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1、生活数学归纳法经典例题详解例1(用数学归纳法证明: 1111n( ，？，,，1，33，55，72n,12n，12n，1请读者分析下面的证法: 1111证明:?n=1时，左边,，右边,，左边=右边，等式成立(1，332，13?假设n=k时，等式成立，即: 1111k( ，？，,，1，33，55，72k,12k，12k，1那么当n=k+1时，有: 11111 ，？，1，33，55，72k,12k，12k，12k，3，1111111111, ,1,，,，,，？，,，,2335572k,12k，12k，12k，3,，1112k，2, ,1,22k，322k，3,k，1k，1, ，2k，32k，1，1这
2、就是说，当n=k+1时，等式亦成立( 由?、?可知，对一切自然数n等式成立( 评述:上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求(正确方法是:当n=k+1时( 11111，？， ，1，33，55，72k,12k，12k，12k，3k1,， ，2k，12k，12k，322k，3k，12k，1k，1， ,，2k，12k，32k，12k，3k，1k，1 ,，2k，32k，1，1这就说明，当n=k+1时，等式亦成立， 例2(是否存在一个等差数列a，使得对任何自然数n，等式:
3、 na+2a+3a+na=n(n+1)(n+2) 123n都成立，并证明你的结论( 分析:采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来a，然后再证明一般性( n解:将n=1，2，3分别代入等式得方程组( a,6,1,a，2a,24， ,12,a，2a，3a,60123,解得a=6，a=9，a=12，则d=3( 123故存在一个等差数列a=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立( n下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a=3n+3，对大于3的自然数，等式na+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)都成立( 123n因为起始值已证，可证第二步骤( 假设n=k时，等式成立，即 a+2
4、a+3a+ka=k(k+1)(k+2) 123k那么当n=k+1时， a+2a+3a+ka +(k+1)a 123kk+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3 2=(k+1)(k+2k+3k+6) =(k+1)(k+2)(k+3) =(k+1)(k+1)+1(k+1)+2 这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列a=3n+3使a+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)成立(n123n综合上述，可知存在一个等差数列a=3n+3，对任何自然数n，等式a+2a+3a+na=n(n+1)(n+2)n123n都成立( 111例3(证明不等式 (n?N)( 1，？，,2n23n证
5、明:?当n=1时，左边=1，右边=2( 左边右边，不等式成立( 111?假设n=k时，不等式成立，即(1，？，,2k23k那么当n=k+1时， 1111 1，？，23kk，112kk，1，1 ,2k，,k，1k，1k，k，1，12k，1， ,2k，1k，1k，1这就是说，当n=k+1时，不等式成立( 由?、?可知，原不等式对任意自然数n都成立( 说明:这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是 1111，当代入归纳假设后，就是要证明:1，？，,2k，123kk，112k，,2k，1( k，1认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标(例4(已知数列a满足a=0，a=
6、1，当n?N时，a=a+a( n12n+2n+1n求证:数列a的第4m+1项(m?N)能被3整除( n分析:本题由a=a+a求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法(n+1n+1n?当m=1时，a=a=a+a=(a+a)+(a+a)=a+a+a+a+a=3，能被3整除(4m+1543322121221?当m=k时，a能被3整除，那么当n=k+1时， 4k+1a=a=a+a 4(k+1)+14k+54k+44k+3+a+a+a =a4k+34k+24k+24k+1=a+a+a+a+a 4k+24k+14k+24k+24k+1(3)三角形的外心的性质:三角形外心到三顶点的距离相等.=3a+
7、2a 4k+24k+1由假设a能被3整除，又3a能被3整除，故3a+2a能被3整除(4k+14k+24k+24k+15.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别为45、135、225。因此，当m=k+1时，a也能被3整除( 4(k+1)+1切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.由?、?可知，对一切自然数m?N，数列a中的第4m+1项都能被3整除(n函数的增减性：例5(n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧, 分析:设这些半圆最多互相分成f (n)段圆
8、弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证(定义：在RtABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanA，9切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长想等，圆外切四边形对边相等，直角三角形内切圆半径公式.2当n=2时，由图(1)(两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=2( (2)中心角、边心距：中心角是正多边形相邻两对角线所夹的角，边心距是正多边形的边到圆心的距离.2当n=3时，由图(2)(三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=3( 2由n=4时，由图(3)(三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=4(2由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆
9、弧段有f (n)=n( 用数学归纳法证明如下: ?当n=2时，上面已证( 2?设n=k时，f (k)=k，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就点在圆上 d=r;多出k条圆弧;另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧(2? f (k+1)=k+k+(k+1) 22 =k+2k+1=(k+1)函数的增减性：2? 满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)段圆弧( （2）抛物线的描述：开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点。2由?、?可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n段圆弧( 说明:这里要注意;增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条,可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律:f (k+1)=f (k)+k+(k+1)(