《2019-2020学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年上海市杨浦区高三年级一模考试数学试卷.docx（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2019-2020学年上海市杨浦区高三一模考试数学试卷2019.12一.填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)11 .函数f(x)=x2的定义域为【答案】x (0,二)1【解析】f(x)=x21 =所以止义域为x(0, 二)2 .关于一的方程组宿黑的增广矩阵为2-11、J 3力【解析】根据增广矩阵的含义，所以是3 .已知函数f(x)的反函数f,(x)=1og2x,则f(1)=【答案】1211【解析】因为log21=-1,所以f(-1)=- 224 .设aWR, a2aa+(a+1)i为纯虚数(i为虚数单位)，则a =a - a - a - 0,所以a = 0或2a
2、 1 : 0【答案】a =0或2【解析】因为a2 aa+(a+1)i为纯虚数，所以5 .已知圆锥曲线的底面半径为1cm,侧面积为2ncm2,则母线与底面所成角的大3【解析】S = J(c为底面圆周长，l为母线长)，因为c = 2n所以1=2,所以母 2TT线与底面所成角的大小为一36 .已知(ax+1)7二项展开式中的x3系数为280,则实数a =【解析】T4 =C3 a3 =35a3 =280 ,所以 a=2227.椭圆土+匕=1焦点为f F2, P为椭圆上一点，若PFi =5,则cos/FiPF2 = 94【解析】因为 a =邪=3 , b = /4 = 2 ,所以 c = J9 一4 =
3、yf5，所以 F1(-V5,0),F2 (j75,0) , PF2 =2a-5 = 6-5=1, 所以 COS/F1PF2Q芯) =g2 1 55.n(n -2).8.已知数列Qn 的通项公式为an = 1 (n w N ) , Sn是数列an的前n n() (n_3)n2项和，则lim Sn =n - j.二【答案】721【解析】因为Sn =1 +2 + + + -,所以lim Sn =3+4r = 74 8n ：二 121 29.在直角坐标平面xOy中，A(-2,0), B(0,1),动点P在圆C : x2+y2 =2上，则一PA PB的取值范围为【答案】(2 - .10,2 .10)【解
4、析】因为x2+y2 =2 ,设P(T2cosdV2sin8),贝U PA(一2 /2cosd/2sin8) , PB = (-V2cos9,1 -V2sin0),PA PB=272cosH + 2cos28+2sin2 8 V2sinH ,T Lr-IPA PB =2 +2 J2cos -V2sin6 =2 +110sin(8 +中)，T T -PA PB (2 -、10, 2 、10)1 110.已知六个函数(1) y =-2- ; (2) y =cosx ; (3) y = x2 ; (4) y = arcsin x ;x(5) y=lg(3); (6) y=x+1,从中任选三个函数，则其
5、中弃既有奇函数又1 -X有偶函数的选法有一种。【答案】12【解析】奇函数有(4)(5),偶函数有(2),所以一共有两奇一偶2种，一奇两偶2种，一奇一偶8种，合计12种,一乙一一 “1，一、一 一、一I ,2,11 .已知函数 f (x) = 1 - (x 0),右关于 x 的方程 If (x) +mf(x) + 2m+3 = 0 有 x三个不相等的实数解，则实数 m的取值范围为【答案】m (-3,- 23【解析】设f(x)=t,则当xw (0,1)时，t有两个解，当xw1u1,y)时，t有一个解，因为t2+mt +2m+3=0有三个解，而一个一元二次方程最多两个解，因此这两个解一定一个在(0,
6、1),另一个在1=1,y),当另一个为x = 1时，两根之积为0 ,此时m = 3 ,而两根之和不可能为3 ,矛盾，因此另一个在1,+oc), 22f(0) 0 目口 2m 3 03 4因此 ，即 4,所以m=(-,f(1)0 3m 4 b,则在下列不等式中包成立的时（）A a2 b2B- 0 ,那么 z1z2B如果z1= z2,那么 z1 =z2【Q如果-z1 1 ,那么乙z2|Dl如果乙2+ Z22= 0 ,那么z1 = z2 = 0z2【答案】C【解析】A错，反例Zi =1 +iz =i , B错，反例Zi =1,z2 = i , D错，反例乙=1,z2 =i ,所以选C16 .对于全集
7、R的子集A ,定义函数fA（x） = 1 1（x= A）为a的特征函数，设a,b0（x CrA）为全集R的子集，下列结论中错误的是（）【AJ 若 A三 B ,则 fA（x）MfB（x）B储人（*） = 1 fA（x）Cl fA，、B（x） = fA（x） fB（x）Dl fB（x） = fA（x） + fB（x）【答案】D【解析】针对每个选项举例说明即可。D明显是错的，因为当xw A。B时，fAB（x）=1, fA（x） + fB（x） =1 +1 =2 ,不相等。三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+! 6+18=76分）17.如图，四棱锥 P ABCD,底面ABCD为矩形，PA_L
8、底面ABCD , AB=PA= 1 , AD=J3e,F分别为棱PD,PA的中点。（1） 求证：B,C,E,F四点共面P4【解析】（1）证明：Q底面ABCD为矩形 二ADPBC2 1、一，一）2 2又QE,F分别为PD,PA勺中点 ,EFPAD 二EFPBC B,C,E,F四点共面(2)如图建系，则 A(0,0,0) B(1,0,0) P(0,0,1) E (0,2 1则 PB = (1,0,-1) AE = (0,，一 2 2设异面直线PB与AE所成的角为u,则cosu=|PB AE|PB|AE|一异面直线PB与AE所成的角为arccosa18.已知函数f(x)=2x+r，其中a为实常数2
9、x(1)若f(0) =7 ,解关于x的方程f (x) =5(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由【答案】(1) a =6, *=1或唠23(2) a = -1时，为奇函数；a=1时，为偶函数a#1时，为非奇非偶函数【解析】 x 6 Q f(0) =7 . a = 6 . f (x) = 2x .f(x) =2x 摄=5 . (2x)2 5 2x 6 = 0 . 2x =2或3x =1 或 10g2 3 Q2x #0.xw R若f (x)为偶函数，则f(x)-f(-x)=0对于任意xW R恒成立a aa 111. 2x -2 x- -=02x -a 2x-=2x (1-a)-(1-a)=(1
10、-a) (2x-)=02 x2-x2 x2 x2 x2 x恒成立.a=1若f (x)为奇函数，则f(x)+f(-x)=0对于任意xw R恒成立x a-vaxax1x1x 1227+2 +2ax=02 亍+a 2 +/=2 (1+a)+2x (1+a)=(1 + a) (2 +，)=0恒成立. a=-1综上，当a=1时，f(x)为偶函数，当，a=-1时，f(x)为奇函数 当a#1, f(x)为非奇非偶函数19.东西向的铁路上有两个道口A,B,铁路两侧的公路分布如图，C位于A的南偏西15 ,且位于B的南偏东15方向，D位于A的正北方向， AC = AD = 2km,C处有一辆救护车欲通过道口前往
11、D处的医院送病人，发现北偏东 45方向的E处(火车头位置)又一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车与火车的速度均为60km/h。(1)判断救护车通过道口 A是否会受到火车影响，并说明理由(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应该选择A, B中的哪个道口？通过计算说明【答案】(1)会受影响，见解析(1) VEAC 中，/CAE=105,.E=45 , . ACE =30AE ACsin ACE sin EAE12(2)从B道口走，见解析,救护车到达道口 A需要 2km = 2min60 km h火车通过道口 A需要火车通过A道口时间为-2km +1=(、. 2+1)min 2
12、min60 km h所以，救护车通过道口 A会受影响(2)在 VABC 中，/B=/BAC=75 ,2ACB=30 , AC=BC=2上=2华 ab= .6 7sin B sin ACB . 6212.火车通过B道口的时间为 60f =褥，救护车通过 B道口的时间为2min二救护车通过 B道口时火车尚未到达，可以直接通过VABD 中，DB= Jab2 +AD2 =2J3-V3,二经B道口到达医院的总时间为 2+2 .3一 3 :4.25min由(1)得，救护车从 A道口走，通过时间为火车通过 A道口的时间(J2+1 ) min二经A道口到达医院的总时间为 J2+1 +24.41min所以，从B
13、道口去医院更快 20.如图，在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 C :y2 =4x得焦点为F，点A是第一象限内抛物线C上的一点，点D的坐标为(t,0), t 0(1)若|OA|= J5,求A点的坐标(2)若VAFD为等腰直角三角形，且 ZFAD=90 ,求点D的坐标(3)弦AB经过点D ,过弦AB上一点P作直线x = -t的垂线，垂足点为求证：“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“ P为弦AB的中点”。【答案】(1) A(1,2) (5+4夜,0) (3)证明见解析【解析】 设A点为(L,y),则|OA|=J(L)2+y2=J5,解得y2=4 44又QA在第一象限二A (1,2)t 1
14、 t-1(2) QF(1,0) D( t,0) ZFAD =90,易得t A1,由等腰直角三角形得，A (一,匚)22Q A在抛物线上，代入得t二54&, Qt1，t=5+4j2 QIab 过点 D (t,0),设 Iab： x = my+t 点 A(x1，y1)B(m y) AB 中点 P(x, y)22则 x1=也,x2= y-44一 1x = my+t2联立直线与抛物线得，2 2, y -4my-4t=0 , y1+y2=4m=2y0 ; y0=2my =4x设点A处抛物线得切线为x-x1=a( y - y1)x-Xi=a(yyi)2,22_ z x2, 、八联立得 2, y-4ay 4
15、(ay1-%) = 0 . V= (4a) -4 4(ay1 - x1) = 0y =4x2，(a-)2 =0/. a= - 二.过 A处抛物线得切线为 x-x= ( y y1)， 22422x)-2t 2 (my1 t)-2t 化间付 yyi =2 (x+x1) 田入 x=-t 得，Yq=2m = y0yiyi2二PQ Px轴，AQ与y =4x相切时，P为AB中点Q以上各步均可逆，二“直线QA与抛物线相切”的一个充要条件是“ P为弦AB的中点”。21.已知无穷数列 %的前n项和为Sn ,若对于任意的正整数 n ,均有& 0,S2n 0 ,则称数列an具有性质P。(1)判断首项为1,公比为-2
16、的无穷等比数列an是否具有性质P,并说明理由。(2)已知无穷数列an具有性质P,且任意相邻四项之和都相等，求证：S4=0b2n为奇数 2(3)已知bn =2n 1,nw n ,数列g是等差数列，a0=4/田花，cnn为偶数2若无穷数列 an具有性质P ,求C2019的取值范围。【答案】(1) an具有 f质 P (2)略(3) Y039, Y0371-(-2)*【解析】(1) & =(一L,(nN )二nW奇数时，&之0 n偶数时，Sn 0,烝 3具有性质P(2)Qan得任意相邻四项之和均相等a1+a2+a3+a4=a5+a6+a7+a8=an+an+an+2+an+3an = an+4即an
17、是以4为周期的数列设S4=aI+a2+a3+a4=m由an具有性质P得，S4=mW0假设S4=m 0 则Qan具有性质P* .-Si=a10, S4n=nm0 , S4n=nm+a10对任息的 n=N 恒成立，一 r, 一 一 ， 一 rr, 一 r_e *但n趋于无否大时，nm趋于负无否大，不可能S4n书=nm+a120对任意的nN 恒成立二假设不成立，,S4=m=02(3) Qcn为等差数列，不妨设 cn得前n项和为Wn=An + Bn又 Qbn =2n -1, anbn+ n为奇数-cnn为偶数2222S2n = b1+b2 +b3 +bn +C1+C2+C3 +cn = n +An +Bn=(A+1)n +BnE0恒成立222I”S2n-1 =bi + +0+G+ +Cn-i=n +A (n-1) +B (n-1)=(A+1)n - (2A-B) n+A B之0恒成立A 1 0S2n = Bn0B0r，S2n-1 =(B+2)n-B-10 B 之一2,且(B+2)-B-1=10.-2 B 0 Wn=-n2 + Bi_2 _2 _ C2019 =W2019 -W2018 - -20192 2019B 20182 -2018B = B -4037 -4039,-4037