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1、原创2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析5 解析几何2011年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点五 解析几何 高考对解析几何的考查主要包括以下内容:直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有12个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练. 22预测1.
2、如果圆关于直线l:对称，则直线的斜率lmxy，,410(3)(1)1xy，,等于. 解析:依题意直线经过点，所以,，,3410m，m,1，于是mxy，,410(3,1),1直线斜率为. k,4动向解读:本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题这是解析几何的基础内容是高考的重点内容一般以选择题、填空题的形式考查有时也间接考查与圆锥曲线的内容综合起来进行考查. 22xy预测2. 已知双曲线,1的左右焦点分别是，P点是双曲线右支上一点，FF,12916且，则三角形的面积等于. |PFFF,PFF21212a,3解析:由已知可得，而，所以|210FFc,|26PFPFa,1212，又，所以可得
3、三角形的面积等于|16,|10PFPF,|10FF,PFF121212122. S,，,16108482动向解读:本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目.解答这类问题要善于运用双曲线的定义善于运用参数间的关系求解. 22xy，,1(0)abMN,预测3.已知椭圆，是椭圆上关于原点对称的两点，是P22ab1PMPN、椭圆上任意一点，且直线kk、的斜率分别为，若，则椭圆的离心率kk,12124为 2321A. B. C. D( 2232yyy
4、y,，00kk,PxyMxyNxy(,),(,),(,),解析:设，则，依题意有120000xxxx,，00222222xyxyyyyyyy,，,00000.又因为在椭圆上，所以，,，,1,1MN,kk,12222222ababxxxxxx,，,0002222222222xxyy,b1ac,1yy,b000两式相减得，即，所以，即，,，,0,2222222a4a4abxxa,03解得.故选C. e,2动向解读:本题考查椭圆的离心率问题这是高考的热点内容这类问题的特点是:很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系而是提供一些几何性质与几何位置关系来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时首先应考虑运用圆
5、锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系其次是根据题目提供的几何位置关系确定参数满足的等abc,式或不等式然后根据的关系消去参数b从而可得到离心率的值或取值范围.abc,2222(x,c)，y，(x，c)，y,102b预测4.已知椭圆的短轴长为，那么直线22截圆所得的弦长等于. _bx，cy，3,0x，y,122222bca，,25210a,a,5解析:由椭圆定义知，所以，于是，圆的x，y,13833221(),圆心到直线d,bx，cy，3,0的距离等于，故弦长等于.22555bc，动向解读:本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题是一道多知识点的综合性小题这正体现了高
6、考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则.值得注意的是:本题中椭圆方程没有直接给出而是要借助椭圆的定义进行分析求解才能得到有关的参数值. 22xy，,1(022)b预测5. (理科)已知椭圆的左、右焦点分别为F和F，12 28b以F 、F为直径的圆经过点M(0，b). 12(1)求椭圆的方程; ,MAMB,0(2)设直线l与椭圆相交于A，B两点，且.求证:直线l在y轴上的截距为定值. 22xybc,bc,2，,1a,22解析:(1)由题设知，又，所以，故椭圆方程为;84(2)因为，所以直线与x轴不垂直.设直线的方程为，llM(0,2)ykxm,，22,xy，,1,222.由得， AxyB
7、xy(,),(,)(21)4280kxkmxm，,84,1122,ykxm,，,2428kmm,所以， xxxx，,1212222121kk，,又，所以， (,2)(,2)0xyxy,MAMB,01122即， xxyyyy，,，,2()40121212， xxkxmkxmkxmkxm，,，,()()2()4012121222整理得， (1)(2)()(2)0kxxkmxxm，,，,12122284mkm,22即， (1)(2)()(2)0kkmm，,，,222121kk，222m,2因为，所以， 2(1)(2)4(21)(2)0kmkmkm，,，,22320m，,展开整理得，即.直线l在y轴上
8、的截距为定值. ,m,3322xya,b,0，,1预测6. 已知椭圆()的右焦点为，离心率为. F(3,0)e222ab3e,(?)若，求椭圆的方程; 2ykx,MN,(?)设直线AFBF,与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点. 若AB2223OMN,e,k坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围. 22c,3,a,23解:(?)由题意得，得. 2分,c3,a2,22222abc,，a,12b,3结合，解得，. 3分22xy所以，椭圆的方程为. 4分，,112322,xy，,1,22222222(?)由 得. ()0bakxab，,ab,ykx,设. AxyBxy(,),(,)112222,
9、ab所以， 6分xxxx，,0,1212222bak，OMON,依题意， 易知，四边形为平行四边形， OMFN2所以， 7分AFBF,22,FAxy,(3,)FBxy,(3,)因为， 211222,2FAFBxxyykxx,，,，,(3)(3)(1)90所以. 8分22121212222,，aak(9)(1)，,90即 ， 9分222aka，,(9)422aa,，1881812k,1将其整理为 . 10分4242,，,aaaa18182321218,a,e,2332,a因为，所以，. 11分222212k,，,(,(,:所以，即. k,44822xy3e,Cab:1(0)，,预测7. 已知椭圆
10、的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半223abCxy,，,20AB,轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点， P为椭圆上的动点. (?)求椭圆的标准方程; (?)若与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明:为定AB,kk,kk PPAPB1212值; OP(?)为过且垂直于轴的直线上的点，若，求点的轨迹方程，并,xMPMOM说明轨迹是什么曲线( 222解:(?)由题意可得圆的方程为， xyb，,c32?直线与圆相切，?，即， 又，即e,xy,，,20db,b,2a32222abc,，c,1ac,3，解得a,3， 22xy所以椭圆方程为( ，,13222xy22200(?)设， ，则，,
11、1，即， Pxyy(,)(0),A(3,0),B(3,0)yx,200000323 yy00k,k,则， 21x，3x,30022222(3),xx200y2330kk,即， 12222xxx,33330002?为定值( kk ,123(?)设Mxy(,)，其中( x,3,32222xx2，,2OPx，6223C,由已知及点在椭圆上可得， ,P22222xyxy，3()OM2222整理得，其中( (31)36,，,xyx,3,332,?当时，化简得， y,63所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段; Myx,6(33) 22xy3，,1,?当时，方程变形为，其中， x,3,366322
12、,313,3,33x,0当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足My3的部分; 3,33x,1x当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的3部分; 当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆( ,1xM22xy1Ea:13，,e,，2t,0xt,a32E预测8. 已知椭圆的离心率. 直线()与曲线交MN,MNCC于 不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为( E (1) 求椭圆的方程; AB,yC,ABC (2) 若圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值. 222a,31xy1,Ea:13，,e,，2a23a2(1)解:?椭圆的离心率, ?. 2分22xy，,1a,243E
13、 解得. ? 椭圆的方程为( 4分(2)解法1:依题意，圆心为( xt,2222,xy123,t123,t2，,1,r,y,C243,4 由 得. ? 圆的半径为( 6分AB,yyCCdt,? 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，2123,t2210,t0,t27? ，即( 2123,t2222|22127ABrdtt,4? 弦长( 8分12Stt,127,ABC2?的面积 9分227127tt，,，112,，,7127tt ,，22727 37,7 . 12分42t,27127tt,7 当且仅当，即时，等号成立. 37,ABC7 ? 的面积的最大值为( 13分解法2:依题意，圆心为(
14、xt,2222,xy123,t123,t2，,1,r,y,C243,4 由 得.? 圆的半径为( 6分2123,t22()xty,，,C4 ? 圆的方程为( AB,yyCCdt,? 圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，2123,t2210,t0,t27? ，即( 22127,t123,t22y,()xty,，,Cx,024 在圆的方程中，令，得，2|127ABt, ? 弦长( 12Stt,127,ABC2?的面积 227127tt，,，112,，,7127tt ,，22727 37,7 . 42t,27127tt,7 当且仅当，即时，等号成立. 37,ABC7 ? 的面积的最大值为( 1
15、2预测9. 已知抛物线，其焦点到准线的距离为。, FC:x,2py(p,0)2(1)试求抛物线的方程; C(2)设抛物线C上一点的横坐标为，过的直线交C于另一点，交轴t(t,0)QxPP于，过点作的垂线交C于另一点，若是C的切线，求的最小tQPQMNMN值( 2解:(1) x,y2222(2)设，则直线的方程为P(t,t),Q(x,x),N(xx)y,x,2x(x,x)MN000002222t2tx,xx00？k,k,x，x令，得，y,0(,0)MPMNQ0x2t,xx,x2000t,222tD ？k,k,1？NQ,QP，且两直线斜率存在，即，(x，x),1PMNQ02t,x02tx，t222
16、x,(1)整理得，又在直线上， PMQ(x,x)02,t12xt2x,则MQ与共线，得 (2)MP0x，t22x12tx2t，22xt2t,？,？t,由(1)、(2)得，或(舍)(t,0)t,212t3x,33x，t2t所求的最小值为。 ？322预测10. 已知圆及定点，点P是圆M上的动点，点Q在Mxy:(5)36，,N(5,0),NP上，点G在MP上，且满足，( NPNQ,2GQNP,0(1)求G的轨迹C的方程; ,(2)过点作直线l，与曲线C交于A,B两点，O为坐标原点，设，K(2,0)OSOAOB,，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等,若存在，求出直线l的方程;若不存在，
17、说明理由( 22xy，,1|GM|，|GN|,|MP|,694解:(1)，所以椭圆方程为4分？OS,OA，OB,？OASBOA,OB(2)四边形为平行四边形，又其对角线相等，则当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等;6分 l:y,k(x,2),A(x,y),B(x,y)1122当直线的斜率存在时，设直线，联立 ,(,2)ykx,2222224x，9y,36,(4，9k)x,36kx，36(k,1),0, 2236k36(k,1)？x，x,xx,1212224，9k4，9k9分 2？xx，yy,xx，k(x,2)(x,2),012121212， 222(1，k)xx,2k(x，x)，4k,0
18、1212整理得(*) 4436(1)7293k,k2240,，k,？k,？k,22424949，k，k代入得 3l;y,(x,2)2所以存在直线12分 11预测10. 已知动圆过点且与直线相切. PF(0,)y,44C(1)求点的轨迹的方程; PAB,AB,CC(2)过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点FNMNx,，为线段的中点，求证:轴. MABy ? F P ? O x 第22题 2解:(1)根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为4分Pxy, 222,证明:设， ?， ? ，? 的斜率yx,2ANBN, (2)AxxBxx(,),(,) yx,1122分别 y 2
19、为，故的方程为，的方程ANBN2,2xx yxxxx,2()121112为 7分 yxxxx,2()2222? F ,yxxx,2xx，xx，,111212即，两式相减，得，又，x,x,P NM? 222yxxx,2,22, x O ? 的横坐标相等，于是MNx,10分MN, 第22题 22预测11. 已知点P(4，4)，圆C:与椭圆E: ()5(3)xmym,，,22xy有一个公共点A(3，1)，F(F分别是椭圆的左(右焦点，直线，,1(0)ab1222abPF与圆C相切( 1(1)求m的值与椭圆E的方程; yP,(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围(APAQ,AFFOCx21Q2解:(
20、?)点A代入圆C方程， 得( ?m,3，?m,1(3)15,，,m22圆C:(设直线PF的斜率为k， (1)5xy,，,1ykx,，(4)4kxyk,，,440则PF:，即( 1|044|kk,，,5?直线PF与圆C相切，?( 12k，11111136解得(当k,时，直线PF与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去(kk,或1112221当k,时，直线PF与x轴的交点横坐标为,4， 122?c,4(F(,4，0)，F(4，0)(2a,AF，AF,52262，,，a,32，a,121218， 22xy2b,2(椭圆E的方程为:( ，,1182,(?)，设Q(x，y)， AP,(1,3)AQxy,(3,
21、1)22,xy22(?，即， APAQxyxy,，,，,(3)3(1)36xy，,(3)18，,118222而，?,18?6xy?18( xyxy，,(3)2|3|?222则的取值范围是0，36( (3)(3)6186xyxyxyxy，,，,，的取值范围是,6，6( xy，3,?的取值范围是,12，0( APAQxy,，,362预测12. 已知抛物线:的焦点为，过点作直线交抛物线于、lCCFFxy,4A两点;椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其xFBE3离心率( e,2(1)求椭圆的方程; Ellll(2)经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点(证CABM1212明:;
22、 AB,MF,(3) 椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、CMAMBEMM,(、为切点)，使得直线过点,若存在，求出抛物线与切线、CABFMAMBAB所围成图形的面积;若不存在，试说明理由( 22xy，,1(0)ab解:(1)设椭圆的方程为 ，半焦距为. cE22abF(0,1)由已知条件，得， b,1,当a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。,c3,? ,a2,222,a,b，c,a,2,b,1 解得 . 2x2，y,1所以椭圆的方程为:. 分 4E4llC(2)显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线只有一个交点，不合题意， （1）一般式：ly,kx，1AxyBxyxx
23、(,),(,)(), 故可设直线的方程为 ， 112212y,kx，1, 由 ,2x,4y,2xkx,440消去并整理得 ， y? . 分 5xx,412112?抛物线,的方程为，求导得， y,xCyx,42?过抛物线上、两点的切线方程分别是 CABtanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中A的对边与邻边的比；11 ， ， y,y,x(x,x)y,y,x(x,x)11122222111122即 ， ， y,xx,xy,xx,x2211242412.与圆有关的辅助线x，xx，xxx121212解得两条切线7、的交点的坐标为，即，分(,)M(,1)Mll12242 ,xx，111222212
24、?FMABxxyy,(,2)(,),(x,x),2(x,x),0212121212244 (4)面积公式:(hc为C边上的高);?. 8分AB,MF ,(3)假设存在点满足题意，由(2)知点必在直线上，又直线与椭圆MMEy,1y,1,有唯一交点，故的坐标为,， MM(0,1)1,设过点且与抛物线相切的切线方程为:，其中点为CM(x,y)y,y,x(x,x)000002(2)两锐角的关系：AB=90；切点. 112令得， x,0,y,1,1,x,x(0,x)00042解得或 ， 10分 x,2x,200本册教材在第五单元之后安排了一个大的实践活动，即“分扣子”和“填数游戏”。旨在综合运用所学的知
25、识，从根据事物的非本质的、表面的特征把事物进行分类，发展到根据客观事物抽象、本质的特征进行不同方式的分类，促进孩子逻辑思维能力的发展。同时，安排学生填数游戏，旨在对孩子的口算能力、逻辑思维能力和观察能力的训练，感受数学的乐趣!, 故不妨取，即直线过点. ABFA(,2,1),B(2,1), 综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、CMAEMM(0,1),(、为切点)，能使直线过点. MBABFAB 此时，两切线的方程分别为和. 11分yx,1y,x,1 9.直角三角形变焦关系：, 抛物线C与切线、所围成图形的面积为 MAMB211142，232Sxxdxxxx,，,2(1)2() . 13分,0,041223，(1) 弧长公式: 弧长 (R表示圆的半径, n表示弧所对的圆心角的度数)动向解读:本题考查解析几何中的定点、定值或取值范围问题这是一类综合性较强的问题也是近几年高考对解析几何考查的一个重点和热点内容.这类问题以直线与圆锥曲线德位置关系为载体以参数处理为核心需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求.