《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019-2020学年数学人教A版选修2-2检测：3.2.2复数代数形式的乘除运算.docx（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3. 2.2复数代数形式的乘除运算填一填1 .复数乘法的运算法则和运算律(i)复数的乘法法则设 zi=a+bi, z2=c+ di(a, b, c, d R), 贝U zi z2= (a + bi)( c+ di) = (ac bd) + (ad+ bc)i.(2)复数乘法的运算律Z为共对任意复数Zi、Z2、Z3c C,有交换律Zi Z2 = Z2_Z1结合律(zi Z2) Z3 = Z1-(Z2-Z3)乘法对加法的分配律Zi (Z2 + Z3) = ZiZ2+ ZiZ32.共轲复数(1)如果两个复数满足实部相等.虚部互为相反数时.称这两个复数互为共斩复数.轲复数用z表示，即z= a+bi(a
2、, b R),则z = abi.(2)复数与共轲复数的乘法性质z z = (a+ bi)(a bi) = a2 + b2.3.复数的除法法则设 zi=a+bi, z2=c+ di(c+ diw0),ezia+bi ac+bd bc ad则 zr=玄+乃 i(c+ de0).判一判1 .两个复数的积与商一定是虚数.（X ）2 .两个共轲复数的和与积是实数.（，）3 .复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减.（，）4 .两个复数互为共轲复数是它们的模相等的必要条件.（X）5 .设z是复数，若z20,则z是实数.（，）6 .若 zi, z2 C C ,且 z2+ z2= 0,则 zi= z2=
3、0.（X ）7 .两个复数相乘的结果可能为实数.（，）8 .两个共轲复数的差为纯虚数.（，）想一想1 .怎样进行复数的乘法？两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.2 .如何理解复数的乘除法运算法则？复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为-1,进行最后结果的化简.复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轲复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i).3 .共轲复数有哪些性质，这些性质有何作用？(1)在复平面上，两个共轲复数对应的点关于实轴对称.(2)实数的共轲复数是它本身，即
4、z= 7? z R,利用这个性质可证明一个复数为实数.(3)若zw 0且z+ 7 = 0,则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数.4 .复数形式的基本轨迹有哪些？(1)|z- zi|= r表示复数z在复平面内对应的点的轨迹是以复数zi对应的点为圆心，r为半径的圆.(2)|z- zi|=|z z2|表示以复数zi, z2的对应点Zi, Z2为端点的线段的垂直平分线.(3)|z-zi|+|z z2|=2a(a0),当2a|ZiZ2|时，表示以复数 zi, z2的对应点Zi, Z2为焦点的 椭圆；当2a=|ZiZ2|时，表示以复数 zi, z2对应点Zi, Z2为端点的线段；当 2a0)
5、当2a|ZiZ2|时，无轨 迹.感悟体会练一练i.已知 i2=i,则 i(i-乖i) = ()A.3-iB.V3+iC. - a/3 - i D. - -3 + i解析：i(i 43i) = i 43i2=*+i,故选 B.答案：B2.已知复数z= 2-i,则z-z的值为()A. 5B.V5C. 3D#解析：z= 2-i,7 = 2+i, .z;7 = (2i) (2+i) = 4i2=5,故选 A.答案：A一一 2解析：z=i- 1答案：A解析： 由(1 + i)(1 bi) = 1 bi + i bi2 = (1 + b) + (1 b)i = a,得1 + b= a,1-b=0,解得a=
6、2,b=1,ab = 2.3.已知i是虚数单位，若复数 z满足z= -2-,则z=()1 - 1A. 1 i B. 1 + iC. 1-i D. 1 + i2 i+ 1 2i + 2=-=-1-i,故选 A.i- 1 i + 1i2- 1 a,4.已知a, bCR, i是虚数单位.若(1 +i)(1 bi) = a,则b的值为答案：2知识点一复数代数形式的乘法运算1 .设i是虚数单位，则复数(1 -i)(1 + 2i)=()A. 3+3i B. 1+ 3iC. 3+i D. 1 + i解析：(1 - i)(1 +2i) = 1 + 2ii2i2=3 + i.故选 c.答案：C2 .设复数z=
7、1+啦i,则z22z等于()A. - 3 B. 3C. - 3i D. 3i解析：.z= 1 + *i, -z2-2z= (1+ 亚i)22(1+V2i) = 1 + 2V2i + 2i22 2V2i = 3,故 选A.知识点二共轲复数3 .若x2+yi和3xi互为共轲复数，则实数 x=, y =解析：. x- 2+yi和3xi互为共轲复数，x, yC R,x 2 = 3x,y=1,答案：1 1x=1, 解得y=1,4.设 a, b 为共轲复数，且(a+b)2-3abi=4-12i,求a, b的值.解析：设 a = x+yi(x, yC R),则 ，a+b=2x, ab=x2+y2,b= x
8、yi,又(a+b)2 3abi = 412i 4x2-3（x2+y2）i=4-12i,由复数相等的性质知4x2= 4,-3 x2 + y2 =- 12,x= 1, 解得V=事,x= 1,或 y=-V3,x=1,y=V3,y=一 . 3.a= 1 + U3i,a=b= 1 mi,或b=1 +V3i,1 + V3i,1-V3i,a= - 1 33, 或b= 1 + 3i.知识点三复数代数形式的除法运算5.已知i为虚数单位，若复数z满足（1+2i）z=1 i,则复数z的虚部为（）3 A.5 C.3i5B.D.353.5i解析:由题可得1 -i z=1 + 2i1 -i 1 -2i 1 3i1 + 2
9、i 1 -2i1 353i,所以复数z的虚部为一35故选B.答案:6 .计算:3+2i_3-2i232+3(2)1-i 1+i3 4i 2+2i 34+3i解析：（1）方法一:3+2i3 2i2-3i2 + 3i3+2i 2+3i 3-2i 2-3i2-3i 2+ 3i6+13i66+13i+ 6 26i4+913 = 2i.3+2i 32i i 2 3i i 2+ 3i- 2-3i 2+3i 2-3i 2 + 3i i i i.(2)原式=(1 +i)23 9 + (1 i)23F-84i J, i =(2i)3i+(-2i)3(-i)-1 - i1 + i3 4i i8 2i 1 + i；
10、=8+ 8- 16 16i = 16i.综合知识复数代数形式的乘除运算综合应用7.已知复数Z1满足一2)(1 + i) = 1 i(i为虚数单位),复数Z2的虚部为2,且z1 Z2是实数, 贝 U Z2 =.1 -i 1-i 2-2i解析： (z1-2)(1 + i) = 1-i, /.Z1-2 = -=- i, .-.Z1 = 2- i,1+i 1+i 1-i 2依题意,可设 z2=a+2i(aC R),则 z1z2=(2i)(a + 2i) = (2a+2) +(4 a)i.Z1 z2是实数,a= 4, 1- z2= 4+ 2i.答案：4+2i8.已知a为实数，复数z1=2i, z2= a
11、+ i(i为虚数单位).(1)若a=1,指出Z1+9在复平面内对应的点所在的象限；(2)若z1 z2为纯虚数，求a的值.解析：(1)因为 a=1,所以 Z1+ z2 =(2-i) + (1-i)=3-2i,所以Z1+E在复平面内应的点为(3, 2),从而Z1+意在复平面内对应的点在第四象限.(2)Z1 z2= (2-i)(a+ i) = (2a+1) + (2-a)i,因为aC R, Z1 z2为纯虚数，一,一一r1所以 2a+1=0,且 2aw0,解得 a=- 2.基础达标、选择题1.设zi, Z2是复数，则下列命题中的假命题是()A .若 |ziZ2|=0,则 Z1 = Z2B .若 Z1
12、 = Z2 ,则 Z1 = Z2C. 若 |Z1|=|Z2|, 则 Z1 -Z1 =Z2 Z2D.若 |z1|= |Z2|,则 Z1 ,一、11, 一的虚部是,故选B. 2i5= Z2 2解析：A 中，由 Z1一Z2|=0,得 Z1 Z2= 0,Z1= Z2, 则 Z1 =Z2,正确；C 中，由|Z1|=|Z2|,得|Z1|2=|Z2|2,，Z1Z1 = Z2 ,正确；B 中，若 Z1 = Z2Z1 = Z2 - Z2 ,正确;D 中，当 |Z1|=Z2|时，可取 Z1 = 1 , Z2= i,则 z2= 1, 答案：D2,复数(1 + i)2(2 + 3i)的值为( A. 6-4iZ2= i
13、2= - 1, 1- Z2z2,错误.故选)B. 6-4iD.C. 6+4i D. 6+ 4i解析：(1 + i)2(2+3i) = 2i(2 + 3i)=4i+6i2= 6+4i,故选 D.答案：D3.复数1-2+i11 一一一卜WE的虚部是（）A-i B.- 55C. -1i D.51+ 2i1牛 -2+ i + 1-2i- -2 + i -2-i + 1 -2i 1 + 2i2- i51 + 2i + 5-2 +i+1-答案：B4 .已知i为虚数单位，若复数，则 Z|=(A. 3C. 9解析:B. .10D. 10|2+i| + 2i V5+2iZ=, , |z| =证+2i 肉2i|1
14、一二|i|=3,故选A.答案:5. (1+i)20_(1 i)20 的值是(A. - 1 024 B, 1 024C. 0 D. 512解析：(1 + i)20(1 i)20=(1 +i)2 1 + i 解析： =1+i,在复平面内对应的点为(1,1),位于第一象限. 1-i 1i 1+i 答案：一 10.已知nCR, i为虚数单位，若7=1一川，则实数n =. 1 + i 210(1 -i)210=)10 (2i)10=(2i)10(2i)10=0.故选C.答案：C6 .设复数Z的共轲复数是 Z ,若复数Z1=3+4i,Z2=t + i,且Z1-Z2是实数，则实数t=()34A.4 B.3C
15、.43 D,解析：Z2= t + i, /. z2 =t i,又 z1=3+4i,.Z1 Z2 =(3+4i)(ti) = (3t+4)+(4t3)i,3解析：依题意,1-i1+i 1+i 1-i1 1112-2i = 2- ni,由复数相等的充要条件知，n=. 一 一 3 .,Z1 2 为实数，. .4t-3=0,解得 t=4,故选 A.答案：A7 .设 Z1, Z2 为复数，A= Z1 Z2 + Z1 Z2,则 A 是()A.虚数 B.实数C.纯虚数 D.实数或虚数解析：设Z1 = a + bi,Z2=c+ di,(a,b, c, d R),则Z1= a bi,Z2= c di,A = Z
16、1 Z2 + zi Z2= (a+bi)(c di) + (a bi)(c+di) = (ac+bd) + (bcad)i + (ac+bd) +(ad-bc)i = 2(ac+ bd),，A 为实数，故选 B.答案：B二、填空题8 .已知复数 z满足 z+1=0,则|z|=.解析：由z+ ；=0,可得z2=- 3,所以z= J3i,所以|z|= 3.答案：329 .已知i为虚数单位，则在复平面内复数7:对应的点位于第 象限.1 -i答案：211.若解析:x=1一J,则1-V3i x=1x2-xx2 x= x(x 1)=1 .：3 1- .：3i1-3i -1-V3i1-4(1-V3i)(1
17、+禽i) = 11” + 3)=1, .-.-21- = - 1.答案：112 .已知z是纯虚数，岩是实数那么z等于z+ 2 bi + 2解析：设z= bi(bCR),则=1 -i 1-ibi +2 1+i 2-b 2+bz+ 22 + b因为一是实数，所以=0,得b=-2,1 - i2答案：2i三、解答题13 .计算:(1)(1-i)(1 +i) + (-1 + i)；(2)(2 i)( 1 + 5i)(3 4i) + 2i;所以z= 2i.(4)2+2i 妪 1 i 2+ 1 + i1 + V3i 32020. 2+i1 + 2i .解析：(1)原式=2+(1 + i)=1 + i.(2)
18、原式=(3+11i)(3-4i) + 2i = 53+ 23i.2+ 2i 21原式=+ 2i 1010=(1 + i) i+ 7 1010-1 + i + (-i)1010=- 1 + i 1 = 2+i.-1 +V3i 3 2i2+i(4)原式=2i 31 + 2i1 + 2i=0.14 .设z的共轲复数是z,若z+ z =4, zzz=8,求三的值.解析：法一 设2=*+汽，y R),则 z =x-yi.由 z+ z = 4, z z = 8,得x+ yi + x yi = 4,x+yi x yi = 8x=2,即x2+y2=8,x= 2, 解得y= =t2,x yix+ yix2-y2
19、- 2xyi1=立x2+ y2法二 因为 z+ z =4,设 z=2+ bi(bC R), 又 z -z =|z|2=8,所以 4+b2=8.所以b2=4,所以b=立，所以z= 2受i, z =2?2i.能力提升15.已知z为复数,z+3+2i和缶均为实数,其中i为虚数单位.(1)求复数z;(2)若复数(zmi)2在复平面内对应的点位于第二象限，求实数 m的取值范围.解析：(1)设复数 z= a+bi(a, b R),由题意可得 z+3+2i=(a+3)+(b+2)i C R,所以 b+2=0,即 b= 2.又上1 -2ia+bi 1 + 2ia 2b+ 2a+b i=C R所以 2a+b =
20、 0,结合 b=- 2,可得 a=- 2b= 1,所以 z=1-2i.(2)(z mi)2= 1 (m + 2)i2=1-(m + 2)2 2(m+ 2)i, 因为(z mi)2在复平面内对应的点位于第二象限，1 m+2 20解得m- 3,所以实数 m的取值范围为(一00, 3).16.设Z1是虚数，Z2=Z1 + 是实数，且一1WZ2W1.求忆1|的值及Z1的实部的取值范围；1 Z1(2)若3=求证：3为纯虚数.1 Z1解析：(1)设 z1=a+bi(a, bCR,且 bw0),2则 z2= z1 + ：= a + bi + - z1a+biaa+a2+b2 +b-ia2+b2 L因为z2是实数，bw0,于是有所以z2= 2a,a2+ b2= 1,即忆1|= 1,2a2,由一1 w Z2 1,得1 & 2a 1,解得一, ，一，1故z1的实部的取值范围是一21 一 zi 1 一 a一 bi 1 一 a2 b2 一 2bib(2)由题可得 w= =22-=_i,1+zi 1+a+bi 1 + a2+b2a+1一. 1 1-,因为aC 万，2 , bw0,所以3为纯虚数.