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1、角平分线模型的构造角平分线(I) 定义：如图 2T,如果ZAOB=ZBOC,那么 ZAOC二2ZAOB二2ZBOC, 像OB这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射 线，叫作这个角的角平分线.图21(2) 角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的 角， 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3) 角平分线的判定定理 在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分 成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， 在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型,已
2、知P是ZMoN平分线上一点, 若PA丄OM于点A,如图2-2 (a),可以过P点作PB丄ON于点B,则PB二PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”.若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b),可以在ON上截取OB二0A,连接PB,构造 OPBSZopa.可记为“图中有角平分线，可 以将图对折看，对称以后关系现”.若AP丄OP于点P,如图2-2(C),可以延长AP交ON于点B,构造A0B是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线, 三线合一试试看”.若过P点作PQ/ON交OM于点Q,如图2-2(d),可以构造APOQ是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现
3、”.Cl)如图 2-3(a),在ZABC 中,ZC=90o,AD 平分ZCAB,BC=6cm,BD=4cm,那么点D到直线AB的距离是（）cm.(2)如图 2-3(b),已知：Z1 = 2, Z3二Z4,求证：AP平分ZBAC.如图 2-4(a), RtABC 中，ZACB=90o , CD丄AB,垂足为 D AF 平分ZCAB,交CD于点E,交CB于点F求证：CE= CF.图24 (a)将图2-4(a)中的AADE沿AB向右平移到AA，D E*的位置，使点E- 落在BC边上，其它条件不变，如图2-4所示.试猜想：BE与CF 有怎样的数量关系请证明你的结论.阅读下列学习材料: 如图2-5(a)
4、所示，OP平分ZMON, A为OM上一点，C为OP上一点， 连接AC,在射线ON上截取OB二0A,连接BC(如图2-5(b),易证 AOCMBOC.请根据上面的学习材料，解答下列各题：(I)如图2-5(C)所示，在ZABC中，AD是ABAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明 理由.图25 (C)如图2-5(d)所示，AD是AABC的内角平分线，其它条件不变，试 比较PC PB与AC-AB的大小，并说明理由.如图2-6(a),已知等腰直角三角形ABC中，ZA二90分ZABC, CE丄BD,垂足为点E,求证：BD=2CE.,AB二AC, BD 平
5、E图26 (a)如图2-7(a), BD、CE分别是AABC的外角平分线，过点A作AD JLBD. AE丄CE,垂足分别为D、E,连接DE.求证：DE/BC, DE=I (AB+BC+AC):2(2)如图2-7(b), BD、CE分别是AABC的内角平分线，其它条件不变;图27 (b)C(3)如图2-7(c), BD为AABC的内角平分线,CE为ZABC的外角平分 线，其它条件不变，则在图2-7(b)、图2-7(C)两种情况下，DE与BC 还平行吗它与AABC三边又有怎样的数量关系请写出你的猜测，并对 其中的一种情况进行证明。E变式 如图2-8,在AABC中，AB3AC, ZBAC的平分线交B
6、C于点D,过点B作BE丄AD,垂足为E,求证：AD=DE如图 2-9(a), AB二AC, BD, CD 分别平分ZABC, ZACB.问:(I)图2-9(a)中有几个等腰三角形过D点作EFBC,如图2-9(b),交AB于点E,交AC于点F,图 中又增加了几个等腰三角形(3)如图2-9(C),若将题中的AABC改为不等边三角形，其他条件不 变，图中有几个等腰三角形直接写出线段EF与BE、CF有什么关系如图2-9(d), BD平分ZABC, CD平分外角ZACG. DEBC交AB于点E,交AC于点F线段EF与BE、CF有什么关系并说明理由.如图2-9(e), BD、CD为外角ZCBM、ZBCN的
7、平分线，DEBC交AB延长线于点E,交AC延长线于点F,直接写出线段EF与BE、CF有什么关系例7如图2-10 (a)所示，已知ZABC中，AC二BC, ZC二90 , AD平分ZCAB,求证：AB=ACD图240 (a)变式1如图2-门 所示，已知AABC中，AB二AC,ZA=IO8o , BD 平分 ABC.求证：BC=AB+CD.图211变式2 如图 2-12,已知ZiABC 中，AB=AC, Al00o , BD 平分ZABG 求证:BC=BD+AD.如图2-13(a), OP是ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考上图构造全等三角形的方法，
8、解答下列问题:如图 2-13(b),在ZABC 中，ZACB 是直角，ZB=60o , AD、CE 分 别是ZBAC. ZBCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断写出FE 与FD之间的数量关系；(2)如图2-13(c),在AABC中，如果ZACB不是直角，而(I)中的其 他条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否依然成立若成立请证 明；若不成立，请说明理由.BE2-13 (C)牛刀小试 如图2-14 (a),在ZABC中，ZABC与ZACB的角平分线相交于点F,过点F作DF/BC,交AB于点D,交AC于点E,若BD+CE=9,则线段DE之长为()(2)如图 2-14(b),在ZABC 中
9、,BD、CD 分别平分ZABC 和ZACB, DEAB, FD/AC. , BC二6,求ZWEF 的周长，图 2-14(b)2.已知：如图 2-15, ZBAD=ZCAD, ABAC, CD丄AD 于点是 BC 中点.求证：DH=I(AB-AC).3、已知如图 2-16,四边形 ABCD 中，B+=D180o , BC=CD.求证：AC平分ZBAD.4如图2-17, ABC的外角/ACD的平分线CP与内角ZABC的平分线BP交于点P,连接AP、CP,若ZBPC二40。，求ZCAP的度数.5已知：如图2-18,在四边形中，BCAB, AD二CD, BD平分ABC.求证：ZA+ZC=180o6.在
10、平行四边形ABCD中，ZBAD的平分线交直线BC于点E,交直线DC于点F.在图2-19(a)中证明CE=CF;B图 2-19(a)(2)若ABC=90o , G是EF的中点(如图2-19(b),直接写出ZBDG的度数；若ZABC= 120o , FGCE, FG=CE,分别连接 DB、DG(如图 2-19(c),求ZBDG的度数.DB7.已知：如图2-20,在Z0DC中，ZD 90 , EC是ZDCo的角平分 线，且OE= CE,过点E作EF丄OC交OC于点F.猜想：线段EF与OD 之间的关系，并证明.8.已知：如图2-21,在四边形ABCD中，AB+BC = CD + DA, ZABC的外角角平分线与ZCDA的外角平分线交于点P,求证：ZAPB二 ZCPD.M B图 221C