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1、复习高考数学考前必看系列材料之二_思想方法篇高考数学考前必看系列材料之二_思想方法篇高考数学考前必看系列材料之二 思想方法篇 一、中学数学重要数学思想 一、 函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。1.函数思想:把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想; 2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤:(1)根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;(2)根据需要构造函数，利用函数
2、的相关知识解决问题;(3)方程思想:在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想;3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。 二、 数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一，对于所研究的代数问题，有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决(以形助数);或者对于所研究的几何问题，可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决(以数助形)，这种解决问
3、题的方法称之为数形结合。1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性，发挥数的思路的规范性与严密性，两者相辅相成，扬长避短。2.恩格斯是这样来定义数学的:数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。这就是说:数形结合是数学的本质特征，宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一。因此，数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂。 3.数形结合的本质是:几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质。 4.华罗庚先生曾指出:数缺性时少直观，形少数时难入微;数形结合百般好，隔裂分家万事非。数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形:或借助于数的精确性来阐
4、明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有关于这个方面的考查(即用代数方法研究几何问题)。而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现。 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领: (1) 对于研究距离、角或面积的问题，可直接从几何图形入手进行求解即可; (2) 对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图象求解(函数的零点，顶点是关键点)，作好知识的迁移与综合运用;(3) 对于以下类型的问题需要注意:可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解
5、题目的。 三、 分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种: (1)涉及的数学概念是分类讨论的; (2)运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的;(3)求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性;(4)数学问题中含有参变量，这些参变量的不同取值导致不同的结果的; (5)较复杂或非常规的数学问题，需要采取分类讨论的解题策略来解决的。 2.分类讨论是一
6、种逻辑方法，在中学数学中有极广泛的应用。根据不同标准可以有不同的分类方法，但分类必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏 ，包含各种情况，同时要有利于问题研究。四、 化归与转化思想 所谓化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂的问题通过变化转化为简单的问题，将难解问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题转化为已解决的问题。立体几何中常用的转化手段有 1.通过辅助平面转化为平面问题，把已知元素和未知元素聚集在一个平面内，实现点线、线线、线面、面面位置关系的转化;2.平移和射影，通过平移或射影达到将立体几何问题转化
7、为平面问题，化未知为已知的目的; 3.等积与割补; 4.类比和联想; 5.曲与直的转化; 6.体积比，面积比，长度比的转化; 7.解析几何本身的创建过程就是数与形之间互相转化的过程。解析几何把数学的主要研究对象数量关系与几何图形联系起来，把代数与几何融合为一体。 二、中学数学常用解题方法 1. 配方法 配方法是指将一代数形式变形成一个或几个代数式平方的形式，其基本形式是:ax2+bx+c=.高考中常见的基本配方形式有:(1) a2+b2= (a + b)2- 2a b = (a -b) 2+ 2 ab; (2) (2) a2+ b2+ ab =; (3) (3)a2+ b2+c2= (a，b
8、+ c)2- 2 ab - 2 a c - 2 bc; (4) (4) a2+ b2+ c2- a b - bc - a c = ( a - b)2 + (b - c)2 + (a - c)2; (5) ; 配方法主要适用于与二次项有关的函数、方程、等式、不等式的讨论，求解与证明及二次曲线的讨论。 2.待定系数法 ? 待定系数法是把具有某种确定性时的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决。待定系数法的主要理论依据是:(1)多项式f(x)=g(x)的充要条件是:对于任意一个值a，都有f(a),g(a); (2)多项式f(x) ?g(x)的充要条件是:两个多项式各同类项的系数对应相等
9、; ? 运用待定系数法的步骤是: (1)确定所给问题含待定系数的解析式(或曲线方程等);(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程; (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决;? 待定系数法主要适用于:求函数的解析式，求曲线的方程，因式分解等。 3.换元法 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返回去求原变量的结果。换元法通过引入新的元素将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，或者变为熟悉的问题。其理论根据是等量代换。高中数学中换元法主要有以下两类: (1)整体换元:以元换式; (2)三角换元 ，以式换
10、元; 弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：大于半圆的弧叫做优弧。劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)(3)此外，还有对称换元、均值换元、万能换元等;换元法应用比较广泛。如解方程，解不等式，证明不等式，求函数的值域，求数列的通项与和等，另外在解析几何中也有广泛的应用。运用换元法解题时要注意新元的约束条件和整体置换的策略。 4.向量法 向量法是运用向量知识解决问题的一种方法，解题常用下列知识: 推论2 经过
11、切点且垂直于切线的直线必经过圆心.(1)向量的几何表示，两个向量共线的充要条件;(2)平面向量基本定理及其理论;(3)利用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直的问题;函数的取值范围是全体实数；(4)两点间距离公式、线段的定比分点公式、平移公式;若a0，则当x时，y随x的增大而减小。5.分析法、综合法 (1)分析法是从所求证的结果出发，逐步推出能使它成立的条件，直至已知的事实为止;分析法是一种执果索因的直接证法。一年级有学生 人，通过师生一学期的共同努力，绝大部分部分上课能够专心听讲，积极思考并回答老师提出的问题，下课能够按要求完成作业，具有一定基础的学习习惯，但是也有一部分学生的学习习惯较差，
12、学生上课纪律松懈，精力不集中，思想经常开小差，喜欢随意讲话，作业不能及时完成，经常拖拉作业，以致学习成绩较差，还需要在新学期里多和家长取得联系，共同做好这部分学生行为习惯的培养工作。(2)综合法是从已经证明的结论、公式出发，逐步推出所要求证的结论。综合法是一种由因导果，叙述流畅的直接证法。5、多一份关心、帮助，努力发现他们的闪光点，多鼓励、表扬他们，使其体验成功、努力学习。(3)分析法、 综合法是证明数学问题的两大最基本的方法。分析法执果索因的分析方法，思路清晰，容易找到解题路子，但书写格式要求较高，不容易叙述清楚，所以分析法、综合法常常交替使用。分析法、 综合法应用很广，几乎所有题都可以用这
13、两个方法来解。6.反证法 0 抛物线与x轴有0个交点（无交点）；反证法是数学证明的一种重要方法，因为命题p与它的否定非p的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。 圆内接四边形的性质: 圆内接四边形的对角互补;? 反证法证明的一般步骤是: (1)反设:假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;(2)三角形的外心: 三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.(2)归谬:从命题的条件和所作的结论出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果; 7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。(3)结论:有矛盾判定假设不正确，从而肯定的结论正确;? 反证法的适用范围:(1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少时的命题; (2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题，特别是结论是否定形式(不是、不可能、不可得)等的命题;(3)涉及各种无限结论的命题;(4)以最多(少)、若干个为结论的命题;(5)存在性命题;(6)唯一性命题;(7)某些定理的逆定理;(8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式等。 ? 反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律。 7.另外:还有数学归纳法、同一法、整体代换法等.