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1、教育资源1.2.2空间中的平行关系第1课时平行直线【学习目标】1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理.知识点一 基本f质41 .文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行.这一性质叫做空间平行线的传递性. a / b2 .符号表达：? aJLC.b / c,知识点二等角定理思考 观察图，在长方体 ABCDA B C D中，/ ADC与/ A D C , / ADC与 /D A B的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，/ ADC = /A D C , /ADC + /D A B =180.梳理等角定理如果一个角的
2、两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等.知识点三 空间四边形顺次连接不共面的四点 A, B, C, D所构成的图形，叫做空间四边形.这四个点中的各个点 叫做空间四边形的顶&J肝连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接王相邻的顶 点的线段叫做空间四边形的对角线.空间四边形用表示顶点的四个字母表示.1 ,若 AB/A B , AC/ A C,贝U / BAC= / B A C .（ X ）2 .没有公共点的两条直线是异面直线.（X ）3 .若a, b是两条直线，% 3是两个平面，且 a? % b?氏则a, b是异面直线.（x ） 类型一基本性质4的应用例1如图，在四
3、棱锥 P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E, F, G, H分别为PA, PB, PC, PD的中点，求证：四边形 EFGH是平行四边形.解 在AFAB中，因为E, F分别是FA, PB的中点， 1 一1所以 EF/AB, EF = 2AB,同理 GH/DC, GH = 2DC.因为四边形 ABCD是平行四边形，所以 AB / CD, AB=CD.教育资源所以 EF / GH , EF= GH.所以四边形EFGH 是平行四边形反思与感悟证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第
4、三条直线平行，根据基本性质4 ，显然这两条直线平行若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行跟踪训练 1 如图所示， E ， F 分别是长方体求证：四边形B1EDF 是平行四边形证明 设 Q 是 DD 1 的中点，连接EQ， QC1.E是AAi的中点， EQ 触 A1D1.又在矩形A1B1C1D 1 中，AiDi 触 BiCi, EQ 触 BiCi(基本f质 4).四边形EQCiBi为平行四边形，BiE 触 CiQ.又Q, F是DDi, CiC的中点， .QD 触 CiF.，四边形QDFCi为平行四边形.CiQ 触 DF, .BiE 触 DF.四边形BiEDF为平行四边形.类
5、型二 等角定理的应用例 2 如图，在正方体ABCDAiBiCiDi 中，求证： (i) 四边形 BBiM iM 为平行四边形；AiBiCiDi ABCD 的棱 AiA， CiC 的中点M, Mi分别是棱AD和AiDi的中点.(2)/ BMC = Z BiMiCi.证明(i)在正方形ADDiAi中，M, Mi分别为ADAiDi 的中点，AiMi 触 AM ,四边形AMM iAi是平行四边形，AiA 触 MiM.又AiA 触 BiB,，MiM 触 BiB,，四边形BBiMiM为平行四边形.(2)由(i)知四边形BBiMiM为平行四边形，B1Ml / BM.同理可得四边形 CCiMiM为平行四边形，
6、 CiMi / CM.由平面几何知识可知，/BMC和/BiMiCi都是锐角. ./ BMC = /B1M1cl.反思与感悟 有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(i)利用等角定理及其推论.(2)利用三角形相似.(3)利用三角形全等.本例是通过第一种途径来实现的.跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD AiBiCiDi中，M, N分别是棱CD, AD的中点.求 证：(i)四边形 MNAiCi是梯形;(2)Z DNM =/ DiAiCi.证明(i)如图，连接AC,在4ACD中，. M, N分别是CD, AD的中点，MN是4ACD的中位线， .MN/AC, MN = ；AC.由正方体的性质，得
7、 AC/ AiCi, AC=AiCi.教育资源1r 一. MN / A1C1,且 MN=2AiCi,即 MNwAiCi,二四边形MNAiCi是梯形.(2)由(1)可知 MN/A1C1,又ND/A1D1, /dnm与/D1A1C1相等或互补.而/DNM与/ D1A1C1均是直角三角形的一个锐角,./ DNM = Z D1A1C1.教育资源教育资源类型三空间四边形的认识AE例3如图，设E, F, G, H分别是四面体 ABCD的棱AB, BC, CD, DA上的点，且处=ABAH 、CF CG 十丁AD=CB=CD-=也求证：当 上科时，四边形EFGH是平行四边形；（2）当 竹科时，四边形EFGH
8、是梯形.AE AH EH证明 ）.指=% EH/BD,= XAB ADBD同理，GF / BD,票=. BD又.卜科，EH = GF, ，EH 触 GF.四边形EFGH是平行四边形.（2）由（1）知 EH /GF,又的.EHWGF.四边形EFGH是梯形.反思与感悟因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形 ABCD”，不包含平面四边形，说明“A, B, C, D四点必不共面 ; 不能因直观图中 AD与BC看似平行的关 系认为它们是平行的.跟踪训练3 已知空间四边形 ABCD中，ABWAC, BD=BC,
9、AE是 ABC的边BC上的高, DF是 BCD的边BC上的中线，判定 AE与DF的位置关系.解由已知，得E, F不重合.设 BCD所在平面为“则 DF? a, A? a, EC % E?DF, 所以AE与DF异面.1 .直线all b,直线b与c相交，则直线a, c一定不存在的位置关系是 （）A.相交 B.平行 C.异面 D.无法判断 答案 B解析如图，a与c相交或异面.2 .下列四个结论中假命题的个数是 （）垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线 a, b, c满足a/ b, bc,则ac;若直线li, 12是异面直线，则与li, I2都相交的两条直线是异面直线
10、.A 1 B 2 C 3 D 4答案 B解析 均为假命题.可举反例，如a、b、c三线两两垂直.如图甲时，c、d与异面 直线1i、12交于四个点，此时 c、d异面；当点 A在直线li上运动(其余三点不动)时，会出现 点 A 与 B 重合的情形，如图乙所示，此时c 、 d 共面相交3 下列结论正确的是()A 若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B 空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C 空间四边形的两条对角线可以相交D 空间四边形的两条对角线不相交答案D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交， 否则四个顶点共面，故选 D.4 下面三个命题，其中正确的个数是()三条相互平行的
11、直线必共面；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形.A i B 2 C 3 D 0答案D解析空间中三条平行线不一定共面，故 错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故 、 都错，故选D.5 两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A 全等B 不相似C 仅有一个角相等D 相似答案D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.i 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法另外，我们解决空间有关线
12、线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具3注意：等角定理的逆命题不成立一、选择题1 .已知 AB/PQ, BC/QR,若/ ABC=30,则/ PQR等于（）A 30B 30或 150C 150D 以上结论都不对答案 B解析 由等角定理可知 / PQR与/ ABC相等或互补，故答案为B.2 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（）A 一定平行B 一定相交C 一定异面D 相交或异面答案 D3 .若/ AOB=/A1O1B1,且OA/OiAi,OA与OiAi的方向相同，则下列结论中正确的是
13、 （）A. OB/O1B1且方向相同B. OB / O1 B1C OB 与 O1B1 不平行D OB 与 O1B1 不一定平行答案 D解析 等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定4 .在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E, F分别是平面 AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G, H分别是线段AB， BC 的中点，则直线 EF 与直线 GH 的位置关系是（）A 相交B 异面C 平行D 垂直答案 C解析 如图，连接AD1，CD1，AC,则E, F分别为AD，CD1的中点.由三角形的中位线定理知，EF/AC, GH/AC,
14、所以 EF / GH ,故选 C.5 .正方体ABCD A1B1C1D1中，P, Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形 DPBQ是（）A 正方形B 菱形C 矩形D 空间四边形答案 B解析 设正方体棱长为2,直接计算可知四边形DiPBQ各边均为5,又DiPBQ是平行四边形，所以四边形DiPBQ是菱形.6 .已知在正方体 ABCD AiBiCiDi中（如图），I?平面AiBiCiDi,且l与BiCi不平行，则下列 一定不可能的是（）A . I与AD平行B . I与AD不平行C . I与AC平行D. I与BD垂直答案 A解析 假设I/ AD,则由AD/ BC/BiCi知，I/ BiCi,这与I与B
15、iCi不平行矛盾，所以I与ad不平行.7 .长方体ABCD AiBiCiDi的i2条棱中，所在直线与棱 AA1所在直线垂直的共有（）A. 6 条 B. 8 条 C. i0 条 D. i2 条答案 B解析 所在直线与棱 AAi所在直线垂直的有 AB, BC, CD, DA, AiBi, BiCi, CiDi, DiAi,共8条.8 .异面直线 a, b,有a? a, b? 3且“n 3= c,则直线 c与a, b的关系是（）A. c与a, b都相交B. c与a, b都不相交C. c至多与a, b中的一条相交D. c至少与a, b中的一条相交答案 D解析 若c与a, b都不相交，.c与a在”内，a
16、/c.又c与b都在3内，b/ c.由基本性质4,可知all b,与已知条件矛盾.如图，只有以下三种情况.二、填空题9 .空间两个角 八3,且“与3的两边对应平行且 8= 60,则3=.答案 60或i2010 .在正方体ABCDAiBiCiDi中，判断下列直线的位置关系：（1）直线AiB与直线DiC的位置关系是 ;（2）直线AiB与直线BiC的位置关系是 ;直线DiD与直线DiC的位置关系是 ;（4）直线AB与直线BiC的位置关系是 .答案 （i）平行 （2）异面 （3）相交 （4）异面11 . a, b, c是空间中三条直线，下面给出几个说法：若 a/ b, b / c,贝U a / c;若a
17、与b相交，b与c相交，则a与c也相交；若a, b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行.则上述说法中正确的为 .（仅填序号）答案 解析由基本性质4知正确.若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，错误;若平面 an 3= l, a? % b? 3, a/l, b/l,则 a/b,错误.三、解答题12 .如图所示，在长方体ABCD AiBiCiDi中的面AiCi内有一点P,经过点P作棱BC的平行 线，应该怎样画？并说明理由.解 如图所示，在面 AiCi内过点P作直线EF/BiCi,交AiBi于点E,交CiDi于点F,则直线EF即为所求.理由：因为 EF/BiCi, BC
18、/BiCi,所以 EF/BC.AA , BB , CC交于13 .如图所示，两个三角形 ABC和AA B C的对应顶点的连线同一点0,且黑B0B 0C0 =2C 0 = 3.教育资源(i)证明：AB/A B , AC/A C , BC/B C、 字 ABC(2)求 S A B C的值.证明 .AA与BB相交于0点,AO _ B0且 OA，=0B，.AB / A B.同理 AC/A C,BC / B C.(2)解.AB/AB , AC/A C且 AB 和 A B , AC 和 A C的方向相反,教育资源同理 /ABC= /A B C,因此ABCsa b c,AB AO 2又A B =A，O =3
19、. Saabc 2 2_4Saaz b c39.四、探究与拓展14 .如图所示，已知三棱锥 A-BCD中，M, N分别为AB, CD的中点，则下列结论正确的是（）1A. MN 2（AC + BD）1B. MN2（AC+BD）1C. MN=2（AC+BD）1D. MNMN, 1所以 MN2（AC+BD）.15.如图所示，四边形 ABEF和ABCD都是直角梯形，/ BAD = Z FAB= 90, BC触；AD, BE一 1触FA, G, H分别为FA, FD的中点.（1）证明：四边形 BCHG是平行四边形；(2)判断C, D, F, E四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG=GA, FH=HD,1 一 1一可得GH糠2AD.又BC触,AD,，GH触BC,四边形BCHG为平行四边形.(2)解 由BE触2AF , G为FA的中点知，BE触FG ,四边形BEFG为平行四边形，EF / BG.由(1)知 BG 触 CH , EF / CH,EF 与 CH 共面.又DC FH , /.C, D, F, E四点共面.教育资源