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1、餐技小升初2019-2020学年通用版数学小升初总复习专题汇编讲练 专题20立体几何的体积和容积（二）园傕的体积体积公式二底面积X高小3（一）长方体1、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形） 相对的面面积相等，12条棱相对的4条棱长度相等。 有8个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。2、计算公式：s=2（ab+ah+bh） V=sh V=abh（二）正方体1、特征六个面都是正方形六个面的面积相等12条棱，棱长都相等有8个顶点正方体可
2、以看作特殊的长方体2、计算公式：S表=6a2 v=a 3（三）圆柱1、圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面之间的距离叫做高 。进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略的位上 的是4或者比4小，都要向前一位进1。这种取近似值的方法叫做进一法。2、计算公式：s fl=ch s 表=$侧+$ 底 x 2 v=sh/3（四）圆锥1、圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面， 竖直地量出平板和底面之间的距离。把圆锥的侧
3、面展开得到一个扇形。2、计算公式：v= sh/3（五）球1、认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面球和圆类似，也有一个球心，用 O表示。从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用r表示，每条半径都相等。通过球心并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用d表示，每条直径都相等，直径的长度等于半径的2倍，即d=2r。2、计算公式：d=2r四、周长和面积1、平面图形一周的长度叫做周长。2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。3、常见图形的周长和面积计算公式一.圆锥的体积一一一有阳精讲精练：【例1】(2019?广东)从正方体里削出一个最大的圆锥，圆锥的体积是cm3 ,正方体的体积是( )cm3.2A
4、. 12B. 8C. 6D. 4【解答】解：设正方体的棱长是acm ,则圆锥的底面直径和高都是acm ,则正方体的体积是：a a a a3(cm3)圆的体积是-(a 2)2 a -a- (cm3)312圆锥的体积是正方体的 一12正方体的体积是 一一 6(cm3) 2 12答：正方体的体积是 6cm3.故选：C .【变式1-1(2019春?方城县期中)把一个底面直径 6cm、高9cm的圆锥形木块，沿底面直径切成相同的两块后，表面积比原来增加了 ()平方厘米.A. 18B. 27C. 54【解答】解：6 9 2 227 254 （平方厘米）答：表面积比原来增加了 54平方厘米.【变式1-2（20
5、19春?交城县期中）用一个高是 36cm的圆锥形容器盛满油，倒入和它等底等高的圆柱形容器中，油面的高度是12 cm .136 12【解答】解：3（厘米）答：油面的高度是12厘米.故答案为：12.【变式1-3（2019?衡阳模拟）绕一个直角三角形（如图）的短直角边旋转一周，得到一个立体图形.（单 位：厘米）（1）这个立体图形是什么？（2）这个立体图形的体积是多少?5厘米，高是4厘米的圆锥.所以【解答】解：以直角三角形短直角边为轴旋转一周得到一个底面半径是 这个立体图形是圆锥.-3.14 52 4313.14 25 433143 （立方厘米），314答：这个立体图形的体积是3立方厘米.【变式1-4
6、（2019?安顺）一个圆锥形的沙石堆，底面积是188.4平方米，高15米.如果用这堆沙石铺路,公路宽10米.沙石厚2分米，能铺多少米长？ 【解答】解：2分米0.2米1-188.4 15 (10 0.2)942 2471 （米）答：能铺471米长.二.组合图形的体积习犒讲楠绒,如果把圆柱和圆锥重新分开，表【例2】（2019?益阳模拟）一个物体是由圆柱和圆锥黏合而成的（如图）面积就增加了 50.24cm 150.7225.12 6 150.72 50.24200.96 （立方厘米）答：原来这个物体的体积是200.96立方厘米. ,原来这个物体的体积是（）3226.08cm3C. 301.44cmD
7、.3401.92cm【解答】解：50.24 2 25.12 （平方厘米）125.12 6 - 25.12 (12 6)【变式2-1】用两根完全相同的圆柱形木料分别制作成右图中的两个模型（图中涂色部分），甲与乙的体积A.甲大B.乙大C.相等1【解答】解：底面积相同时，两个高为2的圆锥的体积之和，等于一个高为a的圆锥的体积；已知原来两个圆柱的体积相等，而空白处的图形的体积也相等，所以涂色部分的体积也相等，【变式2-2】（2014春?泸西县校级期末）如图是一个直角梯形，如果以AB边为轴旋转一周，会得到一个立体图形.这个立体图形是由圆柱 和 组成（填图形名称）.它的底面积是 平方厘米，体【解答】解：这
8、个立体图形由1个圆柱和1个圆锥组成,2.如果每立方米其底面积为：3.14 212.56 （平方厘米）；【解答】解：这个粮囤的底面积是:23.14 （4 2）3.14 412.56 （平方米）这个粮囤的体积是：112.56 2 12.56 1.5 325.12 6.2831.4 （立方米）这囤小麦的重量是：600 31.4 18840 （千克）.答：这个粮囤可囤粮食 18840千克.【变式2-4（2019?萧山区模拟）图形计算求立体图形的体积单位（分米）一 - 2一 2【解答】解：3.14 (20 2)(10 2) 153.14 100 25 153.14 75 1535323（立方分米），答：
9、这个立体图形的体积是3532.5立方分米.三.立体图形的容积【例3】（2019春?江城区期末）一个水池能蓄水33 -430m , 430m是这个水池的（A.表面积B.重量C.体积D.容积33【解答】解：一个水池能蓄水 430m , 430m是这个水池的容积.故选：D .3)是 60dm .【变式3-1（2015?遂溪县校级模拟）一个汽油桶可装汽油60dm3,它的（A .容积B .体积C .表面积【解答】解：一个汽油桶可装60升汽油，是指它的容积是 60升；故选：A .【变式3-2（2010?广州自主招生）有一种饮料的瓶身如图所示，容积是 3升.现在它里面装了一些饮料,正放时饮料高度为 20厘米
10、，倒放时空于部分的高度为5厘米.那么瓶内现有饮料2.4 升.【解答】解：饮料和空气的体积比是:20:54:1饮料有：43 3 0.8 2.44 1（升）答：瓶内现有饮料 2.4升.故答案为：2.4.【变式3-3（2013?福田区校级模拟）去超市买酸奶，发现一种酸奶采用长方体塑封纸盒包装，从外面量这种纸盒长6.4厘米，宽4厘米，高8.5厘米.这种酸奶盒上标注酸奶的净含量为220毫升，标注是否真实？【解答】解：6.4 4 8.5 217.6 （立方厘米） 217 （毫升）；答：盒子的体积是 217毫升，而净含量为 220毫升，不真实.【变式3-4】一个谷囤的形状如图，下面是圆柱形，底面周长是 18
11、.84米，高是2米；上面是圆锥形，高是1.5米.这个谷囤最多能装稻谷多少立方米?1223.14 (18.84 3.14 2) 1.5 3.14 (18.84 3.14 2)【解答】解：313.14 9 1.5 3.14 9 2314.13 56.5270.65 （立方米）；答：这个谷囤最多能装稻谷70.65立方米.真题强化演练选择题1. （2019?萧山区模拟）将直角三角形 ABC以BC为轴旋转一周，得到的圆锥体积是V,那么V （）AB 3 CA . 16B. 12C. 25D. 48【解答】解：142 331616答：体积是16 .故选：A .2. （2018春？平阴县期中）把一团圆柱体橡皮
12、泥揉成与它等底的圆锥体，高将 （）A .扩大3倍B .缩小3倍C.扩大6倍1【解答】解：根据等底等高的圆锥形的体积是圆柱形体积的3 ,又因为，在捏橡皮泥的过程中，它的总体积不变，3倍;所以，把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3. （2015春？平阳县校级期中）一个体积是3 .25.12cm的圆锥，半径是 2cm ,它的图是（A. 2B. 81225.12 (3.14 22)【解答】解：325.12 3 (3.14 4)75.36 12.56C. 66 （厘米），答：它白高是6厘米.4. （2014春？鹿城区校级月考）一个圆锥和一个圆柱的高相等，圆锥底面半径是1厘米，圆柱底面半径是
13、 2厘米，圆锥体积是圆柱体积的 （）B.1 C. 12D.【解答】解：设圆锥和圆柱的高为h厘米,1圆锥的体积：312h 1 h3（立方厘米），-2，,圆柱的体积： 2 h 4 h （立方厘米），h 4 h 312112答：圆锥的体积是圆柱体积的.填空题5. （2019?杭州模拟）如图是一个直角三角形，以6cm的直角边所在直线为轴旋转一周，所得到的图形是!锥，它的体积是【解答】解：以直角三角形的直角边（6厘米）为轴旋转一周得到一个底面半径是2厘米，高是6厘米的圆锥.123.14 22 633.14 82542 （立方厘米）答：得到的立体图形是圆锥，它的体积是25.12立方厘米.故答案为：圆锥、2
14、5.12.6. （2019?杭州模拟）计算下面圆锥的体积是350cm【解答】解:115 10 503（立方厘米），答：这个圆锥的体积是 50立方厘米.故答案为：50.7. （2019?衡水模拟）一个圆锥形零件的底面半径是4厘米，高是9厘米，它的体积是150.72 立方厘米.123.14 49【解答】解：31 3.14 16 93150.72 （立方厘米）答：它的体积是 150.72立方厘米.故答案为：150.72.8. （2019?萧山区模拟）下面，以直角三角形的斜边为轴旋转一圈，求所形成图形的体积.（得数保留整数）车、st*4 5 2.4 （厘米），【解答】解：J如图斜边的高为：3123.1
15、4 2.4531 CC3.14 5.76 5330.144 （立方厘米）答：所形成图形的体积是 30.144立方厘米.9. （2013?永康市）一个圆柱形水桶，里面盛48升的水，正好盛满，如果把一块与水桶等底等高的圆锥形,放入水中，桶内还有32升水.【解答】解：48 3 2 ,16 2故答案为：32.10. （2017?杭州）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体的一一12【解答】解：假设正方体的棱长为a厘米，3正方体的体积是：a a a a （立方厘米），削出最大圆锥的体积是：3 （a 2） a所以圆锥的体积占正方体体积的：12231aaa 3412 （立方厘米），3123故答案为
16、：12 .剩下部分的体积是圆柱的 -.（判三.判断题11. （2014?桐乡市校级模拟）在一个圆柱中挖去一个最大的圆锥,断对错）【解答】解：根据题干分析可得：这个圆柱的体积与挖出的圆锥是等底等高,所以圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，（3 1） 3 2则剩下部分的体积是圆柱的体积的3.故答案为：.12. （2019?亳州模拟）把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的-.（判断对错）3 一 一1【解答】解：把一个圆柱削成一个与它等底等高的圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的3,如果没有确定1削成的圆锥是否与圆柱等底等高，那么把一个圆柱削成一个圆锥，这个圆锥的体积是圆柱体积的3,这种说法是错误的
17、.故答案为:13. （2016?温州）把一个圆柱削成最大的圆锥体，削去部分的体积与圆锥的体积的比是对错）【解答】解：圆柱体削成一个最大的圆锥体, 则.V圆柱3V圆锥MbV圆锥：V圆锥2V圆锥：V圆锥2:1答：削去部分的体积与圆锥的体积的比是2:1故题干的说法是正确的.故答案为:14. （2012?紫金县）把圆柱体削成一个最大的圆锥体，圆锥体体积是削去部分的【解答】解：把圆柱体的体积看作 “1”，与它等底等高的圆锥的体积是圆柱体的1213正确 .（判断对错）削求部分是圆柱体的 3四.计算题15. （2019?萧山区模拟）求如图图形的体积.单位：厘米.5042【解答】解,50 10 30 3.14
18、 （20 2）1015000 3.14 100 1015000 314011860 （立方厘米），答：它的体积是11860立方厘米.16. （2019?萧山区模拟）求如图空心圆柱的表面积.（单位：分米）-一 2一一 2-【解答】解：3.144 4 3.14 24 3.14（4 2）（22） 250.2425.123.1441250.2425.123.143250.2425.1218.8494.2 （平方分米），答：这个空心圆柱的表面积是94.2平方分米.五.应用题17. （2019?宁波模拟）有一块正方体木料，它的棱长是4分米.把这块木料加工成一个最大的圆柱.削去部分的体积是多少？【解答】解：
19、4 4 4 3.14 （4 2）264 3.14 4 464 50.2413.76 （立方分米），答：削去部分的体积是13.76立方分米.18. （2018?萧山区模拟）一个圆锥形沙堆，底面积是50m2,高是3m .用这堆沙在10米宽的公路上铺2cm厚 的路面，能铺多少米？【解答】解：2厘米 0.02米，150 3 （10 0.02）350 0.2250 （米），答：能铺250米.19. （2019?萧山区模拟）一个圆锥形的沙堆，底面直径是4米、高1.5米.用这堆沙子铺在宽10米，厚5厘米的路上，能铺多长？【解答】解：5厘米0.05米123.14 （4 2）2 1.5 （10 0.05）313
20、.14 4 1.5 0.536.28 0.512.56 （米）答：能铺12.56米.六.解答题20. （2019?萧山区模拟）一个直角三角形，两条直角边长分别为3厘米和4厘米，斜边长是 5厘米.以斜边所在直线为轴旋转一周（如图），所得到的立体图形的体积是多少？【解答】解：直角三角形斜边所在直线为轴旋转一周，得到的几何体是同一底面的两个圆锥，如上图所示, 设这个圆锥的底面半径是 则:5r 2 3 4 25r 12r 2.4所以这个立体图形的体积是：12_ _一 3.14 2.4 （AO CO）1c，3.14 5.76 53.30.144 （立方厘米），答：旋转一周后的立体图形的体积是30.144
21、立方厘米.21. （2016?龙湾区校级模拟）一个底面半径与高的比为1:3的圆锥体煤堆.高是 6米，如果每0.75立方米的煤是1吨，这堆煤有多少吨？12-3.14 （6 3）2 6【解答】解：33.14 825.12 （立方米）251225.12 0.75 75 （吨）2512答：这堆煤有 75吨.22. （2012?桐乡市校级模拟）一个圆锥形麦堆，高 1.2米，占地面积16平方米，如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克?116 1.2750【解答】解：3,6.4 7504800 （千克）.答：这堆小麦重 4800千克.23. （2017?朝阳区）小红和小军分别以直角梯形的上底和下底
22、为轴，将梯形旋转一周，得到两个立体图形.（1）你同意谁的说法，请将名字填在横线里.小红.(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？(写出你的思考过程)周，得到两个立3厘米的圆柱内有一个空【解答】解：(1)我同意小红的说法，分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转体图形的体积不相等.以梯形的上底为轴旋转得到是高为6厘米，底面半径是心圆锥；而以梯形的下底为轴旋转得到的是上面是圆锥、下面是圆柱.(2)甲的体积：2123.14 32 6 - 3.14 32 (6 3)313.14 9 6 - 3.14 9 33169.56 28.26141.3 (立方厘米)；乙的体积：122-3.14 32 (6 3
23、) 3.14 32 3313.14 9 3 3.14 9 3328.26 84.78113.04 (立方厘米)；141.3:113.04(141.3 3.14) :(113.04 3.14)(45 9): (36 9)5: 4答：甲、乙体积的比是 5： 4.故答案为：小红.,这堆沙重多少吨?24. （2012?苍南县）工地上有一些沙子， 堆起来近似于一个圆锥.如果每立方米沙重1.5t（得数保留一位小数.）【解答】解:一 3.14 (4 32)2 1.6 1.513.14 4 1.6 1.536.7 1.510.1答：这堆沙重10.1吨.:是6.28m ,500千克，这个粮囤25. （2009?
24、新昌县）一个装满稻谷的粮囤，上面是圆锥形，下面是圆柱形，量得圆柱地面的周1 高是2m,圆锥的高是1.5m,这个粮囤能装稻谷多少立方米？如果每立方米稻谷重能装稻谷多少千克？【解答】解：（1）圆柱的底面积为：23.14 （6.28 3.14 2）23.14 13.14 （平方米）；这个粮囤的体积：13.14 1.5 3.14 231.57 6.287.85 （立方米）；答：这个粮囤能装稻谷7.85立方米.（2） 7.85 500 3925 （千克）答：这个粮囤最多能装稻谷3925 千克2123.14 22 2 3.14 22 （5 2）其体积为：3,12.56 2 12.5625.12 12.5637.68 （立方厘米）；答：这个立体图形的底面积是12.56平方厘米，体积是 37.68立方厘米.故答案为：圆柱、圆锥、12.56、37.68.【变式2-3】（2016春?平阳县校级期中）一个粮囤，上面是圆锥，下面是圆柱形（如图）的粮食重600千克，这个粮囤可囤粮食多少千克?3 3 3 2 2.答：圆锥体体积是削去部分的 故答案为：正确.