1)为切点的切线的斜率为2(e,x1); ex1 以P2(x2,f(x2)为切点的切线的斜率为
10、2(e,x2)(.8分 ex2 2x12(e,x1) (0,x1); eex1又因为切线过点P(0, t)，所以t,lnx1,2 t,lnx22,2x22(e,x2) (0,x2).10分 eex2 解得，x12 et,2 ，x22 et,2. 则x12 x22. 由已知x1?x2,从而有x1+x2=0( 所以x1,x2为定值0. 6.已知函数f(x) kx,g(x) (1)求函数g(x) lnx xlnx的单调区间; x (2)若不等式f(x) g(x)在区间(0, )上恒成立，求实数k的取值范围; ln2ln3lnn1(3)求证:4,4, ,4 2e23n lnx 解:(?) ，故其定义域
11、为(0g(x) , ) x 1-lnx， 令g(x)0,得0，令g(x)x恒成立， 使得f(t) t恒成立， 则x 时， ,2,2x e22 即x 1 1 x时，a e,恒成立6分 ,2 x 2 x1111x，x ,2，则 g (x) e,2，x ,2 x2x2 121xx 设h(x) e,2， Qh (x) e,3 0在x ,2上恒成立 xx2 1 h(x)在x ,2上单调递增 2 11x即g (x) e,2在x ,2上单调递增8分 x2 设g(x) e,1112 Qg () e2,4 0，Qg (2) e, 0 42 11,2有零点m 在2x2 11 g (x) ex,2在,m上单调递减，
12、在(m,2上单调递增10分 x2 a ,21 1 a g() 2a e,， 2，即 122 a e, a g(2) 2 g (x) ex,8.已知函数f(x) ax,lnx,a R (?)求函数f(x)的单调区间; (?)是否存在实数a,使不等式f(x) ax2对x (1, )恒成立,若存在,求实数a的取值范 围,若不存在,请说明理由. 1,x 01分 x ?当a 0时,f(x) 0,函数f(x)在(0, )内是增函数, 【解】(?)f(x) a, 即函数的单调增区间为(0, )2分 ?当a 0时,令f(x) 0,得x ,1 0, a 11且x (0,)时,f(x) 0,又x (, )时,f(
13、x) 0,4分 aa 所以函数f(x)递增区间为(0,),递减区间为(, ).5分 1 a1a (?)假设存在这样的实数a,使不等式f(x) ax2对x (1, )恒成立 即ax2,ax,lnx 0(x 1)恒成立.令h(x) ax2,ax,lnx(x 1), 则h(1) 0,且h(x) 0(x 1)恒成立6分 12ax2,ax,1h (x) 2ax,a, 7分 xx 1?当a 0时,h (x) , 0,则函数h(x)在1, )上单调递减,于是h(x) h(1) 0 x 与h(x) 0(x 1)矛盾,故舍去. 8分 ?当a 0时,h(x) ax2,ax,lnx ax(x,1),ln(x ,)
14、而当x 1时,由函数y ax2,ax和y ,lnx都单调递减. 且由图象可知,x趋向正无穷大时,h(x) ax(x,1),ln1x1趋向于负无穷大 x 这与h(x) 0(x 1)恒成立矛盾,故舍去. 10分 (注:若考生给出抛物线y ax,ax,y lnx草图以说明, 如右,同样也按该步骤应得分给分) 22ax2,ax,1 0等价于2ax2,ax,1 0( a2,8a 0) ?当a 0时,h (x) x ,1 记其两根为x1 0 x2(这是因为x1x2 0) 2a 易知x (x1,x2)时,h (x) 0,而x (x2, )时,h (x) 0, (i)若x2 1时,则函数h(x)在(1,x2)
15、上递减,于是h(x) h(1) 0矛盾,舍去; 11分 (ii)若x2 1时,则函数h(x)在(1, )上递增,于是h(x) h(1) 0恒成立. 1(a 0),解得a 112分 所以0 x2 1,即x2综上?可知,存在这样的实数a 1,使不等式f(x) ax2对x (1, )恒成立13分 9设函数f(x) 1,a2x,ax,lnx(a R). 2 (?) 当a 1时，求函数f(x)的极值; (?)当a 1时，讨论函数f(x)的单调性. (?)若对任意a (2,3)及任意x1,x2 1,2，恒有ma,ln2 f(x1),f(x2) 成立， 求实数m的取值范围. 解:(?)函数的定义域为(0,
16、). 当a 1时，f(x) x,lnx,f(x) 1,1x,1 .令f(x) 0,得x 1. xx 当0 x 1时，f(x) 0;当x 1时，f(x) 0. f(x)极小值=f(1) 1,无极大值. 4分 1(1,a)x,1(x,1)(1,a)x2,ax,1(?)f(x) (1,a)x,a, xxx 1(1,a)(x,)(x,1) 5分 x 1(x,1)2 1，即a 2时，f(x) , 0, f(x)在(0, )上是减 当a,1x 函数; 11 1，即a 2时，令f(x) 0,得0 x 或x 1; a,1a,1 1 x 1. 令f(x) 0,得a,1 11 1，即1 a 2时，令f(x) 0,
17、得0 x 1或x ; 当a,1a,1 1. 7分 令f(x) 0,得1 x a,1 综上，当a 2时，f(x)在定义域上是减函数; 11)和(1, )单调递减，,1)上单调递增; 当a 2时，f(x)在(0,在( a,1a,1 11, )单调递减，在(1,)上单调递 当1 a 2时，f(x)在(0,1)和(a,1a,1 当 8分 (?)由(?)知，当a (2,3)时，f(x)在1,2上单调递减， 当x 1时，f(x)有最大值，当x 2时，f(x)有最小值. a3a3,ln2 ma,ln2 ,ln2 10分 2222 13113 0，所以m 0.而a 0经整理得m , 由2 a 3得, ,22a
18、422a f(x1),f(x2) f(1),f(2) (?) 当a 1时，求函数f(x)的极值; (?)当a 1时，讨论函数f(x)的单调性. (?)若对任意a (2,3)及任意x1,x2 1,2，恒有ma,ln2 f(x1),f(x2) 成立， 求实数m的取值范围. 解:(?)函数的定义域为(0, ). 当a 1时，f(x) x,lnx,f(x) 1,1x,1 .令f(x) 0,得x 1. xx 当0 x 1时，f(x) 0;当x 1时，f(x) 0. f(x)极小值=f(1) 1,无极大值. 4分 1(1,a)x,1(x,1)(1,a)x2,ax,1(?)f(x) (1,a)x,a, xx
19、x 1(1,a)(x,)(x,1) 5分 x 1(x,1)2 1，即a 2时，f(x) , 0, f(x)在(0, )上是减 当a,1x 函数; 11 1，即a 2时，令f(x) 0,得0 x 或x 1; a,1a,1 1 x 1. 令f(x) 0,得a,1 11 1，即1 a 2时，令f(x) 0,得0 x 1或x ; 当a,1a,1 1. 7分 令f(x) 0,得1 x a,1 综上，当a 2时，f(x)在定义域上是减函数; 11)和(1, )单调递减，,1)上单调递增; 当a 2时，f(x)在(0,在( a,1a,1 11, )单调递减，在(1,)上单调递 当1 a 2时，f(x)在(0
20、,1)和(a,1a,1 当 8分 (?)由(?)知，当a (2,3)时，f(x)在1,2上单调递减， 当x 1时，f(x)有最大值，当x 2时，f(x)有最小值. a3a3,ln2 ma,ln2 ,ln2 10分 2222 13113 0，所以m 0.解(?) 可知而a 0经整理得m , 由2 a 3得, ,22a422a f(x1),f(x2) f(1),f(2) f(x)的定义域为(0, )(有 a,1x2,ax,a,1(x,1)x,(a,1)f(x) x,a, xxx 2分 / 因为a 2，所以a,1 1( /ff(x) 0x a,11 x a,10 x 1故当时;当或时(x) 0( 综
21、上，函数f(x)在区间(1,a,1)上单调递减，在区间(0,1)和(a,1, )上单调增加. 6分 g(x) x3,x2,2xS n3,n2,2na 1(II)由，知，所以n( 3n2,n,2, (n 2)an 3n2,n,2 0 , (n 1)可得 ( ,分 11 (n 2)a(3n,2)(n,1)所以 n( 11111 (,) 因为 (3n,2)(n,1)3n(n,1)3n,1n 11分 111111111, , (1,),(,), ,(,)aa3an3223n,1n 所以 2 11111 (1,) , 3n33n3 综上，不等式得证( 14分 11.已知函数f(x) 2ax,b,lnx(
22、 x 1处取得极值，求a，b的值; 2(?)若函数f(x)在x 1，x (?)若f (1) 2，函数f(x)在(0, )上是单调函数，求a的取值范围( 21解:(?)f (x) 2a, b1,， 2xx1 f (1) 0a , 3( 由 ，可得 1 f () 0 b 1 2 3 (?)函数f(x)的定义域是(0, )， 因为f (1) 2，所以b 2a,1( 2ax2,x,(2a,1)(x,1)2ax,(2a,1) 所以f (x) x2x2 要使f(x)在(0, )上是单调函数，只要f (x)?0或f (x)?0在(0, )上恒成立( 10分 x,1 0恒成立，所以f(x)在(0, )上是单调
23、函数; 2x 2a,11 1, 1， 当a 0时，令f (x) 0，得x1 ,1，x2 2a2a当a 0时，f (x) 此时f(x)在(0, )上不是单调函数; 当a 0时，要使f(x)在(0, )上是单调函数，只要1,2a?0，即0 a?综上所述，a的取值范围是a 0,( 12.设f(x) x3,1 2123,a,1,x2,3ax,1( 2 (1)若函数f(x)在区间,1,4,内单调递减，求a的取值范围; (2)若函数f(x)在x a处取得极小值是1，求a的值，并说明在区间,1,4,内函数f(x)的单调性( 解:f ,x, 3x2,3,a,1,x,3a 3,x,1,x,a, (1)?函数f,
24、x,在区间,1,4,内单调递减， ?f (4)?0，?a 4, ,(5分 (2)?函数f,x,在x a处有极值是1，?f(a) 1( 即a3,313,a,1,a2,3a2,1 a3,a2,1 1( 222 ?a2(a,3) 0，所以a 0或3(9分 当a 0时，f,x,在, ,0,上单调递增，在,0,1,上单调递减，所以f,0,为极大值，这与函数f,x,在x a处取得极小值是1矛盾，所以a 0( 当a 3时，f,x,在,1,3,上单调递减，在,3, ,上单调递增，即f,3,为极小值， 所以a 3时，此时，在区间,1,4,内函数f,x,的单调性是: f,x,在,1,3,内减，在 3,4,内增(
25、13.已知函数f(x) lnx, (1)当a a(a R)( x,19时，如果函数g(x) f(x),k仅有一个零点，求实数k的取值范围; 2 (2)当a 2时，试比较f(x)与1的大小; 1111(3)求证:ln(n,1) , ,(n N*)( 3572n,1 99解:(1)当a 时，f(x) lnx,，定义域是(0, )， 22(x,1) 119(2x,1)(x,2) x x 2( f(x) 0， 令，得f (x) , 2或x2(x,1)22x(x,1)2 11 当0 x 或x 2时，f (x) 0，当 x 2时，f (x) 0， 22 11 函数f(x)在(0,)(2, )上单调递增，在
26、(,2)上单调递减( f(x)的极大值22 13是f() 3,ln2，极小值是f(2) ,ln2( 22 当x ,0时，f(x) , ; 当x , 时，f(x) , ， 3 当g(x)仅有一个零点时，k的取值范围是k 3,ln2或k ,ln2( 2 2(2)当a 2时，f(x) lnx,，定义域为(0, )( x,1 212x2,1,1， h (x) ,令h(x) f(x),1 lnx, 0， x,1x(x,1)2x(x,1)2 h(x)在(0, )上是增函数( ?当x 1时，h(x) h(1) 0，即f(x) 1; ?当0 x 1时，h(x) h(1) 0，即f(x) 1; ?当x 1时，h
27、(x) h(1) 0，即f(x) 1( 2x,1 1，即lnx (3)(法一)根据(2)的结论，当x 1时，lnx,( x,1x,1 nk,1k,11k,1n1 令x ，则有ln， ln( kk2k,1kk 1k 12k,1 ln(n,1) ln k 1n111k,1， ln(n,1) , ,( 352n,1k 214.已知三次函数f(x)的导函数f (x) 3x,3ax，f(0) b，a(b为实数。 (?)若曲线y f(x)在点(a,1，f(a,1)处切线的斜率为12，求a的值; (?)若f(x)在区间,-1，1,上的最小值(最大值分别为-2(1，且1 a 2，求函 数f(x)的解析式。 解
28、析:(?)由导数的几何意义f (a,1)=12 1分 ? 3(a,1)2,3a(a,1) 12 2分 ? 3a 9 ? a 3 3分 3(?)? f (x) 3x2,3ax，f(0) b ? f(x) x,32ax,b 5分 2 由 f (x) 3x(x,a) 0 得x1 0，x2 a ? x ,-1，1,，1 a 2 ? 当x ,-1，0)时，f (x) 0，f(x)递增; 当x (0，1,时，f (x) 0，f(x)递减。8分 ? f(x)在区间,-1，1,上的最大值为f(0) ? f(0) b，? b=1 10分 ? f(1) 1,3333a,1 2,a，f(,1) ,1,a,1 ,a
29、2222 ? f(,1) f(1) ? f(,1)是函数f(x)的最小值， ? ,34a ,2 ? a 23 32? f(x)=x,2x,1 12分 15.已知函数f(x)=12x,ax + (a,1)lnx，a 1( 2 (?) 若a 2，讨论函数f(x)的单调性; 3(II)已知a =1，g(x) 2f(x),x，若数列an的前n项和为Sn g(n)，证明: 1111, , (n 2,n N,)( a2a3an3 解(?) 可知f(x)的定义域为(0, )(有 a,1x2,ax,a,1(x,1)x,(a,1) 2分 f(x) x,a, xxx 因为a 2，所以a,1 1( 故当1 x a,
30、1时f/(x) 0;当0 x 1或x a,1时f/(x) 0( 综上，函数f(x)在区间(1,a,1)上单调递减，在区间(0,1)和(a,1, )上单调增加. 6分 3232(II)由a 1，知g(x) x,x,2x，所以Sn n,n,2n( / 3n2,n,2, (n 2) 3n2,n,2( ,分 可得 an 0 , (n 1) 11 (n 2)( an(3n,2)(n,1) 11111 因为 (,) 11分 (3n,2)(n,1)3n(n,1)3n,1n 111111111所以 , , (1,),(,), ,(,) a2a3an3223n,1n 11111 (1,) ,3n33n3所以 综
31、上，不等式得证( 14分 16.已知f(x) 2ax,b1,lnx在x 1与x 处都取得极值。 x2 (I)求a，b的值; (?)若对x ,1时，f(x) c恒成立，求实数c的取值范围。 1 4 bb1,lnx, f(x) 2a,2, xxx b1 f(x) 2ax,lnx在x 1与x 处都取得极值 x2 2a,b,1 011，即a b ,-7分 f(1) 0，f() 0。 23 2a,4b,2 0解:(1) f(x) 2ax, 21x,lnx， 33x 211(2x,1)(x,1)1x 1令f(x) ,2, ,得或 0x 33xx3x22 1111 x ,1， f(x)在,上单调递减，在,1
32、上单调递增。-10分 4422(2)由(1)可知f(x) , 1711715f() ,ln4,f(1) ,而 f(),f(1) (,ln4),(,) ,ln4 1,ln4 0， 4634636 111所以f() f(1)，即f(x)在,1上的最大值为,。-15分 443 要使对任意x 1,4时，f(x) c恒成立，必须c ,。 1 3 13217.已知函数f (x),x，ax，bx， a , b R( 3 (?) 曲线C:y,f (x) 经过点P (1，2)，且曲线C在点P处的切线平行于直线y,2x ，1，求a，b的值; (?) 已知f (x)在区间 (1，2) 内存在两个极值点，求证:0,a
33、，b,2( (?)解: f (x),x,2ax,b， 2 2 1a , f(1) ,a,b 2, 3由题设知: 解得 6分 7. f(1) 1,2a,b 2, 3 3 b(?)解:因为f(x)在区间(1,2)内存在两个极值点 ， 所以f (x) 0，即x,2ax,b 0在(1,2)内有两个不等的实根( 2 f (1) 1,2a,b 0, f (2) 4,4a,b 0, 故 1 ,a 2, 2 4(a,b) 0. 由 (1)+(3)得a,b 0. 2(1)(2)(3)(4) 由(4)得a,b a,a， 因,2 a ,1，故a,a (a,),21 221 2，从而a,b 2. 4 所以0 a,b
34、2( 18.已知函数f(x)=12x-ax+(a-1)lnx，a 1。 2 (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)证明:若a 5，则对任意x1，x2 (0, )，x1 x2，有 解:(1)f(x)的定义域为(0, )。 f(x1),f(x2) ,1。x1,x2 a,1x2,ax,a,1(x,1)(x,1,a)f(x) x,a, 2分 xxx (i)若a,1 1即a 2,则来源:学#科#网 (x,1)2 f(x) x 故f(x)在(0, )单调增加。 (ii)若a,1 1,而a 1,故1 a 2,则当x (a,1,1)时，f(x) 0;来源:学科 网 当x (0,a,1)及x (1, )时，f
35、(x) 0 故f(x)在(a,1,1)单调减少，在(0,a,1),(1, )单调增加。 (iii)若a,1 1,即a 2,同理可得f(x)在(1,a,1)单调减少，在(0,1),(a,1, )单调增加. (II)考虑函数 g(x) f(x),x 12x,ax,(a,1)lnx,x 2 则g (x) x,(a,1),a,1 (a,1) 1,1)2 x由于1a5,故g (x) 0，即g(x)在(4, +?)单调增加，从而当x1 x2 0时有g(x1),g(x2) 0，即f(x1),f(x2),x1,x2 0，故f(x1),f(x2) ,1，当0 x1 x2x1,x2 时，有f(x1),f(x2)f
36、(x2),f(x1)?12分。 ,1?x1,x2x2,x1 lnx，其中e是自然常数，a R. x19(已知f(x) ax,lnx,x (0,e,g(x) (?)当a 1时, 研究f(x)的单调性与极值; (?)在(?)的条件下，求证:f(x) g(x),; 2 (?)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3,若存在，求出a的值;若不存在，说明理由( 解:(?) f(x) x,lnx，f (x) 1,11x,1 1分 xx ?当0 x 1时，f/(x) 0，此时f(x)单调递减 当1 x e时，f/(x) 0，此时f(x)单调递增 3分 ?f(x)的极小值为f(1) 1 4分 (?) f(x)的
37、极小值为1，即f(x)在(0,e上的最小值为1， ? f(x) 0，f(x)min 15分 1,lnx1lnx1,，h/(x) 令h(x) g(x), ， 6分 x22x2 当0 x e时，h (x) 0，h(x)在(0,e上单调递增 7分 1111?h(x)max h(e) , , 1 |f(x)|min 9分 e222 1?在(1)的条件下，f(x) g(x),10分 2 (?)假设存在实数a，使f(x) ax,lnx(x (0,e)有最小值3， 1ax,1 xx ? 当a 0时，x ,0,e ，所以f/(x) 0， 所以f(x)在(0,e上单调递减， 4， f(x)min f(e) ae
38、,1 3，a (舍去)e 所以，此时f(x)无最小值. 12分 111?当0 e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e上单调递增 aaa 1f(x)min f() 1,lna 3，a e2，满足条件. 14分 a 1? 当 e时，x ,0,e ，所以f/(x) 0， af/(x) a, 所以f(x)在(0,e上单调递减，f(x)min f(e) ae,1 3，a 4(舍去)， e 所以，此时f(x)无最小值. 15分 综上，存在实数a e2，使得当x (0,e时f(x)有最小值3 .16分 22(本小题满分14分) 设函数f(x)=|x+1|+|ax+1|，已知f(,1) f(1) ，且f
39、(,) f()(a?R，且1 a1a a?0)，函数g(x) ax3,bx2,cx(b?R，c为正整数)有两个不同的极值点，且该 函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。 (1)试求a、b的值; (2)若x 0时，函数g(x)的图象恒在函数f(x)图象的下方，求正整数c的值。 解析:(1) f(,1) f(1)，?,a 2,a,1 ? 又f(,) f()，?,1 a1a11 ,1,2，即,a 2a,a, ? aa 由?得a 1， a 1(又 a 1时，?、?不成立，故 a ,1(-2分 ?g(x) ,x3,bx2,cx，设x1、x2是函数g(x)的两个极值点，则x1、x2是方程
40、g/(x) ,3x2,2bx,c=0的两个根， 4b2,12c 0(c为正整数)， 322b,x13,bx12,cx1,x2,bx2,cx2?x1+x2=，又? A、O、B三点共线， =， 3x1x2 ?(x1,x2),(x1,x2),b=0，又?x1?x2，?b= x1+x2= 分 2b，?b=0(-63 (2) x 0时，f(xm )， 2-7分 由g/(x) ,3x2,c 0得x 上单 g(x )在上单调递增，在, ) 调递减， g(x)极大值 g -9分 1?由得c 3, c的值为1或2(?c为正整数) -112分 1时，记g(x )在x 上切线斜率为2的切点的横坐标为x0， g(x0
41、) f(x0)， c,2 c,2,得c 2,与c 3矛盾( 3则由g/(x) ,3x2,c 2得x0 ,x03,cx0 2x0, x02 c,2, (或构造函数h,x, 2x,g,x,在x 1上恒正) 综上，所求c的值为1或2( 222.已知函数f(x),x，bsinx,2(b?R)，F(x),f(x)，2，且对于任意实数x，恒有F(x) ,F(,x),0. (1)求函数f(x)的解析式; (2)已知函数g(x),f(x)，2(x，1)，alnx在区间(0,1)上单调递减，求实数a的取值范围( 22解:(1)F(x),f(x)，2,x，bsinx,2，2,x，bsinx， 依题意，对任意实数x
42、，恒有F(x),F(,x),0. 22即x，bsinx,(,x),bsin(,x),0， 即2bsinx,0， 所以b,0， 2所以f(x),x,2. 2(2)?g(x),x,2，2(x，1)，alnx， 2?g(x),x，2x，alnx， ag(x),2x，2，. x ?函数g(x)在(0,1)上单调递减， ?在区间(0,1)内， a2x2，2x，ag(x),2x，2，,?0恒成立， xx 2?a?,(2x，2x)在(0,1)上恒成立 . 2?,(2x，2x)在(0,1)上单调递减， ?a?,4为所求. 23.已知f(x) 2ax,b1,lnx在x 1与x 处都取得极值。 2x b的值; (?)若对x ,1时，f(x) c恒成立，求实数c (I)求a，的取值范围。 1 4 bb1,lnx, f(x) 2a,2, xxx b1 f(x) 2ax,l