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1、第七章、反比例函数 . 1 一、反比例函数知识要点点拨 . 1 ,、典型例题 . 2 二三、反比例函数中考考点突破 . 8 四、达标训练 . 10 (一)、基础?过关 . 10 (二)、综合?应用 . 11 五、分类解析及培优 . 13 (一)、反比例函数k的意义 . 13 (二)、反比例函数与三角形合 . 14 (三)、反比例函数与相似三角形 . 15 四)、反比例函数与全等三角形 . 15 (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 . 15 (六)、反比例函数与一次函数相交题 . 19 1、联手演绎无交点 . 20 2、联手演绎已知一个交点的坐标 . 20 3、联手演绎图像分布、性质确定另一
2、个函数的图像分布 . 20 4、联手演绎平移函数图像，并已知一个交点的坐标 . 20 (七)、反比例图像上的点与坐标轴围成图形的面积 . 21 (八)、与反比例函数有关的几种类型题目的解题技巧 . 23 六、拓展练习 . 26 练习(一). 26 练习(二). 28练习(三). 32 本章参考答案 . 35 第七章、反比例函数 反比例函数这一章是八年级数学的一个重点，也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题，这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点。 一、反比例函数知识要点点拨 1、反比例函数的图象和性质: k yk,(0)反比例函数 xk,0
3、k,0k的符号 y y图象 Ox O x?的取值范围是， 的取值范围是， ?x,0x,0xxy,0y,0 的取值范围是( 的取值范围是( yy?当时，函数图象的两个分支分别在第?当时，函数图象的两个分支分别在第k,0k,0性质 一、第三象限(在每个象限内，随的增大二、第四象限(在每个象限内，随的增大yyxx而减小( 而增大( 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点( ykxk,(0)2、反比例函数与正比例函数的异同点: 函数 正比例函数 反比例函数 kykxk,(0) 解析式 yk,(0)x图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值
4、范围 全体实数 的一切实数 x,0当k,0时，在一、三象限; k,0时，在一、三象限; 当图象的位置 当k,0时，在二、四象限( 当k,0时，在二、四象限( 当k,0时，y随的增大而增大; k,0时，y随的增大而减小; 当xx性质 当k,0时，y随的增大而减小( 当k,0时，y随的增大而增大( xx二,、典型例题 例 1 下面函数中，哪些是反比例函数, x,81,1y,4x,5y,y,(1);(2);(3);(4);(5) xy,.y,5x3x8解:其中反比例函数有(2)，(4)，(5)( k(k,0)说明:判断函数是反比例函数，依据反比例函数定义，y,，它也可变形为x,1xy,k及的形式，(
5、4)，(5)就是这两种形式( y,kx例 2在以下各小题后面的括号里填写正确的记号(若这个小题成正比例关系，填(正);若成反比例关系，填(反);若既不成正比例关系又不成反比例关系，填(非)( (1)周长为定值的长方形的长与宽的关系 ( ); (2)面积为定值时长方形的长与宽的关系 ( ); (3)圆面积与半径的关系 ( ); (4)圆面积与半径平方的关系 ( ); (5)三角形底边一定时，面积与高的关系 ( ); (6)三角形面积一定时，底边与高的关系 ( ); (7)三角形面积一定且一条边长一定，另两边的关系 ( ); (8)在圆中弦长与弦心距的关系 ( ); (9)x越来越大时，y越来越小
6、，y与x的关系 ( ); (10)在圆中弧长与此弧所对的圆心角的关系 ( )( 答: 说明:本题考查了正比例函数和反比例函数的定义，关键是一定要弄清出二者的定义( 2a,6例 3 已知反比例函数y,(a,2)x，y随x增大而减小，求a的值及解析式( 分析 根据反比例函数的定义及性质来解此题( 2a,6解 因为y,(a,2)x是反比例函数，且y随x的增大而减小， 2,6,1,aa,5,所以 解得 ,a,2,0.a,2.,5,2y,所以，解析式为( a,5x2m,2例4 (1)若函数y,(m,1)x是反比例函数，则m的值等于( ) A(?1 B(1 C( D(,1 31y,kx(k,0(2)如图所
7、示正比例函数)与反比例函数y,的x,ABC图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交x轴于B，连结BC(若的面积为S，则: S,1S,2S,3A( B( C( D(S的值不确定 ,1,0,m,解:(1)依题意，得m,1 解得( ,2m,2,1,故应选D( 1y,(2)由双曲线关于O点的中心对称性，可知:S,S( ,OBA,OBCx1?( S,2S,2，OB，AB,OB,AB,1,OBA2故应选A( y,4例5 已知，与x成正比例，与x成反比例，当时，;当x,1x,3y,y，yyy1212y,5时，求时，y的值( x,1分析 先求出y与x之间的关系式，再求时，y的值( x,1解 因为与x成正比例，
8、与x成反比例， yy12k2所以( y,kx,y,(kk,0)11212xk2yyykx所以( ,，,，121xy,4y,5将，;，代入，得 x,1x,311,k，k,4,k,121,8 解得 ,1213k，k,5.12,k,.3,2,8,1121y,x，所以( 88x1121所以当时，( x,1y,488说明 不可草率地将都写成k而导致错误，题中给出了两对数值，决定了k、kk、k1212的值( 例 6 根据下列表格x与y的对应数值( x 1 2 3 4 5 6 y 6 3 2 1.5 1.2 1 (1)在直角坐标系中，描点画出图像;(2)试求所得图像的函数解析式，并写出自变量x的取值范围(
9、解:(1)图像如右图所示( kx,1,y,6(2)根据图像，设，取代入，得y,(k,0)xk6,k,6( ?( 16?函数解析式为( y,(x,0)x说明:本例考查了函数的三种表示法之间的变换能力，即先由列表法通过描点画图转化为图像法，再由图像法通过待定系数法转化为解析法，题目新颖别致，有较强的趣味性( 3y,x，1例 7(1)一次函数与反比例函数y,在同一坐标系中的图像大致是如图中的x( ) k2(2)一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图像的大致y,y,kx,k,1x位置是图中的( ) 3？y,x，1解:的图像经过第一、二、四象限，故排除B、C;又的图像两支y,x在第一、三象限，故排除
10、D(?答案应选A( k2(2)若，则直线经过第一、三、四象限，双曲线的图像k,0y,y,kx,(k，1)x两支在第一、三象限，而选择支A、B、C、D中没有一个相符;若，则直线k,02经过第二、三、四象限，而双曲线的两支在第二、四象限，故只有C正确(应y,kx,(k，1)选C( 21,4m,2ymx,，例8， 已知函数是反比例函数，且其函数图像在每一个象限内，y,3,随的增大而减小，求反比例函数的解析式( x1124m,2,1m,解:因为y是的反比例函数，所以，所以或 m,.x2211m,因为此函数图像在每一象限内，y随的增大而减小 ，所以，所以，m，,0x3315m,所以，所以反比例函数的解析
11、式为 y,.26xk(k,0)说明:此题根据反比例函数的定义与性质来解反比例函数y, ，当k,0时，xyk,0y随增大而减小，当时，随增大而增大( xx例 9 一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y厘米，宽是5厘米，高是x厘米( (1)写出用高表示长的函数关系式;(2)写出自变量x的取值范围; x,3(3)当厘米时，求y的值; (4)画出函数的图像( 分析 本题依据长方体的体积公式列出方程，然后变形求出长关于高的函数关系式( 解 (1)因为长方体的长为y厘米，宽为5厘米，高为x厘米， 205xy,100所以，所以( y,x(2)因为x是长方体的高(所以(即自变量x的取值范围是( x,0x
12、,0202(3)当时，y,6(厘米) x,3334)用描点法画函数图像，列表如下: ( x0.5 2 5 10 15 1 y 1 40 10 4 2 3描点画图如图所示( 例 10 已知力F所作用的功是15焦，则力F与物体在力的方向通过的距离S的图象大致是( )( 说明 本题涉及力学中作功问题，主要考查在力的作用下物体作功情况，由此，识别正、反比例函数，一次函数的图象位置关系( 15解 据W,F,S，得15=F,S，即F,，所以F与S之间是反比例函数关系，故S选(B)( 2例11 一个圆台形物体的上底面积是下底面积的如果如下图所示放在桌上，对桌面的压.3强是200Pa，翻过来放，对桌面的压强是
13、多少, FFS解:由物理知识可知，压力，压强p与受力面积之间的关系是因为是同一物p,.SFpS体，的数值不变，所以与成反比例( 2 设下底面是，则由上底面积是， SS003Fp,200p, 由，且时，有 S,SF,pS,200，S,200S.000S2 因为是同一物体，所以是定值(所以当时，S,SF,200S003200SF0因此，当圆台翻过来时，对桌面的压强是300帕( p,300(Pa).2SS03说明:本题与物理知识结合考查了反比例函数，关键是清楚对于同一个物体，它对桌面的压力是一定的( k例12 如图，P是反比例函数上一点，若图中阴影部分的矩形面积是2，求这个反比y,x例函数的解析式(
14、 分析 求反比例函数的解析式，就是求k的值(此题可根据矩形的面积公式及坐标与线段长度的转化来解( (x,y)解 设P点坐标为( x,0,y,0因为P点在第二象限，所以( 所以图中阴影部分矩形的长、宽分别为( ,x,y,xy,2xy,2k,xy又，所以(因为，所以( k,22所以这个反比例函数的解析式为y,( x说明 过反比例函数图像上的一点作两条坐标轴的垂线，可得到一个矩形，这个矩形kk的面积等于中的( y,x22n，n,1例13. 当n取什么值时，y,(n，2n)x是反比例函数,它的图像在第几象限内,在每个象限内，y随x增大而增大还是减小, 2k2n，n,1分析 根据反比例函数的定义y,(n
15、，2n)x可知，是反比例函数，y,(k,0)x22n，2n,0n，n,1,1必须且只需且( 22n，n,1y,(n，2n)x解 是反比例函数，则 2,n,0且n,2,n，2n,0,n,1?即 ( ,2n,0或n,1.,n，n,1,1,212n，n,1y,(n，2n)xy,故当n,1时，表示反比例函数:(？k,1,0， x?双曲线两支分别在二、四象限内，并且在每个象限内，y随x的增大而增大( 三、反比例函数中考考点突破 2k1,y,yyy3x121、(2010甘肃兰州)已知点(-1，)，(2，)，(3，)在反比例函数的图像上. 下列结论中正确的是 y,y,yy,y,yy,y,yy,y,y1231
16、32312231 A( B( C( D( 2y,kx(k,0)y,2、(2010 嵊州市)如图,直线与双曲线交于两A(x,y),B(x,y)1122x点,则的值为( ) 3xy,8xy1221yAoxBA.-5 B.-10 C.5 D.10 k3、(2010四川眉山)如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点yk,(0)xD，且与直角边AB相交于点C(若点A的坐标为(，4)，则?AOC的面积为 ,6A(12 B(9 C(6 D(4 yADCxBOk4、(2010安徽蚌埠二中)已知点(1，3)在函数的图像上。正方形ABCD的y,(x,0)xkAEEBDBC边在轴上，点是对角线的中点，函数
17、的图像又经过、两y,(x,0)xxE点，则点的横坐标为_。 2y,5、(2010内蒙赤峰)已知反比例函数，当,4?x?,1时，y的最大值是_. xk6、(2010 广西钦州市)反比例函数(k 0)的图象与经过原点的直线l相交于A、B y,x两点，已知A点的坐标为(2，1)，那么B点的坐标为 ( yl A,112xO,B第6题 7、(2010广西南宁)如图7所示，点、在轴上，且,分AOA,AA,AAAAx311223128别过点、作轴的平行线，与分比例函数的图像分别 交于点、yAy,(x,0)AAB3121x、，分别过点、作轴的平行线，分别与 轴交于点、，连yBBCBBBCCx33321212接
18、、,那么图中阴影部分的面积之和为 ( OBOBOB312AB,y8、(2010年山西15题)如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点B，点P在x轴上，?ABP面积为2，则这个反比例函数的解析式为 。 4【答案】 y,xky= (k0)9、(2010江苏盐城)如图，A、B是双曲线 上的点， A、B两点的横坐标 x分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S=6(则 ?AOCk= ( y A B O C x (第10题) 4kA10、(2010 福建德化)如图，直线与双曲线(x,0)交于点(将 yx,y,3x4kBx,0直线向下平移个6单位后，与双曲线()交于点，与轴交于点C，yx,y
19、,x3xAO则C点的坐标为_;若，则 ( k,2BCy A B x O C 41411、(2010福建南平)函数y= 和y= 在第一象限内的图像如图，点P是y= 的图像xxx1上一动点，PC?x轴于点C，交y= 的图像于点B.给出如下结论:?ODB与?OCA的面x1积相等;?PA与PB始终相等;?四边形PAOB的面积大小不会发生变化;?CA= AP.3其中所有正确结论的序号是_. y B P D A O C x 第11题 四、达标训练 (一)、基础?过关 21(在反比例函数y=的图象上的一个点的坐标是( ) x11A.(2，1) B.(,2，1) C.(2，) D.(,2) 2232(对于函数
20、y=，下列判断正确的是( ) xA.图象经过点(,1，3) B.图象在第二、四象限 C.图象所在的每个象限内，y随x的增大而减小;D.不论x为何值时，总有y,0 63(已知反比例函数y=的图象经过点(a，b)，(c，d)，且b,d,0，则a与c的大小关系x是( ) A.a,c,0 B.a,c,0 C.c,a,0 D.c,a,0 k4(在反比例函数y=(kx0，则112212xy,y的值为( ) 12A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 3,m5(设反比例函数y=的图象上有两点A(x，y)和B(x，y)，且当x0x时，112212x有yy，则m的取值范围是( ) 12k6(点(1，3)在反
21、比例函数y=的图象上，则k=_，在图象的每一支上，y随xx的增大而_. k7.若反比例函数y=经过点(,1，2)，则一次函数y=,kx+2的图象一定不经过第_象x限. k8.正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象有一个交点的纵坐标是2， x求:(1)x=,3时反比例函数y的值;(2)当,3x0时，y随x的增大而增大，求函数关系式. (二)、综合?应用 ,a10(函数y=,ax，a与y=(a?0)在同一坐标系中的图象可能是图17,1,6中的( ) x图17,1,6 k11(在平面直角坐标系内，过反比例函数y=(k,0)的图象上的一点分别作x轴、y轴x的垂线段，与x轴、y轴所围成的矩形面积是
22、6，则函数解析式为_. 3,m12.若函数y=(2m,1)x与y=的图象交于第一、三象限，则m的取值范围是_. x13.在同一直角坐标系内，如果将直线y=,x+1沿y轴向上平移2个单位后，那么所得直线2与函数y=的图象的交点共有几个, xk114.已知反比例函数y=的图象经过点A(4，)，若一次函数y=x+1的图象平移后经过该x2反比例函数图象上的点B(2，m)，求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标. kkk31215、三个反比例函数:(1)y=;(2)y=;(3)y=在x轴上方的图象如图17,1,7所xxx示，由此推出k，k，k的大小关系是_. 12315题图 16题 图 3616、两个反
23、比例函数y=,y=在第一象限内的图象如图17,1,8所示，点P，P，P，123xx6P 在反比例函数y=的图象上，它们的横坐标分别是x，x，x，x 005，纵坐20051232x标分别是1，3，5，共2 005个连续奇数，过点P，P，P，P分别作y轴的平1233行线，与y=的图象的交点依次是Q(x，y)，Q(x，y)，Q(x，y)，Q1112223332 005x(x，y)，则y=_. 2 0052 0052 005k17、如图17,1,9所示，已知直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y= 12x(ky. 1217题 图 818(已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=,
24、的图象交于A、B两点，且点A的x横坐标和点B的纵坐标都是,2，求: (1)一次函数的解析式;(2)?AOB的面积. 五、分类解析及培优 (一)、反比例函数k的意义 代数意义:给出反比例函数图象上一点坐标(x、y)，则k=xy (1) 当x、y变为-x、-y时，k不变，可知双曲线的两支关于原点对称。 几何意义: k (1)过反比例函数图象上一点分别作x轴、y轴的垂线，与两坐标轴围成的长方形的面积为 (2)过图象上的任一点P作x轴(或y轴)的垂线，连接OP，则垂线段、OP、x轴(或y轴)围成三角形1k的面积为. 2， (3)k0,双曲线的两支分别在一、三象限，在每一象限y随x的增大而减小;k0,双
25、曲线的两支分别在二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大; 我们抓住反比例函数 k的意义可以快解题。 A、 快得解析式 例1、某反比例函数的图象过点M(1,3),则此反比例函数的解析式为,。 3解析:由代数意义知k=1?3=3则解析式为y= xB、 快判断点是否在图象上。 555例2、在平面直角坐标系中有六个点A(1，5),B(-3，-),C(-5,-1)D(-2，)，E(3，),F3235(,2) 2其中有五个点在同一反比例函数的图象上，不在这个反比例函数图象上的点是,。 解析:由代数意义分别求出k，除D点的k=-5外，其它都为5，因而点D不在这个反比例函数图象上C、快确定图象所在的象限 k
26、例3、已知反比例函数y=的图象经过p(-1,2)，则这个函数的图象位于第_象限。 x解析: k=-12=-2，所以双曲线的两支分别在二、四象限。 ，D、快比较大小 k，例4、若A(，)，B(，)，C(，)是y=(k0)上的三点，且0，xyxxyxyxx333121122x则从小到大排列、为_ yyy321，k 解析: 0，0，在第二象限，k0,y随x的增大而增xx12，大，所以0;0，0，所以0 所以 kxyyyyyy3332211E、快得图形的面积 k例5、如图，直线y=mx与y=交于A、B两点，过A作AM垂直x轴，垂足为M，连接BM，若=2,kx则=_. S,ABm解析:双曲线的两支关于
27、原点对称。所以O为AB的中点，又=1，则=2. S,OAMS,ABmk 例6、如图，y=经过矩形OABC的边BC的中点E，交AB于D，若梯形ODBCx的面积为3，则双曲线的解析式为_ 1 解析:S?DOA=，四边形ECOF的面积为，由 kk21S?DOA+S=S，则+3=2;解得=2 kkk矩形,梯形DBCE2、快得图象上的两点与原点构成三角形面积。 F如图1，由几何意义知S?COA=S?DOB,则不重叠的两部分面积相等。 例7、已知A(1,2)，B(4,b)在同一反比例函数的图象上，求S?AOB. 21解析:由代数意义知y=,b=,如图2，过分别x2A、B作AD?x轴,BE?x轴,AD交OB
28、于C,由几何意义知S?AOC=S四边形BCDE 1115则S?AOB=S梯形ABED =(+2)(4-1)=?222215?3= 4(二)、反比例函数与三角形合 反比例函数与不同的三角形结合，展示出许多趣味横生的妙题。本文对这一问题进行了归纳，仅供同学们学习时参考。 1、反比例函数与直角三角形 6例1、如图1所示，P是反比例函数y=在第一象限分支上的一个动点，PA?x轴， x随着x的逐渐增大，?APO的面积将( ) A、增大 B、减小 C、不变 D、无法确定 (09年德城)。 分析:设点P的坐标是(a，b)， 所以ab=6，根据坐标与线段长度的关系，知道OA=a，AP=b， 11所以，三角形A
29、OB的面积是:，AP，AO=ab=3， 22y B x O A 图2 因此，三角形的面积是不变的定值。解:选C。 2、反比例函数与底边是定长的动态三角形 、如图2，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是 例2ABx3双曲线()上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时， x,0y,x的面积将会:A(逐渐增大 B(不变 C(逐渐减小 D(先增大后减?OAB小(兰州市2009年) 1分析:三角形OAB的面积是:?OA?h，因为，点A是轴正半轴上的一个定点， x2所以，OA是一个定长，所以，三角形OAB的面积有OA 上的h决定，而这里的h恰好是点B的纵坐标，根据反比例函数的性质，当k大于0时，y
30、随x的增大而减小， 所以，当点B的横坐标增大时，其纵坐标将逐渐减小。解:选C。 (三)、反比例函数与相似三角形 例3、如图3所示，在直角坐标系中，?OBA?DOC，边OA、OC都在x轴的正半轴上，k,点B的坐标为(6，8)，?BAO?OCD90?，OD5(反比例函数的图象经yx,(0)x过点D，交AB边于点E(1)求k的值(2)求BE的长(09年长春市) 分析: 解答时，要用好相似三角形的性质，处理好线段长与点的坐标的关系。这是问题获得解决的两个关键点。 解:(1)因为，?OBA?DOC， OCBAOC84,所以，因为，B(6，8)，?BAO，所以，( 90:,DC63DCOA,在Rt?COD
31、中，OD5，所以，OC4，DC3(所以，D(4，3)( kk123,因为，点D在函数的图象上，所以，(所以，(2)因为，E是k,12y,yx,(0)4xx12,图象与AB的交点，所以，AE2(所以，BE8,2=6( 6(四)、反比例函数与全等三角形 例4、如图4所示，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点8，与反m比例函数y=在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，n)(过点C作CE上y轴于E，x过点D作DF上X轴于F( (1)求m，n的值;(2)求直线AB的函数解析式;(3)求证:?AEC?DFB( 分析: (五)、反比函数图像上四种三角形的面积 反比例函数的图像经常
32、与三角形的面积联系在一起，下面就举例说明。 A、三角形面积的四个结论 结论1、过反比例函数图像上一点，向x轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。 如图1所示， k设P(a，b)是反比例函数y=(k?0)图像上的一点，过点P作PA?xx轴，垂足为A，三角形PAO的面积是S，则|k|=2S。 结论2、过反比例函数图像上一点，向y轴作垂线，则以图像上这个点、垂足，原点为顶点的三角形的面积等于反比例函数k的绝对值的一半。 如图2所示， k设P(a，b)是反比例函数y=(k?0)图像上的一点，过点P作PB?yx轴，垂足为B，三角形PBO的面积是S，则|
33、k|=2S。 k结论3、正比例函数y=kx(k,0)与反比例函数y=(k,0)11x的图像交于A、B两点，过A点作AC?x轴，垂足是C，三角形ABC的面积设为S，则S=|k|，与正比例函数的比例系数k无关。如1图3所示。 证明1: 因为，正比例函数y=kx(k,0)与 11k反比例函数y=(k,0)的图像交于A、B两点， xkkkk1所以，,，所以，x=?， ,kx1kkx11kkkk11当x=时，y= kx=kk，所以，点A的坐标是(，11kk11kk)， 1kkkk11kkkk当x=-时，y= kx=-，所以，点B的坐标是(-，-)，所以，OC111kk11kk1的长度是，三角形ABC 的
34、面积=三角形AOC的面积+三角形BOC的面积 k111=?OC?AC+?OC?BD 22kkkk1111kkkk=?+?|-| 1122kk1111=k+k=k。所以，与k无关。 1221证明2、根据结论1，知道三角形AOC的面积是k， 2kk1111三角形BOC的面积=?OC?BD|-|=k， kk1222k1所以，三角形ABC 的面积= k。 k结论4、正比例函数y=kx(k,0)与反比例函数y=(k,0)的图像交于A、B两点，过11xA点作AC?x轴，过B点作BC?y轴，两线的交点是C，三角形ABC的面积设为S，则S=2|k|，与正比例函数的比例系数k无关。如图4所示。 1因为，正比例函
35、数y=kx(k,0)与 11k反比例函数y=(k,0)的图像交于A、B两点， xkkkk1所以，所以，x=?， ,kx1kkx11kkkk11当x=时，y= kx=kk，所以，点A的(kk)， 111kk11kkkk11当x=-时，y= kx=-kk，所以，点B的坐标是(-，-kk)， 111kk11kk1所以，OC的长度是，三角形ABC 的面积=三角形AOE的面积+三角形BOD的面积k1+矩形ODCE的面积 11=?OE?AE+?OD?BD+OD?DC 22kkkkkk11111kkkkkk=?+?|-|?|-|+?|-| 11122kkk11111=k+k+k=2k。所以，与k无关。 12
36、2B、结论的具体应用 这些结论，在解答中考数学中选择题、填空题都是非常有效的。下面就举例说明。 kAM例1、如图5，若点在反比例函数的图象上，AMx,轴于点，?AMOyk,(0)xk,的面积为3，则 (08年巴中市) 分析:根据结论1，知道面积S与k之间有如下的关系:|k |=2S，S=3，所以，|k |=6，所以，k=6或者k=-6，因为图像分布在二、k,四象限，所以，k,0，所以 k=-6.解:-6. k1例2、两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象，如xxk图6所示，点P在y=的图象上，PC?x轴于点C，交x11ky=的图象于点A，PD?y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的
37、图象上xxx运动时，以下结论: ? ?ODB与?OCA的面积相等;?四边形PAOB的面积不会发生变化; ?PA与PB始终相等;?当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点( 其中一定正确的是 (08年湖北省咸宁市) 1分析:因为，点A、B都在反比例函数y=的图像上，根据结论1和结论2，知道; x? ODB与?OCA的面积相等,所以，?是正确的; 如图7所示，连接OP， 11根据结论1知道，三角形POC的面积为k，是个常数，三角形OAC的面积是， 2211所以，三角形PAO的面积是k-，是个常数， 2211根据结论2知道，三角形POD的面积为k，是个常数，三角形OBD的面积是， 2211所以，三角形PBO的面积是k-，是个常数， 221111所以，四边形PBOA的面积等于三角形PAO的面积+三角形PBO的面积=k-+k- 2222=k-1，是一个定值，所以?是正确的; k设点P的坐标为(m，n)，因为，点P在的图象上，反比例函数在第一象限内， y,x1所以，mn=k，m,0，n,0，因为，PC?x轴于点C，交的图象于点A， y,x11所以，点A的横坐标为m，所以，点A的纵坐标为，即点A的坐标为(m，); mm1因为，PD?y轴于点D，交的图象于点B，所以，点B的纵坐标为n，所以，点A的y,xmn,1mn,11111