最新DOC-高考数学二轮精品复习资料+专题03+数列教师版优秀名师资料.doc

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1、(DOC)-2012年高考数学二轮精品复习资料 专题03 数列(教师版)2012年高考数学二轮精品复习资料 专题03 数列(教师版) 2012届高考数学二轮复习资料 专题三 数列(教师版) 【考纲解读】 1.理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 【考点预测】 1.等差(比)数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题;难度

2、易、中、难三类皆有. 2.数列中an与Sn之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意: 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差(比)数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a1、d(或q)，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如

3、等比数列求和要注意q=1和q?1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如an与Sn的转化;将一些数列转化成等差(比)数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差(比)数列的定义，能正确使用定义和等差(比)数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数 1 形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7(数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【要点梳理】 1.证明数列 an 是等差数列的两种基本方法:(1)定义法:an,1,an d为常数;(

4、2)等差中项法:2an an,1,an,1(n 2). 2.证明数列 an 是等比数列的两种基本方法:(1)定义法: 2 an,1an (2) q(非零常数); 等差中项法:an an,1 an,1(n 2). 3.常用性质:(1)等差数列 an 中,若m,n p,q,则am,an ap,aq; (2)等比数列 an 中,若m,n p,q,则am an ap aq. 4.求和: (1)等差等比数列,用其前n项和求出; (2)掌握几种常见的求和方法:错位相减法、裂项相消法、分组求和法、倒序相加法; (3)掌握等差等比数列前n项和的常用性质. 【考点在线】 考点1 等差等比数列的概念及性质 在等差

5、、等比数列中，已知五个元素a1,an,n,d或q，Sn中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项a1和公差(或公比q)。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 (1)等差数列 an 中，若m,n p,q，则am,an ap,aq;等比数列an 中，若m,n p,q，则aman apaq . (2)等差数列 an 中，Sn,S2n ,Sn,S3n,S2n, Skn,Sk,n,1, 成等差数列。其中Sn S,S,Sn2,SnkS ,nn3 是等差数列的 前n项和;等比数列 an 中(q ,1)，S,Sn Sn是等比数列的前n项和; n2

6、kn1, 成等比数列。其中 (3)在等差数列 an 中，项数n成等差的项an也称等差数列. 2 (4)在等差数列 an 中，S2n,1 ,2n,1,an;S2n n,an,an,1, . 在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 例1. (2011年高考重庆卷理科11)在等差数列 an 中，a3,a7 37，则a2,a4,a6,a8 . 【答案】74 【解析】a2,a8 a4,a6 a3,a7 37，故a2,a4,a6,a8 2 37 74 【名师点睛】本题考查等差数列的性质. 【备考提示】:熟练掌握等差等比数列的

7、概念与性质是解答好本类题的关键 . 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若an,an,1 n,且a1 1;我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列 an 的通项. an ,an,an,1,an,1,an,2, ,a2,a1,a1 n,n,1, ,2,1 n,n,1,2 . 再看“逐商法”即an,1 an an an n,1且a1 1，可把各个商列出来求积。 aa n,1 2 a1 n,n,1,n,2, 2 1 n! an,1an,2a1 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与

8、等比数列的性质解决问题. 例2.(2011年高考四川卷文科9)数列an的前n项和为Sn，若a1=1, an+1 =3Sn(n ?1),则a6=( ) 3 (A)3 4 (B)3 4+1 (C) 4 (D)4+1 【答案】A 【解析】由题意，得a2=3a1=3.当n ?1时，an+1 =3Sn(n ?1) ?，所以an+2 =3Sn+1 ?， ?-?得an+2 = 4an+1 ，故从第二项起数列等比数列，则a6=3 4. 4 4 4 44 【名师点睛】本小题主要考查an与Sn的关系:a n S1 n=1 Sn,Sn,1 n 2 ，数列前n项和Sn和通 项an是数列中两个重要的量，在运用它们的关系

9、式an Sn,Sn,1时，一定要注意条件n 2， 求通项时一定要验证a1是否适合。解决含an与Sn的式子问题时，通常转化为只含an或者转化为只Sn的式子. 【备考提示】:递推数列也是高考的内容之一,要熟练此类题的解法,这是高考的热点. 练习2.(2011年高考辽宁卷文科5)若等比数列an满足anan+1=16n，则公比为( ) (A)2 (B)4 (C)8 (D)16 【答案】B 【解析】设公比是q，根据题意a1a2=16 ?，a2a3=162 ?，?，得q=16 .因为a12q=160, 2 a120，则q0，q=4. 考点3 数列的通项公式an与前n项和公式的应用 等差、等比数列的前n项和

10、公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式S n n a1,1,q1,q n , a11,q , a11,q q n (q 1)，因此可以改写为 Sn aq,b (a,b 0)是关于n的指数函数，当q 1时，Sn na1. 例3.(2011年高考江苏卷13)设1 a1 a2 a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是 【解析】由题意:1 a1 a2 a1q a2,1 a1q a2,2 a1q， a2 q a2,1,a2,1 q a2,2 2 2 3 4 【答案】A 【解析】通过8a2,a5 0

11、，设公比为q，将该式转化为8a2,a2q3 0，解得q=-2，带入 所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式. 考点4. 数列求和 例4. (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科20题) 已知an为等比数列，a1 1,a5 256;Sn为等差数列bn的前n项和，b1 2,5S5 2S8. (1) 求an和bn的通项公式; (2) 设Tn a1b1,a2b2, anbn，求Tn. 【解析】(1) 设an的公比为q,由a5 a1q,得q 4.所以an 4 设bn的公差为d，由5S5 2S8得d 所以bn b1,n,1,d 3n,1. (2) Tn

12、1 2,4 5,4 8 ,4n,14n,1. 32a1 32 2 3, ,3n,1,? n4Tn 4 2,4 5, ,4 22,3n,1,? n,1?-?得:3Tn ,2,3,4,4,.,4,4,3n,1, 2,3n,2, 4nn. 5 所以Tn n, 2 n2 4,. 3 3 【名师点睛】本小题主要考查等比等差数列的通项公式及前n项和公式、数列求和等基础知识，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. 【备考提示】:熟练数列的求和方法等基础知识是解答好本类题目的关键. 练习4. (2010年高考山东卷文科18) 已知等差数列 an 满足:a3 7，a5,a7 26. an 的前n项和为Sn.

13、(?)求an 及Sn;(?)令bn 1an,1 2 (n N,),求数列 bn 的前n项和Tn. 【解析】(?)设等差数列 an 的公差为d，因为a3 7，a5,a7 26，所以有 考点5 等差、等比数列的综合应用 解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用( 例5(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列an的首项a1 a (a R),设数列的前n项和为Sn，且 1S1 1S2 1S3 1a11Sn 1 a2 1 a4 成等比数列(?)求数列an的通项公式及Sn(?) 1a2 1a22 1a2n 记An ,., ，Bn 1a1

14、 ,., ，当n 2时，试比较An与Bn 的大小. 6 当n 2时，2 Cn,Cn,Cn, ,Cn n,1即1, 所以当a 0时，An Bn;当a 0时，An Bn . 2012n 1n,1 1, 12 n ; 【名师点睛】本小题主要考查等差等比数列的通项与前n项和等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力( 【备考提示】:熟练掌握等差等比数列的基础知识是解决本类问题的关键. 练习5.(2011年高考天津卷文科20) 已知数列 an 与 bn 满足bn,1an,bnan,1 (,2),1,bn n 3,(,1) 2 n,1 ,n N,且a1 2. (?)求a2,a3的值; (?)设

15、cn a2n,1,a2n,1,n N,证明 cn 是等比数列; (?)设Sn为 an 的前n项和,证明 S1a1 ,S2a2 , , S2n,1a2n,1 ,S2na2n n, 13 (n N). , 【解析】(?)由bn 3,(,1) 2 n,1 ,n N,可得 2,n是奇数nbn ,bn,1an,bnan,1 (,2),1, 1,n是偶数 7 当n=1时,a31,2a2 ,1,由a1 2,得a2 ,2 ; 当n=2时,2a2,a3 5,可得a3 8. (?)证明:对任意n N,a2n,1 2n,1,2a2n ,2 ,1-? 2a2n,a2n,1 2 2n ,1-? ?-?得: a2n,1,

16、a2n,1 3 2 2n,1 ,即c,1 n 3 2 2n,于是 cn,1c 4,所以 cn 是等比数列.n (?)证明:a, 1 2,由(?)知,当k N且k 2 时,a2k,1 a1,(a3,a1),(a5,a3), ,(a2k,1,a2k,3) =2+3(2+23 ,25 , ,2 2k,3 )=2+3 2(1,4 k,1 ) ,1 ,故对任意k, 1,4 2 2k N, , 由?得2 2k,1 ,2aa1,1 , 2k ,2 2k,1 ,1,所以2k 2 ,2 2k,k N, 因此,Sak2k (a1,a2),(a3,4), ,(a2k,1,a2k) 2 ,于是 S2k,1 S2k,a

17、2k k,12 ,2 2k,1 , k,1 2k,1 k S,2 2k 故 2k,1a, S2k= k,1,2 2k,1 a 2k 2 2k,1 , 12k,1 2 2k , k2 2k ,1 1, 14 k , k4k (4k , ,1) 2,2 所以 S1a, S2, , S2n,11 a2 a, S2nn N, ). 2n,1 a n, 12n 3 (【易错专区】 问题:已知Sn,求an时,易忽视n 1的情况 例. (2010年高考上海卷文科21) 已知数列 an 的前n项和为Sn，且Sn n,5an,85，n N* (1)证明: an,1 是等比数列; (2)求数列 Sn 的通项公式，

18、并求出使得Sn,1 Sn成立的最小正整数n. 8 【考题回放】 1.(2011年高考安徽卷文科7)若数列 an 的通项公式是an (,)g ,则(n, ) a,a ,La, ( ) (A) 15 (B) 12 (C ) , (D) , 【答案】A 【解析】法一:分别求出前10项相加即可得出结论; 法二:a1,a2 a3,a4 a9,a10 3，故a,a ,La, , .故选A. 2. (2011年高考江西卷文科5)设an为等差数列，公差d = -2，Sn为其前n项和.若 S10 S11，则a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 【答案】B 【解析】 S10 S11, a11 0a

19、11 a1,10d, a1 20 . 3. (2011年高考江西卷理科5)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn,Sm Sn,m，且 a1=1(那么a10=( ) A(1 B(9 C.10 D(55 9 【答案】A 【解析】因为Sn,Sm Sn,m,所以令n m 1,可得S2 2S1 2;令n 1,m 2,可得 S3 S1,S2 3;同理可得S4 2S2 4,S5 S2,S3 5,S9 S4,S5 9, S10 2S5 10,所以a10=S10,S9 1,故选A. 4. (2011年高考四川卷理科8)数列 an 的首项为3， bn 为等差数列且 bn an,1,an(n N*) .若则b3 ,2

20、，b10 12，则a8 ( ) (A)0 (B)3 (C)8 (D)11 【答案】B 【解析】由已知知bn 2n,8,an,1,an 2n,8,由叠加法 (a2,a1),(a3,a2), ,(a8,a7) ,6,4,2,0,2,4,6 0 a8 a1 3. 5( 2010年高考全国?卷文科4)已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5， a7a8a9=10，则 aaa=( ) (A) 【答案】A 【解析】由等比数列的性质知a1a2a3 (a1a3) a2 a2 5，a7a8a9 (a7a9) a8 a8 10, 1 3 5 3 1 3 3 3 所以a2a8 503, 所以a4a5a6 (

21、a4a6) a5 a (506) 6(2010年高考全国卷?文科6)如果等差数列 an 中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+,+a7=( ) (A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【答案】C a1,a2, ,a7 12 7 (a1,a7) 7a4 28 【解析】? a3,a4,a5 12 ，? a4 4 7.(2009年高考安徽卷理科第5题)已知 an 为等差数列，a1+a3+a5=105，a2,a4,a6=99， 以Sn表示 an 的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 ( ) 10 【解析】设公比为q,由已知得a1q a1q 2,a1q 2 8 4 ,即q 2 2,

22、因为等比数列an的公比为 正数，所以q , 故a1 a2q 2 ,选B 9(2009年高考湖南卷文科第3题)设Sn是等差数列 an 的前n项和，已知a2 3，a6 11，则S7等于( ) A(13 B(35 C(49 D( 63【答案】C 【解析】S7 7(a1,a7) 2 7(a2,a6) 2 7(3,11) 2 49.故选C. a2 a1,d 3 a1 1 或由 , a7 1,6 2 13. a a,5d 11d 2 1 6 所以S7 7(a1,a7) 2 7(1,13) 2 49.故选C. 10. (2009年高考福建卷理科第3题)等差数列an的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4，

23、则公差d等于( ) A(1 B 【答案】C 【解析】?S3 6 32 (a1,a3)且a3 a1,2d a1=4 d=2.故选C 53 C.- 2 D 3 11 11(2009年高考江西卷理科第8题)数列an的通项an n(cos项和为Sn，则S30为( ) 22 n 3 ,sin 2 n 3 其前n)， A(470 B(490 C(495 D(510 【答案】A 【解析】由于cos 1,22 2 2 2 n 3 2 ,sin 2 2 n 3 2 以3 为周期,故 S30 (, 10 ,3),(, 4,52 2 ,6), ,(, 2 28,29 25 22 ,30) 2 , k 1 (3k,2

24、),(3k,1) 2 210 ,(3k) 2 9k,2 k 1 9 10 11 2 ,25 470故选A 12.(2011年高考湖北卷文科9)九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子，自下而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( ) A. 1升 【答案】D 【解析】设9节竹子的容积从上往下依次为a1,a2,a9，公差为d，则有a1+a2+a3+a4=3, a7+a8+a9=4,即4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得:a5 6766 B. 6766 升 C. 4744 升 D. 3733 升 ，所以选B., 13. (2011年高考湖南

25、卷理科12)设Sn是等差数列 an ,n N ,的前n项和，且a 1 1， a4 7，则S5 【答案】25 【解析】 因为a1 1，a4 7，所以d 2，则S5 5a1, 5 42 d 25.故填25 14. (2011年高考广东卷理科11)等差数列 an 前9项的和等于前4项的和.若 a1 1,ak,a4 0，则k . 【答案】10 9 84 3 d 4,d 9, 【解析】由题得 22 1,(k,1)d,1,3d 0 16 d ,k 10. 12 【解析】an n(n,4)()则 3 2 n an,1an 2n,1 (n,1)(n,5)() 2(n,1)(n,5) 2n3n(n,4) n(n

26、,4)() 3 于是2n(, an,1an 1n),(,5)nn3,( 2 4,n) 2 10 0得 n ，则令,n1,0 2 n 4时递增，令,n,10 0得n 1，则an,1an 故n 4 1，n 4时递减， 是最大项，即k 4. 17. (2011年高考江西卷文科21) (本小题满分14分) (1)已知两个等比数列 an , bn ，满足a1 a,a 0,b1,a1 1,b2,a2 2,b3,a3 3， 若数列 an 唯一，求a的值; (2)是否存在两个等比数列 an , bn ，使得b1,a1,b2,a2,b3,a3,b4,a4成公差不为0 的等差数列,若存在，求 an , bn 的通

27、项公式;若不存在，说明理由( 【解析】(1) an 要唯一， 当公比q1 0时，由b1 1,a 2,b2 2,a2,b3 3,a3且b2 b1b3 ,2,aq1, ,1,a,3,aq1 2 2 2 , 2 , aq 21 ,4aq1,3a,1 0， a 0， aq1,4aq1,3a,1 0最少有一个根(有两个根时，保证仅有一个正根) ,4a,4a,3a,1, 0 4a,a,1, 0，此时满足条件的a有无数多个，不符合。 2 13 当公比q1 0时，等比数列 an 首项为a，其余各项均为常数0，唯一，此时由 ,2,aq1,2 综上:a ,1,a,3,aq1 , 2 , aq 21 ,4aq1,3

28、a,1 0，可推得3a,1 0,a 13 符合 13 。 (2)假设存在这样的等比数列 an , bn ,公比分别为q1，q2，则由等差数列的性质可得: ,b2,a2,b3,a3, ,b1,a1,b4,a4,，整理得:,b1,b3,q2,1, ,a1,a3,q1,1, 要使该式成立，则q2,1=q1,1 0 q1 q2 1或b1 b3 a1 a3 0此时数列b2,a2，b3,a3公差为0与题意不符，所以不存在这样的等比数列an , bn . 18. (2011年高考福建卷文科17)(本小题满分12分) 已知等差数列an中，a1=1，a3=-3. (I)求数列an的通项公式; (II)若数列an

29、的前k项和Sk=-35，求k的值. 【解析】(I)设等差数列an的公差为d,则an a1,(n,1)d,由a1 1，a3 ,3可得1,2d ,3，解得 d ,2,从而an 1,(n,1) (,2) 3,2n. (II)由(I)可知an 3,2n,所以Sn 2k,k ,35, 2 n1,(3,n2)2 2n,n,由Sk=-35，可得 2 即k,2k,35 0,解得k 7或k ,5,又k N,故k 7. 19(2011年高考湖南卷文科20)(本题满分13分) 某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元;从第7

30、年开始，每年初M的价值为上年初的75%( (I)求第n年初M的价值an的表达式; (II)设An a1,a2, ,an n ,若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对 2, M更新，证明:须在第9年初对M更新( 14 【解析】(I)当n 6时，数列an是首项为120，公差为,10的等差数列( Sn S6,(a7,a8, ,an) 570,70 780,210 () An n 3 n,6 3 3n,63n,6 4 1,() 780,210 ()444 . 因为an是递减数列，所以An是递减数列，又 38,639,6 780,210 ()780,210 () 4779A8 82 80,

31、A9 76 80, 864996 所以须在第9年初对M更新( 20. (2011年高考四川卷文科20)(本小题共12分) 已知,an,是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和. (?)当S1,S3,S4成等差数列时，求q的值; (?)当Sm，Sn，Si成等差数列时，求证:对任意自然数k,am,k,an,k,ai,k也成等差数列. 【解析】(?)当q 1时，S1 a,S3 3a,S4 4a，因为S1,S3,S4成等差数列，所以2 3a a,4a，解得a 0，因为a 0，故q 1; a(1,q)1,q 3 当q 1时，S1 a,S3 ,S4 a(1,q)1,q 4 ，由S1,S3,S

32、4 成等差数列得 15 2a(1,q)1,q 3 a, a(1,q)1,q 4 ，得q3,2q2,1 0，即,q,1,q,q,1, 0， q 2 1 2 . 21(2010年高考天津卷文科22)(本小题满分14分) 在数列 an 中，a1=0，且对任意k N，a2k,1,a2k,a2k+1成等差数列，其公差为2k. * (?)证明a4,a5,a6成等比数列;(?)求数列 an 的通项公式; (?)记Tn 2 2 a2 , 3 2 a3 , , n 2 an ，证明 32 2n,Tn (2n 2). 【解析】(I)证明:由题设可知，a2 a1,2 2，a3 a2,2 4，a4 a3,4 8， a

33、5 a4,4 12，a6 a5,6 18.从而 a6a5 a5a4 32 ，所以a4，a5，a6成等比数列. (II)解:由题设可得a2k,1,a2k,1 4k,k N* 所以a2k,1,a1 ,a2k,1,a2k,1,a2k,1,a2k,3,.,a3,a1, 4k,4,k,1,.,4 1 2k,k,1,k N*. 由a1 0，得a2k,1 2k,k,1, ，从而a2k a2k,1,2k 2k. 2 16 n2,1 n,n为奇数2 ,1,1n 2所以数列 an 的通项公式为an 或写为an ，n N*。 , n2 ,n为偶数24 2 (III)证明:由(II)可知a2k,1 2k,k,1,，a

34、2k 2k2， 以下分两种情况进行讨论: (1) 当n为偶数时，设n=2m,m N*, n 若m 1，则2n, k2 2， k 2ak 若m 2，则 n k2m,2k,2m,1 , ,2k,1,2m 4k2m,12 , 4k,4k,1 k 2a kk 1a2kk 1a2k,1k 12k2 k 12k,k,1, m,1m,1 2m, 4k2,4k,1 2 1 1 k 1k,k,1,2k,k,1,m,2,1 2 k 1 2 kk,1 2m,2,m,1,1 3 2 ,11 n2,1 m 2n. n2 所以2n, k3n ，从而3k2 k 2a k2,1n2 2n, 2,n 4,6,8,. k 2ak

35、 (2) 当n为奇数时，设n 2m,1,m N*,。 n2m k2k2,1,2,2m,1,2k 2a kk 2a,2m 4m,31 ka2m,12,2m,2m,m,1, 4m,1 2,131 2,m,1, 2n,2,n,1 n2n 所以2n, k 31k2 2,n 3,5,7,. k 2ak2,n,1，从而32 2n, k 2ak 综合(1)和(2)可知，对任意n 2,n N*,有3 2 2n,Tn 2. 22(2010年高考北京卷文科16)(本小题共13分) 已知|an|为等差数列，且a3 ,6，a6 0。 17 (?)求|an|的通项公式; (?)若等差数列|bn|满足b1 ,8，b2 a

36、1,a2,a3，求|bn|的前n项和公式 【解析】(?)设等差数列an的公差d。 23(2010年高考江西卷文科22)(本小题满分14分) 正实数数列an 中，a1 1，a2 5，且 an 2 成等差数列( (1)证明数列 an 中有无穷多项为无理数; (2)当n为何值时，an为整数，并求出使an,200的所有整数项的和( 【解析】证明:(1)由已知有:an 1,24(n, ， 1)，从而an 方法一:取n,1 24 2k,12 ，则an k N)( * 用反证法证明这些an都是无理数( 假设an k an必为正整数，且an 24， k k k k 故an,24 1(an,24 1，与(an,

37、24)(an,24) 1矛盾， 所以an 无理数; k N)都是无理数，即数列 an 中有无穷多项为 * 18 方法二:因为an,1 1,24n(n N)，当n得末位数字是3,4,8,9时，1,24n的末位数字是3和7，它不是整数的平方，也不是既约分数的平 2 方，故此时an,1 n有无穷多，故这种无理项an,1也有无穷多( (2)要使an为整数，由(an,1)(an,1) 24(n,1)可知:an,1,an,1同 为偶数，且其中一个必为3的倍数，所以有an,1 6m或an,1 6m当an 6m,1时，有an 36m,12m,1 1,12m(3m,1)(m N)又m(3m,1)必为偶数，所以a

38、n 6m,1(m N)满足 an 1,24(n,1)即n an 6m,1(m N)有 an 36m,12m,1 1,12m(3m,1)(m N)也满足 an 1,24(n,1)即n * 22 2 * * 2 2 2 m(3m,1) 2 ,1(m N)时，an为整数;同理 m(3m,1) 2 ,1(m N)时，an为整数;显然 * an 6m,1(m N)和an 6m,1(m N)是数列中的不同项;所以 当n m(3m,1) 2 ,1(m N)和n m(3m,1) 2 ,1(m N)时，an为 * 整数;由an 6m,1 200(m N)有0 m 33， 由an 6m,1 200(m N)有1

39、m 33( 设an中满足an 200的所有整数项的和为S，则 S (5,11, ,197),(1,7,13, ,199) * 5,1972 33, 1,1992 34 6733( 24. (2010年高考浙江卷文科19)(本题满分14分)设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0. (?)若S5=5，求S6及a1;(?)求d的取值范围. 19 【解析】(?)解:由题意知S6= -15S5 =-3, 5a1,10d 5, A6=S6-S5=-8所以 解得a1=7,所以S6= -3,a1=7 a,5d ,8. 1 (?)解:因为S5S6+15=0,

40、所以(5a1+10d)(6a1+15d)+15=0,即2a12+9da1+10d2 +1=0. 【解析】通过8a2,a5 0，设公比为q，将该式转化为8a2,a2q3 0，解得q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式 2(2010年高考安徽卷文科5)设数列an的前n项和Sn n，则a8的值为( ) (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64 【答案】A 【解析】a8 S8,S7 64,49 15. 3(2010年高考山东卷文科7)设 an 是首项大于零的等比数列，则“a1 a2”是“数列 an 是递增数列”的( ) (A)充分而不

41、必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】若已知a1a2，则设数列 an 的公比为q，因为a1a2，所以有a11,又a10，所以数列 an 是递增数列;反之，若数列an 是递增数列，则公比q1且a10， 2 20 所以a1a1q，即a1a2，所以a1a2是数列 an 是递增数列的充分必要条件。 4(2010年高考江西卷文科7)等比数列 an 中，a1 1，a5 ,8a2，a5,a2，则an A(,2)n,1 B(,(,2)n,1 C(,2)n D(,(, 2)n 5(2010年高考辽宁卷文科3)设Sn为等比数列 an 的前n项和，已知

42、3S3 a4,2， 3S2 a3,2，则公比q ( ) (A)3 【答案】B (B)4 (C)5 (D)6 【解析】两式相减得， 3a3 a4,a3，a4 4a3, q a4a3 4. 6(2010年高考广东卷文科4)已知数列an为等比数列，若a2? Sn是它的前n项和，a,2a,，且a4与2a7的等差中项为 54 ，则S5=( ) A(35 B(33 C(31 D( 29 7(2010年高考重庆卷文科2)在等差数列 an 中，a1,a9 10，则a5的值为( ) (A)5 (B)6 (C)8 (D)10 21 【答案】A 【解析】由角标性质得a1,a9 2a5，所以a5=5. 8(2010年

43、高考湖北卷文科7)已知等比数列am中，各项都是正数，且a1，等差数列，则 a9,a10a7,a8 ( ) 12 a3,2a2成 A.1,B. 1, C. 3, D3,【答案】 C 二(填空题: 13(2009年高考北京卷文科第10题)若数列an满足:a1 1,an,1 2an(n N)，则 a5 8项的和S8 .(用数字作答) , 【答案】255 【解析】a1 1,a2 2a1 2,a3 2a24,a4 2a3 8,a5 2a4 16， 2,12,1 8 易知S8 255. 14(2010年高考辽宁卷文科14)设Sn为等差数列an的前n项和，若S3 3，S6 24，则a9 。 【答案】15 3 2 S 3a,d 331 a1 ,1 2 【解析】由 ,解得 ， a9 a1,8d 15. d 26 5 S 6a,d 2461 2 22 15(浙江省温州市2011年高三第一次适应性测试理科)已知数列 an 是公比为q的等比数列，集合A a1,a2, ,a10，从A中选出4个不同的数，使这4个数成等比数列，这样得到4个数的不同的等比数列共有 ( 【答案】24 【解析】以公比为q的等比数列有a1,a2,a3,a4,a7,a8,a9,a10共7组; 以公比为q