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1、DOC-高中数学函数知识点总结(经典收藏)高中数学函数知识点总结(经典收藏) 高中数学函数知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如:集合A x|y lgx ，B y|y lgx ，C (x,y)|y lgx ，A、B、C 中元素各表示什么, A表示函数y=lgx的定义域，B表示的是值域，而C表示的却是函数上的点的轨迹 2 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如:集合A x|x2,2x,3 0，B x|ax 1 若B A，则实数a的值
2、构成的集合为 (答: ,1，0， 1 ) 3 显然，这里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一个元素。故B只能是-1或者3。根据条件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 这里千万小心，还有一个B为空集的情况，也就是a=0,不要把它搞忘记了。 3. 注意下列性质: n(1)集合 a1，a2，an 的所有子集的个数是2; 要知道它的来历:若B为A的子集，则对于元素a1来说，有2种选择(在或者不在)。同样，对于元素a2, a3,an,都有2种选择，所以，总共有2种选择， 即集合A有2个子集。 当然，我们也要注意到，这2种情况之中，包含了这n个元素全部在何全部不在的情况，故真子集个数为2,1，非空
3、真子集个数为2,2 nnnnn (2)若A B A B A，A B B; (3)德摩根定律: CU,A B, ,CUA, ,CUB,，CU,A B, ,CUA, ,CUB, 有些版本可能是这种写法，遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗,(排除法、间接法) 如:已知关于x的不等式 的取值范围。 (?3 M，?a?3,5 32ax,5x,a2 0的解集为M，若3 M且5 M，求实数a ,a 0 5 a 1， ,9，25,) 3 0 ?5 M，?a?5,5 52,a 注意，有时候由集合本身就可以得到大量信息，做题时不要错过; 如告诉你函数f(x)=ax2+bx+c(a0) 在(, ,1)
4、上 单调递减，在(1, )上单调递增，就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者，我说在上 ，也应该马上可以想到m，n实际上就是方程 的2个根 5、熟悉命题的几种形式、 可以判断真假的语句叫做命题，逻辑连接词有“或”( )，“且”( )和“非”( ). 若p q为真，当且仅当p、q均为真 若p q为真，当且仅当p、q至少有一个为真 若 p为真，当且仅当p为假 命题的四种形式及其相互关系是什么, (互为逆否关系的命题是等价命题。) 原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考) A x|x满足条件p，B x|x满足条件q， 若 ;则p是q的充分非必要条件
5、A_B; 若 ;则p是q的必要非充分条件 A_B; 若 ;则p是q的充要条件 A_B; 若 ;则p是q的既非充分又非必要条件 _ 应能构成映射, (一对一，多对一，允许B中有元素无原象。) 注意映射个数的求法。如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。 如:若A 1,2,3,4，B a,b,c;问:A到B的映射有 个，B到A的映射有 个;A到_; 7. 对映射的概念了解吗,映射f:A?B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对B的函数有个，若A 1,2,3，则A到B的一一映射有个。 函数y (x)的图象与直线x a交点的个数为 个。 8.
6、函数的三要素是什么,如何比较两个函数是否相同, (定义域、对应法则、值域) 相同函数的判断方法:?表达式相同;?定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型, 例:函数y 函数定义域求法: x,4,x,lg,x,3,2的定义域是 (答:0，2 2，3 3，4) ,分式中的分母不为零; 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 指数式的底数大于零且不等于一; 数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 正切函数y tanx x R,且x k ,对 ,k 2 余切函数y cotx ,x R,且x k ,k 反三角函数的定义域 , 函数y,arcsinx的定义域是 ,1, 1 ，
7、值域是，函数y,arccosx的定义域是 ,1, 1 ，值域是 0, ，函数y,arctgx的定义域是 R ，值域是.，函数y,arcctgx的定义域是 R ，值域是 (0, ) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域, 如:函数f(x)的定义域是a，b，b ,a 0，则函数F(x) f(x),f(,x)的定 义域是_。 (答:a，,a) 复合函数定义域的求法:已知y f(x)的定义域为 m,n ，求y f g(x) 的定义域，可由m g(x) n解出x的范围，即为y f g(x
8、) 的定义域。 例 若函数y f(x)的定义域为 1 ，则f(log 2,2 2x)的定义域为。 分析:由函数y f(x)的定义域为1 1 x 2;所以y f(log可知:x)中有,22 2 2 1 2 log2x 2。 解:依题意知: 1 2 log2x 2 解之，得 ? f(log2 x 4 2x)的定义域为x| 2 x 4 11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例 求函数y= 2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 1x的值域 例、求函数y=x-2x+5，x -1，2的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中
9、有一个是二次)都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂 a. y b. y bk+xx222型:直接用不等式性质bx型,先化简，再用均值不等式 1 x+1 x 12,mx,nx1+x2 例:y c. y d. y xx22,m x,n ,mx,n x,n,mx,nx2型 通常用判别式型 法一:用判别式 法二:用换元法，把分母替换掉 例:y x2,x,1 x,1(x+1),(x+1)+1 1 (x+1),1 2,1 1x,1x,12 4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
10、 例 求函数y= 5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 3x,45x,6值域。 例 求函数y=e,1 e,1 exx，y 2sin ,11,sin 0 1,y 2,y，y 2sin ,11,cos 的值域。 y y y eexx,1,1x 1,y1,y2sin ,11,sin 2sin ,1 1,cos |sin | | 1, 2sin ,1 y(1,cos ) 2sin ,ycos 1,y ( ,x) 1,y,即sin( ,x) 又由sin( ,x) 1知 1 解不等式，求出y，就是要求的答案
11、 6、函数单调性法 通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 例求函数y= 7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 2x,5,log3x,1(2?x?10)的值域 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数y=x+ 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例:已知点P(x.y)在圆x2+y2=1上， x,1的值域。 (1)y x,2的取值范围 (2)y-2x的取值范围 解:(1
12、)令 d R(d为圆心到直线的距离,R为半径) (2)令y-2x b,即y,2x,b 0,也是直线d d R 例求函数y=yx,2 k,则y k(x,2),是一条过(-2,0)的直线. (x,2)2+(x,8)2的值域。 解:原函数可化简得:y=?x-2?+?x+8? 上式可以看成数轴上点P(x)到定点A(2)，B(-8)间的距离之和。 由上图可知:当点P在线段AB上时， y=?x-2?+?x+8?=?AB?=10 当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时， y=?x-2?+?x+8?,?AB?=10 故所求函数的值域为:10，+?) 例求函数y= x2,6x,13+ x2,4x,5的值域 解
13、:原函数可变形为:y=(x,3)2,(0,2)2+(x,2)2,(0,1)2 上式可看成x轴上的点P(x，0)到两定点A(3，2)，B(-2，-1)的距离之和， 由图可知当点P为线段与x轴的交点时， ymin=?AB?=故所求函数的值域为(3,2)2,(2,1)2=43， 43，+?)。 注:求两距离之和时，要将函数 9 、不等式法 利用基本不等式a+b?2ab，a+b+c?33abc(a，b，c?R,)，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例: =x2 x2,2x,(x 0)1x,1x 3 (应用公式a+
14、b+c ，注意使3者的乘积变成常数) x(3-2x)(0x1.5)2 =x x (3-2x) (x,x+3-2x 3 3)3 13 (应用公式abc (a,b,c)时，应注意使3者之和变成常数) 倒数法 有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况 例 求函数y=x,2 x,3 的值域 y 1 212x,2 0时，1y 2 0 y x,2 0时，y=0 0 y 多种方法综合运用 总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 12. 求一个函数的解析式或一个
15、函数的反函数时，注明函数的定义域了吗, 切记:做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错 误，与到手的满分失之交臂 如:f,x,1 e,x，求f(x). x,1，则t 0 2,x 令t ?x t,1 t,12 ?f(t) e,t,1 ,x,1,x 0, 22 ?f(x) ex,12 13. 反函数存在的条件是什么, (一一对应函数) 求反函数的步骤掌握了吗, (?反解x;?互换x、y;?注明定义域) 1,x 如:求函数f(x) 2 ,x (答:f,1,x 0,x 0,) 的反函数 x,1(x) ,x,x 1, 0, ,x 在更多时候，反函数的求
16、法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。请看这个例题: (2004.全国理)函数y A(y=x2,2x+2(x1) C(y=x2,2x (x=1. 排除选项C,D.现在看值域。原函数至于为y=1,则反函数定义域为x=1, 答案为B. 我题目已经做完了， 好像没有动笔(除非你拿来写*书)。思路能不能明白呢, 14. 反函数的性质有哪些, 反函数性质: 1、 2、 3、 反函数的定义域是原函数的值域 (可扩展为反函数中的x对应原函数中的y) 反函数的值域是原函数的定义域(可扩展为反函数中的y对应原函数中的x) 反函数的图像和原函数关于直线=x对称(难怪点(x,y)和点(y，x
17、)关于直线y=x对称 ?互为反函数的图象关于直线y,x对称; ?保存了原来函数的单调性、奇函数性; ?设y f(x)的定义域为A，值域为C，a A，b C，则f(a)=b f f,1,1(b) a f(a) f,1(b) a，ff ,1(b) f(a) b 由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如 (04. 上海春季高考)已知函数f(x) log3( 15 . 如何用定义证明函数的单调性, (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义，设任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之间的大小关系 可以变形为求4x,2)，则方程f,1(x) 4的解x
18、 _. f(x1),f(x2) x1,x2的正负号或者f(x1)f(x2)与1的关系 (2)参照图象: ?若函数f(x)的图象关于点(a，b)对称，函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间具有相同的单调性; (特例:奇函数) ?若函数f(x)的图象关于直线x,a对称，则函数f(x)在关于点(a，0)的对称区间里具有相反的单调性。(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: ?函数f(x)与f(x)，c(c是常数)是同向变化的 ?函数f(x)与cf(x)(c是常数)，当c,0时，它们是同向变化的;当c,0时，它们是反向变化的。 ?如果函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)，f2(x
19、)和它们同向变化;(函数相加) ?如果正值函数f1(x)，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数f1(2)与f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们反向变化;(函数相乘) ?函数f(x)与 1f(x) 在f(x)的同号区间里反向变化。 ?若函数u,(x)，x，与函数y,F(u)，u?()，()或u?(),()同向变化，则在， 上复合函数y,F(x)是递增的;若函数u,(x),x，与函数y,F(u)，u?()，()或u? ()，()反向变化，则在，上复合函数y,F(x)是递减的。(同增异减) ?若函数y,f(x)是严格单调的，则其反函数x,f,1(
20、y)也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。 如:求y log1,x,2x的单 2 , 2 , (设u ,x,2x，由u 0则0 x 2 且log1u ，u ,x,1,1，如图: 2 2 2 当x (0，1时，u ，又log1u ，?y 2 当x 1，2)时，u ，又log1u ，?y 2 ?) 16. 如何利用导数判断函数的单调性, 在区间a，b内，若总有f(x) 0则f(x)为增函数。(在个别点上导数等于 , 零，不影响函数的单调性)，反之也对，若f(x) 0呢, 如:已知a 0，函数f(x) x,ax在1，, 上是单调增函数，则a的最大 值是( ) A. 0 2 3 , (令f(x) 3
21、x,a 3 x, a x,3 a 0 3 则x , a3 或x a3 由已知f(x)在1，, )上为增函数，则 ?a的最大值为3) 17. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么, (f(x)定义域关于原点对称) a3 1，即a 3 若f(,x) ,f(x)总成立 f(x)为奇函数 函数图象关于原点对称 若f(,x) f(x)总成立 f(x)为偶函数 函数图象关于y轴对称 注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 (2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点，则f(0) 0。 如:若f(x) a?2,a,
22、2 2,1 x x 为奇函数，则实数a (?f(x)为奇函数，x R，又0 R，?f(0) 0 即 a?2,a,2 2,1 0，?a 1) 又如:f(x)为定义在(,1，1)上的奇函数，当x (0，1)时，f(x) 2 x x 4,1 ， 求f(x)在,1，1,上的解析式。 (令x ,1，0，则,x 0，1，f(,x) , 24 xx,x ,x ,1 又f(x)为奇函数，?f(x) , 24 ,x ,x ,1 , 2 1,4 x 2, x 4,1 又f(0) 0，?f(x) x 2 x 4,1 x (,1，0)x 0x ,0，1, ) 判断函数奇偶性的方法 一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函
23、数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法 在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算f(,x)，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)f(-x)f(x)f(-x) 1 偶函数 ,1 奇函数 三、 复合函数奇偶性 18. 你熟悉周期函数的定义吗, (若存在实数T(T 0)，在定义域内总有f,x,T, f(x)，则f(x)为周期 函数，T是一个周期。) 如:若f,x,a, ,f(x)，则 (答:f(x)
24、是周期函数，T 2a为f(x)的一个周期) 我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况:告诉你f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推 f(x) f(x,2t)， 导: f(x,t),f(x,2t) 0 同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数f(x)关于直线对称， 对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者说f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线x=a对称。 又如:若f(x)图象有两条对称轴x a，x b即f(a,x) f(a,x)，f(
25、b,x) f(b,x) f(x) f(2a,x) f(2a,x) f(2b,x) f(x) f(2b,x) 令t 2a,x,则2b,x t,2b,2a,f(t) f(t,2b,2a)即f(x) f(x,2b,2a) 所以,函数f(x)以2|b,a|为周期(因不知道a,b的大小关系,为保守起见,我加了一个绝对值 f(x),f(x,t) 0 如: 19. 你掌握常用的图象变换了吗, f(x)与f(,x)的图象关于y轴对称 联想点(x,y),(-x,y) f(x)与,f(x)的图象关于x轴对称 联想点(x,y),(x,-y) f(x)与,f(,x)的图象关于原点对称 联想点(x,y),(-x,-y)
26、 f(x)与f,1(x)的图象关于直线y x对称 联想点(x,y),(y,x) f(x)与f(2a,x)的图象关于直线x a对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f(x)与,f(2a,x)的图象关于点(a，0)对称 联想点(x,y),(2a-x,0) y f(x,a)左移a(a 0)个单位 将y f(x)图象 y f(x,a)右移a(a 0)个单位 y f(x,a),b上移b(b 0)个单位 y f(x,a),b下移b(b 0)个单位 (这是书上的方法，虽然我从来不用， 但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a)怎么由y=f(x
27、)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。 看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。) 注意如下“翻折”变换: f(x) |f(x把)|轴下x方的图像翻到上面 f(x) f(|x把|)轴右y方的图像翻到上面 如:f(x) log2,x,1, 作出y log2,x,1,及y log2x,1的图象 y=log2x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗, (1)一次函数:y kx,b,k 0, (k为斜率，b为直线与y轴的交点) (2)反比例函数:y 的双曲线。 kx ,k 0,推广为y b, kx,a 2 ,k 0,是中心O(a，b) b 2 (3)二次函数y a
28、x,bx,c,a 0, a x, 2a 2 b4ac,b b 顶点坐标为 , ， ，对称轴x , 2a4a2a 2 , 4ac,b4a 2 图象为抛物线 开口方向:a 0，向上，函数ymin 4ac,b 4a 2 a 0，向下，ymax 2a ca 4ac,b4a 根的关系:x x1,x2 , ba ,|x1,x2| |a| ,x1 x2 二次函数的几种表达形式:f(x) ax 2 ,bx,c(一般式) 2 f(x) a(x,m),n(顶点式，(m，n)为顶点 f(x) a(x,x1)(x,x2)(x1,x2是方程的2个根)f(x) a(x,x1)(x,x2),h(函数经过点(x1,h)(x2
29、,h) 应用:?“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系二次方程 ax,bx,c 0， 0时，两根x1、x2为二次函数y ax,bx,c的图象与x轴 的两个交点，也是二次不等式ax,bx,c 0( 0)解集的端点值。 ?求闭区间,m，n,上的最值。 区间在对称轴左边(n , b2ab2ab2a ) fmax ) fmax m) mfaxm( f(n), ( ) f(m),ff(n),f m inm in ff n(m( ) 2 22 区间在对称轴右边(m ,区间在对称轴2边 (n , fmin 4ac,b 4a 2 ,fma x 也可以比较m,n和对称轴的关系，距 离越远，值越大(
30、只讨论a 0的情况) ?求区间定(动)，对称轴动(定)的最值问题。 ?一元二次方程根的分布问题。 0 b2 k 如:二次方程ax,bx,c 0的两根都大于k ,2a f(k) 0 一根大于k，一根小于k f(k) 0 0 b n m , 在区间(m，n)内有2根 2a f(m) 0 f(n) 0在区间(m，n)内有1根 f(m)f(n) 0 (4)指数函数:y a x ,a 0，a 1, , , (5)对数函数y logaxa 0，a 1 由图象记性质 (注意底数的限定) ax(a1) (6)“对勾函数”y x, kx ,k 0, 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么,(均值
31、不等式一定要注意等号成立的条件) x 20. 你在基本运算上常出现错误吗, 指数运算:a m 1(a 0)，a ,mn ,p 1a p (a 0) a n a m (a 0)，a 1 a m (a 0) 对数运算:logM( Na loga ) logM,a laoNg, 1n M ，0N , MN logM,logN，logaaa logax M logM a 对数恒等式:a x 对数换底公式:logb a logbclogac loamgb n nm laobg logx a 1logax 21. 如何解抽象函数问题, (赋值法、结构变换法) 如:(1)x R，f(x)满足f(x,y) f
32、(x),f(y)，证明f(x)为奇函数。 (先令x y 0 f(0) 0再令y ,x，) (2)x R，f(x)满足f(xy) f(x),f(y)，证明f(x)是偶函数。 (先令x y ,t f (,t)(,t) f(t?t) ?f(,t),f(,t) f(t),f(t) ?f(,t) f(t) (3)证明单调性:f(x2) f,x2,x1,x2 (对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了 1、 2、 3、 几类常见的抽象函数 1. 2. 正比例函数型的抽象函数 幂函数型的抽象函数 f(x),xa-f(xy), f(x)f(y);f(代y=x， 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
33、 求奇偶性，令y=x;求单调性:令x+y=x1 f(x),kx(k?0)-f(x?y),f(x)?f(y) xy ), f(x)f(y) 3. 指数函数型的抽象函数 f(x),ax- f(x，y),f(x)f(y);f(x,y), f(x)f(y) 4. 对数函数型的抽象函数 f(x),logax(a0且a?1)-f(x?y),f(x)，f(y);f(5. f(x),tgx- f(x，y),三角函数型的抽象函数 xy ), f(x),f(y) f(x),f(y)1,f(x)f(y) f(x),cotx- f(x，y), f(x)f(y),1f(x),f(y) 例1已知函数f(x)对任意实数x、
34、y均有f(x，y),f(x)，f(y)，且当x0时，f(x)0，f(,1), ,2求f(x)在区间,2,1上的值域. 分析:先证明函数f(x)在R上是增函数(注意到f(x2),f(x2,x1)，x1,f(x2,x1)，f(x1);再根据区间求其值域. 例2已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x，y)，2,f(x)，f(y)，且当x0时，f(x)2，f(3), 5，求不等式 f(a2,2a,2)0,x?N;?f(a，b), f(a)f(b)，a、b?N;?f(2),4.同时成立,若存在，求出f(x)的解析式，若不存在，说明理由. 分析:先猜出f(x),2x;再用数学归纳法证明. f(0);
35、对任意值x，判断f(x)值的符号. x1x2 ?x2),f( x1x2 )f(x2); 分析:(1)令x= y,0;(2)令y,x?0. 例6设f(x)是定义在(0，?)上的单调增函数，满足f(x?y),f(x)，f(y)，f(3),1，求: (1) (2) f(1); 若f(x)，f(x,8)?2，求x的取值范围. 分析:(1)利用3,13; (2)利用函数的单调性和已知关系式. 例7设函数y, f(x)的反函数是y,g(x).如果f(ab),f(a)，f(b)，那么g(a，b),g(a)?g(b)是否正确，试说明理由. 分析:设f(a),m，f(b),n，则g(m),a，g(n),b， 进
36、而m，n,f(a)，f(b), f(ab),f g(m)g(n). 例8已知函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件: ? x1、x2是定义域中的数时，有f(x1,x2), f(x1)f(x2),1f(x2),f(x1) ; ? ? 试问: (1) (2) (3) f(a), ,1(a,0，a是定义域中的一个数); 当0,x,2a时，f(x),0. f(x)的奇偶性如何,说明理由; 在(0，4a)上，f(x)的单调性如何,说明理由. 先证明f(x)在(0，2a)上是增函数，再证明其在(2a，4a)上也是增函数. 分析:(1)利用f ,(x1,x2), ,f (x1,x2)，判定f(
37、x)是奇函数; 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例9已知函数f(x)(x?0)满足f(xy),f(x)，f(y)， (1) (2) (3) 求证:f(1),f(,1),0; 求证:f(x)为偶函数; 若f(x)在(0，?)上是增函数，解不等式f(x)，f(x, 12 )?0. 分析:函数模型为:f(x),loga|x|(a,0) (1) (2) (3) 例10已知函数f(x)对一切实数x、y满足f(0)?0，f(
38、x，y),f(x)?f(y)，且当x,0时，f(x),1，求证: (1) (2) (3) 当x,0时，0,f(x),1; f(x)在x?R上是减函数. 受指数函数单调性的启发: 先令x,y,1，再令x,y, ,1; 令y, ,1; 由f(x)为偶函数，则f(x),f(|x|). 分析:(1)先令x,y,0得f(0),1，再令y,x; 由f(x，y),f(x)f(y)可得f(x,y), f(x)f(y) ， 进而由x1,x2，有 f(x1)f(x2) ,f(x1,x2),1. 练习题: 1.已知:f(x，y),f(x)，f(y)对任意实数x、y都成立，则( ) (A)f(0),0 (B)f(0)
39、,1 (C)f(0),0或1 (D)以上都不对 2. 若对任意实数x、y总有f(xy),f(x)，f(y)，则下列各式中错误的是( ) (A)f(1),0 (B)f( 1x （5）二次函数的图象与yax2的图象的关系：), f(x) 集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。(C)f( xy 115.75.13加与减（二）2 P61-63 数学好玩2 P64-67), f(x),f(y) (D)f(xn),nf(x)(n?N) 3.已知函数f(x)对一切实数x、y满足:f(0)?0，f(x
40、，y),f(x)f(y)，且当x,0时，f(x),1，则当x,0时，f(x)的取值范围是( ) 2、会数，会读，会写100以内的数，在具体情境中把握数的相对大小关系，能够运用数进行表达和交流，体会数与日常生活的密切联系。(A)(1，?) (B)(,?，1) (C)(0，1) (D)(,1，?) 4.函数f(x)定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有 f(x1,x2), 1、20以内退位减法。f(x1),f(x2)1,f(x1)f(x2) ，则f(x)为( ) (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 圆由两个条件唯一确定：一是圆心
41、（即定点），二是半径（即定长）。5.已知不恒为零的函数f(x)对任意实数x、y满足f(x，y)，f(x,y),2f(x)，f(y)，则函数f(x)是( ) (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 参考答案: 的图象可以由yax2的图象平移得到：（利用顶点坐标）1(A 2(B 3 (C 4(A 5(B 23. 你记得弧度的定义吗,能写出圆心角为，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗, 2、100以内的进位加法和退位减法。(l ?R，S扇 推论2:直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径；12 l?R 12 ?R) 2 (和三角形的 当a0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。面积公式很相似， 可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法)